Bài tập hay: Viết phương trình đường thẳng đj wa các điểm uốn

M

maxqn

[TEX]y' = \frac{-2x^2}{(x^2+1)^2} \\ y'' = \frac{4x^3-4x}{(x^2+1)^3}[/TEX]
[TEX]y'' = 0 \Leftrightarrow 4x^3-4x=0 \Leftrightarrow \[{x=0} \\ {x=2} \\ {x=-2}[/TEX]
Tới đây có thể lập vtpt, vtcp để viết ptdt.
k thì típ
Đây là 3 điểm thuộc đthị hsố nên thỏa mãn
[TEX]y=\frac{2x+1}{x^2+1}[/TEX]
Thế hoành độ các điểm vào tìm y mỗi điểm. Xong giải hệ
[TEX]\{{ax_1+by_1+c=0}\\{ax_2+by_2+c=0}\\{ax_3+by_3+c=0}\\[/TEX]
Tìm a,b,c :D
 
K

kitty.sweet.love

maxqn said:
[TEX]y' = \frac{-2x^2}{(x^2+1)^2} \\ y'' = \frac{4x^3-4x}{(x^2+1)^3}[/TEX]
[TEX]y'' = 0 \Leftrightarrow 4x^3-4x=0 \Leftrightarrow \[{x=0} \\ {x=2} \\ {x=-2}[/TEX]
Tới đây có thể lập vtpt, vtcp để viết ptdt.
k thì típ
Đây là 3 điểm thuộc đthị hsố nên thỏa mãn
[TEX]y=\frac{2x+1}{x^2+1}[/TEX]
Thế hoành độ các điểm vào tìm y mỗi điểm. Xong giải hệ
[TEX]\{{ax_1+by_1+c=0}\\{ax_2+by_2+c=0}\\{ax_3+by_3+c=0}\\[/TEX]
Tìm a,b,c :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Pạn ui, sai ngay từ đạo hàm rùi kìa... ^^...............
 
K

kitty.sweet.love

maxqn said:
Híc híc. S tính lại y'' = 0 thành mỗi pt bậc 2 ta :(
Ai tính giùm cái. :(
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

:)
[TEX]y'=\frac{-2x^2 -2x +2}{(x^2 + 1)^2 }[/TEX]
[TEX]y''=\frac{2(2x^3 + 3x^2 - 6x -1)}{(x^2 + 1)^3}[/TEX]
Đồ thị hàm số có 3 điểm uốn \Leftrightarrow pt y''=0 có 3 nghiệm phân biệt
\Leftrightarrow 2x^3 + 3x^2 - 6x -1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
...............................................................................:)
 
Last edited by a moderator:
M

maxqn

Híc hè. Định tính [TEX]\frac{y}{y''}[/TEX] mà s nó dư toàn bậc 2 mới ác chứ =.=" Bi kịch
 
M

maxqn

Thì tính tới đó. Mà ra pt parabol chứ đt j =.=" Pó tay
-------------------------------------------------
 
K

kitty.sweet.love

Bài giải đầy đủ:

[TEX]y'=\frac{-2x^2 -2x +2}{(x^2 + 1)^2 }[/TEX]
[TEX]y''=\frac{2(2x^3 + 3x^2 - 6x -1)}{(x^2 + 1)^3}[/TEX]
Đồ thị hàm số có 3 điểm uốn \Leftrightarrow pt y''=0 có 3 nghiệm phân biệt
\Leftrightarrow f(x)= 2x^3 + 3x^2 - 6x -1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Thật vậy:
f'(x)= 6(x^2 +x-1) =0
\Leftrightarrow g(x)=x^2 + x-1 = 0
\Leftrightarrow[TEX][\begin{x1= \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\x2= \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}[/TEX]
\Rightarrow f(x) đạt cực trị tại x1, x2
Thực hiện phép chia f(x) cho g(x)
\Rightarrow f(x)=(2x+1).g(x) - 5x
Mà g(x1)=0; g(x2)=0
Nên f(x1) = -5x1; f(x2) = -5x2
\Rightarrow f(CĐ).f(CT)= 25x1.x2 = -25 < 0
\Rightarrow f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
\Leftrightarrow y'' = 0 có 3 nghiệm phân biệt a, b, c
\Leftrightarrow Hs đã cho có 3 điểm uốn A(a;y(a)); B(b;y(b)); C(c; y(c))



