Toán 9 Bất đẳng thức

[Giúp mình]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

B1:Cho a,b,c dương
CM: [tex]\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ba+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}[/tex]

B2:Cho [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
CM:[tex]\sum \frac{bc}{a^{2}+1}\leq \frac{3}{4}[/tex]

B3:Cho a,b,c dương
CM: [tex]\sum \frac{a^{2}}{(2a+b)(2a+c)}\leq \frac{1}{3}[/tex]

Giúp em gấp với ạ!
Em cảm ơn
@iceghost @Hoàng Vũ Nghị @zzh0td0gzz @who am i?

 

[shorlochomevn@gmail.com]

B1:Cho a,b,c dương
CM: [tex]\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ba+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}[/tex]

B2:Cho a,b,c dương
CM:[tex]\sum \frac{bc}{a^{2}+1}\leq \frac{3}{4}[/tex]

B3:Cho a,b,c dương
CM: [tex]\sum \frac{a^{2}}{(2a+b)(2a+c)}\leq \frac{1}{3}[/tex]

Giúp em gấp với ạ!
Em cảm ơn
@iceghost @Hoàng Vũ Nghị @zzh0td0gzz @who am i?

bài 1:[tex]\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ba+b^{2}}\\\\ =\frac{a^2}{ab^{2}+abc+ac^{2}}+\frac{b^2}{bc^{2}+abc+a^{2}b}+\frac{c^2}{a^{2}c+bac+cb^{2}}\\\\ \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c).(ab+bc+ca)}=\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}[/tex]
bài 2:[tex]\frac{bc}{a^2+1}\leq \frac{1}{2}.(\frac{b^2+c^2}{a^2+1})=\frac{1}{2}.\frac{1-a^2}{a^2+1}=\frac{1}{2}.(1-\frac{2a^2}{a^2+1})\\\\ => A\leq \frac{3}{2}-(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1})\\\\ +. B=(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1})\\\\ +, \frac{a^2}{a^2+1}\geq \frac{1}{16}+\frac{9}{16}a^2\\\\ <=> (3a^2-1)^2\geq 0 (luôn đúng)[/tex]
cộng các vế có đpcm

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

bài 1:[tex]\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ba+b^{2}}\\\\ =\frac{a^2}{ab^{2}+abc+ac^{2}}+\frac{b^2}{bc^{2}+abc+a^{2}b}+\frac{c^2}{a^{2}c+bac+cb^{2}}\\\\ \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c).(ab+bc+ca)}=\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}[/tex]
bài 2:[tex]\frac{bc}{a^2+1}\leq \frac{1}{2}.(\frac{b^2+c^2}{a^2+1})=\frac{1}{2}.\frac{1-a^2}{a^2+1}=\frac{1}{2}.(1-\frac{2a^2}{a^2+1})\\\\ => A\leq \frac{3}{2}-(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1})\\\\ +. B=(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1})\\\\ +, \frac{a^2}{a^2+1}\geq \frac{1}{16}+\frac{9}{16}a^2\\\\ <=> (3a^2-1)^2\geq 0 (luôn đúng)[/tex]
cộng các vế có đpcm

Giúp em câu 3 được không ạ?

 

[Kaito Kidㅤ]

Giúp em câu 3 được không ạ?

[tex]\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\dfrac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\leq \frac{1}{9}(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc})\\\rightarrow VT\leq \frac{1}{9}(2+\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})[/tex]
Giờ CM [tex]\frac{1}{9}(2+\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})\leq \frac{1}{3}\\\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\\\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{bc}{2a^2+bc}\leq 1\\\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{2a^2+bc}\geq 1[/tex]
Mà [tex]\sum \frac{bc}{2a^2+bc}=\sum \frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}\geq \frac{(\sum cb)^2}{(\sum bc)^2}=1[/tex]