Toán 9 Bất Đẳng Thức

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người làm ơn giúp em nhanh ạ. Em cần gấp

Bài 1: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^2+c^2)\leq 27[/tex]
Bài 2: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 9[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c KHÔNG ÂM và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Tím maxA với [tex]A=ab+bc+ca-3abc[/tex]

Em cảm ơn ạ !!!

@iceghost @Hoàng Vũ Nghị @Mộc Nhãn @ankhongu @zzh0td0gzz @who am i?

 

[mbappe2k5]

Mọi người làm ơn giúp em nhanh ạ. Em cần gấp

Bài 1: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^2+c^2)\leq 27[/tex]
Bài 2: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 9[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c KHÔNG ÂM và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Tím maxA với [tex]A=ab+bc+ca-3abc[/tex]

Em cảm ơn ạ !!!

@iceghost @Hoàng Vũ Nghị @Mộc Nhãn @ankhongu @zzh0td0gzz @who am i?

Bài 3: Mình sẽ thử dùng nguyên lí Dirichlet:
Trong 3 số [TEX]a-1,b-1,c-1[/TEX] có ít nhất 2 số cùng không âm hoặc không dương.
KMTTQ, giả sử 2 số đó là [TEX]a-1[/TEX] và [TEX]b-1[/TEX].
Do đó [tex](a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Leftrightarrow 3abc\geq 3ac+3bc-3c[/tex].
Do vậy:

Spoiler: Mình sẽ tính toán trong im lặng...

[tex]A\leq ab+bc+ca-(3ac+3bc-3c)=ab-2ac-2bc+3c\leq \frac{(a+b)^2}{4}-2c(a+b)+3c=\frac{(3-c)^2}{4}-2c(3-c)+3c=\frac{c^2-6c+9}{4}+2c^2-3c=\frac{9c^2-18c+9}{4}[/tex].
Đến đây thì có vẻ bị ngược dấu rồi

Kết luận buồn: Với [TEX]a=b=c=1[/TEX] thì [TEX]A=0[/TEX], với [TEX]a=0,b=0,c=3[/TEX] thì A cũng bằng 0.
Thế này không hiểu dấu bằng xảy ra khi nào nữa...

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Bài 3: Mình sẽ thử dùng nguyên lí Dirichlet:
Trong 3 số [TEX]a-1,b-1,c-1[/TEX] có ít nhất 2 số cùng không âm hoặc không dương.
KMTTQ, giả sử 2 số đó là [TEX]a-1[/TEX] và [TEX]b-1[/TEX].
Do đó [tex](a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Leftrightarrow 3abc\geq 3ac+3bc-3c[/tex].
Do vậy:

Spoiler: Mình sẽ tính toán trong im lặng...

[tex]A\leq ab+bc+ca-(3ac+3bc-3c)=ab-2ac-2bc+3c\leq \frac{(a+b)^2}{4}-2c(a+b)+3c=\frac{(3-c)^2}{4}-2c(3-c)+3c=\frac{c^2-6c+9}{4}+2c^2-3c=\frac{9c^2-18c+9}{4}[/tex].
Đến đây thì có vẻ bị ngược dấu rồi

Kết luận buồn: Với [TEX]a=b=c=1[/TEX] thì [TEX]A=0[/TEX], với [TEX]a=0,b=0,c=3[/TEX] thì A cũng bằng 0.
Thế này không hiểu dấu bằng xảy ra khi nào nữa...

Mình nghĩ mấy bài này dùng bđt Cauchy để giải đó
Nhìn quen quen ...

 

[ankhongu]

Mọi người làm ơn giúp em nhanh ạ. Em cần gấp

Bài 1: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^2+c^2)\leq 27[/tex]
Bài 2: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 9[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c KHÔNG ÂM và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Tím maxA với [tex]A=ab+bc+ca-3abc[/tex]

Em cảm ơn ạ !!!

@iceghost @Hoàng Vũ Nghị @Mộc Nhãn @ankhongu @zzh0td0gzz @who am i?

Bạn xem xem thế nào, sai thì mình xin lỗi nha
1.
Có : [tex](ab + bc + ca)^{2}(a^{2} + b^{2} + c^{2}) = (ab + bc + ca)(ab + bc + ca)(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \leq \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca)^{3}}{27} = \frac{(a + b + c)^{6}}{27} = \frac{3^{6}}{3^{3}} = 3^{3} = 27[/tex]
--> ĐPCM
- Dấu "=" <-> a, b, c > 0; [tex]a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca[/tex] và a + b + c = 3 <-> a = b = c = 1

 

[7 1 2 5]

Bài 2: Cho a,b,c dương và a+b+c=3a+b+c=3a+b+c=3
Chứng minh rằng: (abc)2(a2+b2+c2)≤9(abc)2(a2+b2+c2)≤9(abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 9

Câu 2 bạn thử sử dụng bất đẳng thức phụ [tex](ab+bc+ca)^2\geq 9(abc)^2[/tex] rồi biến đổi như bài 1.

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Câu 2 bạn thử sử dụng bất đẳng thức phụ [tex](ab+bc+ca)^2\geq 9(abc)^2[/tex] rồi biến đổi như bài 1.

Bạn có thể nói chi tiết hơn đc ko ?
Mình làm theo cách đó thì bị ngược dấu ...

 

[Kaito Kidㅤ]

Mọi người làm ơn giúp em nhanh ạ. Em cần gấp

Bài 1: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^2+c^2)\leq 27[/tex]
Bài 2: Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh rằng: [tex](abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 9[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c KHÔNG ÂM và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Tím maxA với [tex]A=ab+bc+ca-3abc[/tex]

Em cảm ơn ạ !!!

@iceghost @Hoàng Vũ Nghị @Mộc Nhãn @ankhongu @zzh0td0gzz @who am i?

Câu 2 có Câu 1 gợi ý cho 1 phần ngon quá còn gì
[tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\rightarrow (abc)^2\leq \frac{(ab+bc+ca)^3}{27}[/tex]
[tex]\rightarrow (abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(ab+bc+ca)^3}{27}(a^2+b^2+c^2)=\frac{ab+bc+ca}{27}.(ab+bc+ca)^2.(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{ab+bc+ca}{27}.27=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=9(Q.E.D)[/tex]

 

[ankhongu]

Câu 2 có Câu 1 gợi ý cho 1 phần ngon quá còn gì
[tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\rightarrow (abc)^2\leq \frac{(ab+bc+ca)^3}{27}[/tex]
[tex]\rightarrow (abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(ab+bc+ca)^3}{27}(a^2+b^2+c^2)=\frac{ab+bc+ca}{27}.(ab+bc+ca)^2.(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{ab+bc+ca}{27}.27=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=9(Q.E.D)[/tex]

Q.E.D là gì ạ ? Với cả chỗ cuối phải là 3 chứ sao lại là 9 ạ ?

 

[Kaito Kidㅤ]

Q.E.D là gì ạ ? Với cả chỗ cuối phải là 3 chứ sao lại là 9 ạ ?

chỗ nào z, tô đỏ giúp mình với

 

[ankhongu]

Ở đoạn tô đỏ thì phải là 3 chứ sao lại là 9 ạ ?

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

View attachment 126466
Ở đoạn tô đỏ thì phải là 3 chứ sao lại là 9 ạ ?

Uk bài này đề hơi khoai một tí
Nhưng mà nói chung vẫn đúng
Ta CM đc [tex]\leq 3[/tex] thì => [tex]\leq 9[/tex] thôi
P/S: Cứ tưởng sai đề ...