Toán 10 Bất đẳng thức

[mỳ gói]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/
[tex]a+b+c\leq 1[/tex]
tìm Min của P=[tex]\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}[/tex]
2/cho a+b+c=3
tìm min P=[tex]\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}[/tex]
3/cho ab+bc+ac[tex]\leq[/tex]3abc
tìm mìn :
[tex]P=\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a}[/tex]

 

[Ann Lee]

Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex](1^{2}+9^{2})\left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )\geq \left ( a+\frac{9}{a} \right )^{2}\\\Rightarrow \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{82}}{82}.\left ( a+\frac{9}{a} \right )[/tex]
Tương tự...
Suy ra:
[tex]P=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\\\geq \frac{\sqrt{82}}{82}\left ( a+\frac{9}{a}+b+\frac{9}{b}+c+\frac{9}{c} \right )\\\geq \frac{\sqrt{82}}{82}\left ( a+b+c+\frac{81}{a+b+c} \right )\\=\frac{\sqrt{82}}{82}\left ( a+b+c+\frac{1}{a+b+c} +\frac{80}{a+b+c}\right )\\\geq \frac{\sqrt{82}}{82}\left ( 2\sqrt{(a+b+c).\frac{1}{a+b+c}}+\frac{80}{1} \right )\\=\frac{\sqrt{82}}{82}.82\\=\sqrt{82}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Bài này nếu áp dụng trực tiếp BĐT Minkowsky thì sẽ nhanh hơn nhưng khi đi thi thì phải chứng minh BĐT Minkowsky nên thành chậm :>

Bài 2:
[tex]\frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\frac{a^2b^2+a^2-a^2b^2}{b^2+1}=a^2-\frac{a^2b^2}{b^2+1}\geq a^2-\frac{a^2b}{2}[/tex]
Tương tự:...
Suy ra: [tex]P=\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{2}[/tex]
Ta có: [tex]3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/tex]
[tex]a^3+ab^2\geq 2\sqrt{a^3.ab^2}=2a^2b[/tex]
Tương tự...
Suy ra:
[tex]a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\\\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\\\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a[/tex]
Suy ra:
[tex]P\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{2}\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)[/tex]
Mặt khác: [tex]a^2+1\geq 2a;b^2+1\geq 2b;c^2+1\geq 2c[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=3[/tex]
Suy ra: [tex]P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[mỳ gói]

Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex](1^{2}+9^{2})\left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )\geq \left ( a+\frac{9}{a} \right )^{2}\\\Rightarrow \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{82}}{82}.\left ( a+\frac{9}{a} \right )[/tex]
Tương tự...
Suy ra:
[tex]P=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\\\geq \frac{\sqrt{82}}{82}\left ( a+\frac{9}{a}+b+\frac{9}{b}+c+\frac{9}{c} \right )\\\geq \frac{\sqrt{82}}{82}\left ( a+b+c+\frac{81}{a+b+c} \right )\\=\frac{\sqrt{82}}{82}\left ( a+b+c+\frac{1}{a+b+c} +\frac{80}{a+b+c}\right )\\\geq \frac{\sqrt{82}}{82}\left ( 2\sqrt{(a+b+c).\frac{1}{a+b+c}}+\frac{80}{1} \right )\\=\frac{\sqrt{82}}{82}.82\\=\sqrt{82}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

Bài này nếu áp dụng trực tiếp BĐT Minkowsky thì sẽ nhanh hơn nhưng khi đi thi thì phải chứng minh BĐT Minkowsky nên thành chậm :>

Bài 2:
[tex]\frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\frac{a^2b^2+a^2-a^2b^2}{b^2+1}=a^2-\frac{a^2b^2}{b^2+1}\geq a^2-\frac{a^2b}{2}[/tex]
Tương tự:...
Suy ra: [tex]P=\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{2}[/tex]
Ta có: [tex]3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/tex]
[tex]a^3+ab^2\geq 2\sqrt{a^3.ab^2}=2a^2b[/tex]
Tương tự...
Suy ra:
[tex]a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\\\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\\\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a[/tex]
Suy ra:
[tex]P\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{2}\geq a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)[/tex]
Mặt khác: [tex]a^2+1\geq 2a;b^2+1\geq 2b;c^2+1\geq 2c[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=3[/tex]
Suy ra: [tex]P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[matheverytime]

1) [tex]\sum{\frac{x^2}{x+2y^3}}=\sum{x}-\sum{\frac{2xy^3}{x+y^3+y^3}}\geqslant 3-\frac{2}{3}\sum{\sqrt[3]{x^2}y}\geqslant 3- \frac{2}{3}\sum \frac{x+x+1}{3}.y=3-\frac{4}{9}\sum{xy}-\frac{2}{3}\geqslant 3-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=1[/tex]
3)
[tex]3x^2+y^2+3xy\geqslant 3(3-y)^2+y^2+3y(3-y)=y^2-9y+27=(y-\frac{9}{2})^2+\frac{27}{4}\geqslant \frac{27}{4}[/tex]
dấu "=" khi [tex]y=\frac{9}{2}=>x=-\frac{3}{2}\vee -3[/tex]
nhưng -3 ko thỏa x+y>=3

