bài toán số trong bài thi HSG tỉnh đây

[hungocanh_99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh: 24^54 x 54^24 x 2^10 chia hết cho 72^65

 

[hiensau99]

$24^{54} .54^{24} .2^{10}=8^{54}.3^{54}. 27^{24}. 2^{54}. 2^{10} $

$=2^{162} . 3^{54}. 3^{72}. 2^{54}. 2^{10}$
$= 2^{226}. 3^{126}= 2^{3.63+37}.3^{2.63}$
$=8^{63}.9^{63}.2^{37}= 72^{63}.2^{37}$

Dễ thấy $72^{63}.2^{37} \not\vdots 72^{65} $

 

[soicon_boy_9x]

$ 24^{54}.54^{24}.2^{10}=8^{54}.3^{54}.27^{24}.2^{24}.2^{10}$

$ =2^{162}.3^{54}.3^{72}.2^{24}.2^{10} $

$ = 2^{196} .3^{126} $

$ = 2^{3^{65}}. 2 . 3^{2^{64}} $

$ =72^{64}.2^4 \not\vdots 72 $

 

[icy_tears]

$24^{54}.54^{24}.2^{10}$
$=8^{54}.3^{54}.9^{24}.3^{24}.2^{24}.2^{10}$
$=(8 . 9)^{24}.8^{54 - 24}.3^{54 + 24}.2^{24 + 10}$
$=72^{24}.8^{30}.3^{78}.2^{34}$
$=72^{24}.8^{30}.9^{39}.2^{34}$
$=72^{24}.(8 . 9)^{30}.9^{39 - 30}.8^{11}.2$
$= 72^{24}.72^{30}. 9^9 . 8^{11} . 2$
$= 72^{54} . 72^9 . 8^2 . 2$
$= 72^{63} . 128$

$128 < 5184 = 72^2$

\Rightarrow $24^{54}.54^{24}.2^{10} < 72^{65}$ \Leftrightarrow $24^{54}.54^{24}.2^{10}$ không chia hết cho $72^{65}$