Tọa độ A, B, C là nghiệm của hpt:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} f(x)= 2x^3 + 3x^2 -6x -1 = 0 \\ y = \frac {2x+1}{x^2 +1} \end{array} \right.[/tex]
\Rightarrow A, B, C thỏa mãn pt [TEX]y=\frac{(2x+1) + f(x)}{x^2 +1}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]y = \frac{2x^3 + 3x^2 -6x -1}{x^2 +1} = (2x+3) - \frac{3(2x+1)}{x^2 +1} = 2x +3 -3y[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]y= \frac{1}{2}.x + \frac{3}{4}[/TEX]

Vậy 3 điểm uốn A, B, C thẳng hàng và nằm trên (d): [TEX]y= \frac{1}{2}.x + \frac{3}{4}[/TEX]


Thắc mắc = comment
Thấy bài có ích = Thanks ;)
 
Last edited by a moderator:
K

kitty.sweet.love

Bài tập mới: :)

Giải hệ phương trình sau:
[TEX]\left\{\begin 2^{3x+1} + 2^{y-2}=3.2^{y+3x}\\ \sqrt{3x^{2} +1 + xy} = \sqrt{x+1}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
M

maxqn

[TEX]DK: \ {\{3x^2+xy+1 \geq 0 \ (*) } \\ {x \geq -1}} [/TEX]
[TEX](*) \Leftrightarrow {\ {\Delta \leq 0}} \ \Leftrightarrow -2\sqrt3 \leq y \leq 2\sqrt3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \{ {x \ \geq -1} \\ {-2\sqrt3 \leq y \leq 2\sqrt3} }[/TEX]

Khi đó
[TEX]pt \ (2) \Leftrightarrow \[ {x=0} \\ {y= 1-3x}[/TEX]
[TEX]x = 0 \ \Rightarrow \ (1) \Leftrightarrow 5.2^y = 4 \Leftrightarrow y= log_2{\frac45}[/TEX]
[TEX]y= 1 - 3x \Rightarrow 4.(2^{3x})^2 - 12.(2^{3x})+1 = 0[/TEX]
Tới đây giải r đchiếu đkiện. Lười wá. Hehe
 
Last edited by a moderator:
K

kitty.sweet.love

Bài giải trên của MAXQN chắc là đúng rùi.
Hjz, sao muk ra nghiệm lẻ vãi...:-SS
 
K

kitty.sweet.love

HELP ME :)

Chứng minh rằng với \forallx ta có:
[TEX](1+x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!})(1- x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} - ... - \frac{x^{n}}{n!}) \leq 1[/TEX]
( với n \geq 3; n [TEX]\in[/TEX] Z; n lẻ )
 
Last edited by a moderator:
G

giaosu_fanting_thientai

Đặt h(x)= cái trong ngoặc thứ nhất
g(x)= cái trong ngoặc thứ 2
[TEX]h'(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=h(x)-\frac{x^n}{n!}[/TEX]
[TEX]g'(x)=...=-g(x)-\frac{x^n}{n!}[/TEX]

[TEX]f'(x)=h'(x).g(x)+h(x).g'(x)=\frac{x^n}{n!}[1+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}][/TEX]
Cái trong ngoặc toàn là mũ chẵn rồi nên biểu thức trong ngoặc luôn dương nên dấu của f'(x) phụ thuộc vào x bên ngoài ~~> Bảng biến thiên ~~> okay

ơ hơ hơ sao bảo k onl nữa?
Hjz, sao muk ra nghiệm lẻ vãi... ~~> nghe khó chịu bỏ xừ với mấy cái từ này, a dạy e nói thế từ bao h hả
41.jpg