 

[Thánh Lầy Lội]

Đề này là =9, làm tương tự với =3,
P/S: Bạn có biết Vũ Thu Mai không

 

[Thánh Lầy Lội]

x^2+2y^2+3=x^2+y^2+y^2+1+2>=2xy+2y+2=2(xy+y+1)
Sử dụng bổ đề: xyz=1 thì 1/xy+y+1 + 1/yz+xz+1 +1/xz+x+1 =1

 

[Thánh Lầy Lội]

[tex]\sum \frac{yz}{x^3(2y+z)}=\sum \frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{2}{z}+\frac{1}{y}}[/tex]
Đặt [tex]\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c[/tex]
[tex]\sum \frac{a^3}{2c+b}\geqslant \sum \frac{(\sum a^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^4}{27(ab+bc+ca)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)}{9}=\frac{ab+bc+ca}{3}=[tex]\frac{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}}{3}=\frac{\frac{x+y+z}{xyz}}{3}=1[/tex][/tex]

 

[mỳ gói]

x^2+2y^2+3=x^2+y^2+y^2+1+2>=2xy+2y+2=2(xy+y+1)
Sử dụng bổ đề: xyz=1 thì 1/xy+y+1 + 1/yz+xz+1 +1/xz+x+1 =1

Nó đâu có bằng 1. Bao giờ trêb tử có x . Y. Z thìmoiws =1 mà.

 

[hdiemht]

Nó đâu có bằng 1. Bao giờ trêb tử có x . Y. Z thìmoiws =1 mà.

[tex]x^2+2y^2+3= x^2+y^2+y^2+1+2\geq 2(xy+y+1)\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2+2y^2+3}\leq \sum \frac{1}{2(xy+y+1)}=\frac{1}{2}(\sum \frac{1}{xy+y+1})[/tex]
[tex]\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+xz}=\frac{z}{xz+z+1}+\frac{xz}{xz+z+1}+\frac{1}{1+z+xz}=\frac{1+z+xz}{xz+z+1}=1\Rightarrow .....\leq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi [tex]x=y=z=1[/tex]

 

[baogiang0304]

1/
[tex]a+b+c\leq 1[/tex]
tìm Min của P=[tex]\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}[/tex]
2/cho a+b+c=3
tìm min P=[tex]\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}[/tex]
3/cho ab+bc+ac[tex]\leq[/tex]3abc
tìm mìn :
[tex]P=\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a}[/tex]

Anh sẽ chứng minh BĐT Mincopski cho @mỳ gói nhé: [tex]\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{b^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(x+y)^{2}}[/tex]
Đầu tiên ta sẽ bình phương 2 vế lên, ta có:[tex]a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}+2\sqrt{(a^{2}+x^{2}).(b^{2}+y^{2})}\geq a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}+2(ab+xy)[/tex]
<=>[tex]\sqrt{(a^{2}+x^{2}).(b^{2}+y^{2})}\geq ab+xy[/tex] (*)
+)Nếu [tex]ab+xy\leq 0[/tex] thì (*) luôn đúng
+)Nếu [tex]ab+xy> 0[/tex]thì (*) <=>[tex](a^{2}+x^{2}).(b^{2}+y^{2})\geq (ab+xy)^{2}[/tex] <=>[tex](bx-ay)^{2}\geq 0[/tex] (luôn đúng)
Vậy bài toán được chúng minh nhé mỳ.Dấu = xảy ra <=>[tex]bx=ay[/tex]
[tex]a+b+c\leq 1[/tex]
tìm Min của P=[tex]\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}[/tex]
[tex]P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}}}[/tex]
Đặt [tex](x+y+z)^{2}=t(0< t\leq 1)[/tex] <=>[tex]P\geq \sqrt{t+\frac{81}{t}}[/tex]
Ta có:[tex]t+\frac{81}{t}=(t+\frac{1}{t})+\frac{80}{t}\geq 2+\frac{80}{1}=82[/tex]
<=>[tex]P\geq \sqrt{82}[/tex]
Dấu = xảy ra <=>[tex]a+b+c=1;a=b=c[/tex] <=>[tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]
P/s:Còn cách chứng minh BĐT Mincópki thông qua BĐT véctơ nữa nhé:[tex]\left | \underset{u}{\rightarrow}+\underset{v}{\rightarrow}\right |\leq \left | \underset{u}{\rightarrow} \right |+\left | \underset{v}{\rightarrow} \right |[/tex] nhé!!