Toán bất đẳng thức thú dị

[matheverytime]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[utopiaguy]

Giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}+\frac{7}{16}.\frac{(a-c)^2}{ab+bc+ca}$
$\Leftrightarrow \sum _{cyc}\frac{a[a(b+c)+bc]}{b+c}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)+\frac{17}{6}(a-c)^2$
$\Leftrightarrow \sum a^2+abc.\sum \frac{1}{b+c}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)+\frac{7}{16}(a-c)^2$
Theo AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2.(a+b+c)}$
Cần chứng minh:
$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{2(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)+\frac{7}{16}(a-c)^2$
Đặt $a=c+x;b=c+y$ $\left ( x\geq y\geq 0 \right )$
Bất đẳng thức tương đương với:
$(11x^2-32xy+32y^2)c+(x+y)(3x-4y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ và $a=\frac{4}{3b};c=0$

 

[matheverytime]

Giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}+\frac{7}{16}.\frac{(a-c)^2}{ab+bc+ca}$
$\Leftrightarrow \sum _{cyc}\frac{a[a(b+c)+bc]}{b+c}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)+\frac{17}{6}(a-c)^2$
$\Leftrightarrow \sum a^2+abc.\sum \frac{1}{b+c}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)+\frac{7}{16}(a-c)^2$
Theo AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2.(a+b+c)}$
Cần chứng minh:
$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{2(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)+\frac{7}{16}(a-c)^2$
Đặt $a=c+x;b=c+y$ $\left ( x\geq y\geq 0 \right )$
Bất đẳng thức tương đương với:
$(11x^2-32xy+32y^2)c+(x+y)(3x-4y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ và $a=\frac{4}{3b};c=0$

ban đnag làm bài nào ý
cơ mà sai rồi nhé dấu "=" ko xảy ra khi a=b=c hay a=4/3b và c=0 nhé

 

[matheverytime]

[tex]c=\frac{a+b+1}{4ab-1}[/tex] gõ nhầm cái này

 

[matheverytime]

câu 2 ( nguồn : Phạm Vinh ) mọi người tham khảo