Toán Bất đẳng thức và cực trị

[~♥明♥天♥~]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a>b>c thỏa mãn a+b+c=1 và ab+bc+ac>0. Tìm GTNN :
A =[tex]\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}[/tex]
2. Cho a, b [tex]\geq 0[/tex], a+b=2 . Tìm GTLN của : Q = [tex](a^{2}+1)(b^{2}+1)[/tex]
3. Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. Tìm GTLN của :
P = [tex]\frac{2}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}+\frac{2}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}+\frac{2}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}[/tex]
4. Cho a,b,c thỏa a+b khác 0. Chứng minh rằng : [tex]a^{2}+b^{2}+(\frac{1+ab}{a+b})^{2}\geq 2[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

2)$2=a+b \geq b$.
$Q=[(2-b)^2+1](b^2+1)
\\Q=(b^2-4b+5)(b^2+1)$
Mặt khác dễ dàng chứng minh $b^2-4b+5$ đồng biến trong khoảng $(0,2]$ do đó
$Q \leq (2^2-4.2+5)(2^2+1)=5$.
Dấu '=' khi một số bằng 0 số còn lại bằng $2$.
3)
$P=\sum \dfrac{2}{a^2+2a+b^2+2}
\\\geq \sum \dfrac{2}{2ab+2a+2}
\\=\sum \dfrac{1}{ab+a+1}$
Đặt: $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y} \Rightarrow c=xy$.
Thay vào ta sẽ có bổ đề quen thuộc: $\sum \dfrac{1}{ab+a+1}=1$ với $abc=1$