Mod mới dùng màu đỏ thôi nhớ ^^
 
K

kitty.sweet.love

giaosu_fanting_thientai said:
Đặt h(x)= cái trong ngoặc thứ nhất
g(x)= cái trong ngoặc thứ 2
[TEX]h'(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=h(x)-\frac{x^n}{n!}[/TEX]
[TEX]g'(x)=...=-g(x)-\frac{x^n}{n!}[/TEX]

[TEX]f'(x)=h'(x).g(x)+h(x).g'(x)=\frac{x^n}{n!}[1+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}][/TEX]
Cái trong ngoặc toàn là mũ chẵn rồi nên biểu thức trong ngoặc luôn dương nên dấu của f'(x) phụ thuộc vào x bên ngoài ~~> Bảng biến thiên ~~> okay

ơ hơ hơ sao bảo k onl nữa?
Hjz, sao muk ra nghiệm lẻ vãi... ~~> nghe khó chịu bỏ xừ với mấy cái từ này, a dạy e nói thế từ bao h hả
41.jpg


Mod mới dùng màu đỏ thôi nhớ ^^
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


hjhj. Thanks a nhìu wa'. ( mặc dù chưa đọc lời giải)
Muk màu đỏ thì sao, kệ e....................:p
 
M

maxqn

Đổi ra nghiệm chi. Để log đc r mà T__T
--------------------------------------------------
 
K

kitty.sweet.love

Bài tập ngoài chủ đề (khối đa diện) :)
Cho khối hộp ABCD,A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a tâm O. [TEX]\widehat{BAD}=60^{o}[/TEX]. Hình chiếu của B' trên (ABCD) là O. BB' = a. (P) đj wa AB' và trung điểm M của CC' chia khối hộp thành 2 khối đa diện. Tính V mỗi khối?
 
Last edited by a moderator:
K

kitty.sweet.love

Chứng minh rằng với \forallx ta có:
[TEX](1+x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!})(1- x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} - ... - \frac{x^{n}}{n!}) \leq 1[/TEX]
( với n \geq 3; n [TEX]\in[/TEX] Z; n lẻ )


BÀI GIẢI CỤ THỂ
Đặt [tex]\left\{ \begin{array}{l} U(x)= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} \\ V(x)= 1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - ... - \frac{x^{n}}{n!} \end{array} \right.[/tex]

Ta fải chứng minh f(x) = U(x).V(x) < 1
Ta có [tex]\left\{ \begin{array}{l} U'(x)= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = U(x) - \frac{x^{n}}{n!}\\ V'(x)= - 1 + x - \frac{x^{2}}{2!} + ... - \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = - V(x) - \frac{x^{n}}{n!} \end{array} \right.[/tex]

Do đó:
[TEX]f'(x) = U'(x).V(x) + U(x).V'(x) = \bigg[ U(x) - \frac{x^{n}}{n!} \bigg].V(x) - U(x)\bigg[ V(x) + \frac{x^{n}}{n!} \bigg] =\frac{-x^{n}}{n!}. [U(x)+V(x)][/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]f'(x)= \frac{-2x^{n}}{n!} \bigg[ 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + ... + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \bigg][/TEX]

Do n \geq 3; n lẻ nên f'(x) cùng dấu vs (-2x)
Bảng biến thiên f(x)
\Rightarrow f(x) đồng biến trên ( -\infty; 0); nghịch biến trên ( 0; + \infty)
\Rightarrow f(x) < f(0) = 1 \Rightarrow ĐPCM :)
​
 
K

kitty.sweet.love

Bài tập ngoài chủ đề (khối đa diện) :)
Cho khối hộp ABCD,A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a tâm O. [TEX]\widehat{BAD}=60^{o}[/TEX]. Hình chiếu của B' trên (ABCD) là O. BB' = a. (P) đj wa AB' và trung điểm M của CC' chia khối hộp thành 2 khối đa diện. Tính V mỗi khối?
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom