[Toán 8] Tuyển tập các bộ đề thi HSG những năm 1980 ...

Thảo luận trong 'Đề thi - Tài liệu lớp 8' bắt đầu bởi trydan, 4 Tháng tư 2010.

Lượt xem: 11,870

  1. trydan

    trydan Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Mình viết series bài này nhằm đáp ứng nhu cầu tìm các đề thi HSG vào khoảng thời gian 20 năm trước cho các bạn mở mang thêm vốn kiến thức. Bộ series gồm có nhiều đề nên cần có nhiều thời gian để post được hết, rất mong các bạn dành thời gian theo dõi. Chúc các bạn học tốt :)@};-( thanks nha)
    (chủ đề này hiện gồm 5 trang)
    BỘ ĐỀ 1
    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM- NĂM HỌC 1990-1991
    Bài 1: Cho đa thức [TEX] P(x) = 2x^4-7x^3 -2x^2 +13x+6[/TEX]
    1) Phân tích P(x) thành nhân tử.
    2) Chứng minh rằng P(x) [TEX] \vdots [/TEX] 6 với mọi x [TEX] \in[/TEX]Z.
    Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ CE[TEX] \bot[/TEX] AB và CF[TEX] \bot[/TEX] AD.
    Chứng minh rằng: [TEX]AB.AE+AD.AF=AC^2[/TEX]
    Bài 3: Cho phân thức [TEX] F(x) = \frac {x^4+x^3-x^2-2x-2}{x^4+2x^3-x^2-4x-2}[/TEX]
    1) Rút gọn F(x).
    2) Tìm x để F(x) có giá trị nhỏ nhất
    Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 và đường cao AH = 120. Tính hai cạnh AB và AC.
    Bài 5: cho 3 số dương a, b, c.
    1) Chứng minh[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]
    2) Giải phương trình [TEX] \frac{a+b-x}{c} + \frac{ b+c-x}{a} + \frac{ c+a-x}{b} + \frac{4x}{a+b+c}=1 [/TEX]

    BỘ ĐỀ 2
    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM - NĂM HỌC 1991-1992

    Bài 1: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
    [TEX]a^2b+b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2-a^3-b^3-c^3> 0[/TEX]
    Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của [TEX]A= \frac{x^2+2x+3}{x^2+2}[/TEX]
    Bài 3: Giải phương trình: |x-1| +|2x+3| = |x| +4.
    Bài 4: Cho hình thoi ABCD có [TEX]\hat{B}[/TEX] tù. Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với các cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng [TEX] \frac{MN}{BD}=\frac{1}{2}[/TEX] . Tính các góc của hình thoi ABCD
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  2. 01263812493

    01263812493 Guest

    bộ đề 1
    câu1
    P(x)=[TEX] 2x^4 - 7x^3 -2x^2 + 13x + 6[/TEX] =[TEX] 2x^4 - 5x^3 - 2x^3 + 5x^2 - 7x^2 + 7x +6x +6 [/TEX]
    =[TEX] 2x^3(x-1) -5x^2(x-1) - 7x(x-1) +6(x+1) [/TEX]=[TEX] (x-1)(2x^3 -5x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX]
    =[TEX] (x-1)(2x^3 + 2x^2 - 7x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX]=[TEX] (x-1)[2x^2(x+1) - 7x(x+1)] +6(x+1) [/TEX]
    =[TEX] (x-1)(x+1)(2x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX] =[TEX] (x+1)[(x-1)(2x^2- 7x) +6] [/TEX] =[TEX] (x+1)(2x^3 - 9x^2 + 7x +6) [/TEX]
    b\P(x)= [TEX] (x-1)(x+1)(2x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX] = [TEX] x(x-1)(x+1)(2x-7) + 6(x+1) [/TEX]
    do [TEX] x(x-1)(x+1)(2x-7) [/TEX] chia hết cho 6 vì tích 3 số liên tip
    6(x+1) chia hết cho 6 => DPCM
    :D

    câu 3\a)

    [TEX]A= \frac{x^4 + x^3 - x^2 - 2x -2}{x^4 + 2x^3 -x^2 -4x - 2}[/TEX][TEX] = \frac{(x^2 + x +1)(x^2 - 2)}{(x+1)^2(x^2 -2)}[/TEX][TEX] = \frac{x^2 + x+ 1}{(x+1)^2}[/TEX]

    b\ A=[TEX] \frac{x^2 + x+ 1}{(x+1)^2}[/TEX]=[TEX] \frac{4(x^2 + x+ 1)}{4(x^2 + 2x+ 1)}[/TEX]=[TEX] \frac{3(x^2 + 2x + 1) + x^2 -2x +1}{4(x^2 + 2x+ 1)}[/TEX] =[TEX] \frac{3}{4} + \frac{(x-1)^2}{4(x^2 + 2x+ 1)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

    \Rightarrow A [TEX] Min = \frac{3}{4}[/TEX] khi x= 1
    công nhận đề mấy năm trước cực dễ
    bộ đề 2
    câu 2
    A=[TEX] \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2}[/TEX] =[TEX] \frac{2x^2 + 4 - x^2 +2x -1}{x^2 +2}[/TEX]=[TEX] 2 - \frac{(x-1)^2}{x^2+ 2} \leq 2[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow Max = 2 [/TEX] khi x=1
    A=[TEX] \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2}[/TEX]=[TEX] \frac{2(x^2 + 2x + 3)}{2(x^2 + 2)}[/TEX] =[TEX] \frac{x^2 + 2 +x^2 +4x+4}{2(x^2 + 2)}[/TEX]=[TEX] \frac{1}{2} + \frac{(x+2)^2}{2(x^2 + 2)} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow Min = \frac{1}{2}[/TEX] khi x=-2
    :D
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  3. le_tien

    le_tien Guest

    Bộ đề 1
    Bài số 5.

    Câu 1 dùng BDT cauchy là xong

    Câu 2:

    [TEX]\frac{a + b - x}{c} + \frac{a + c - x}{b} + \frac{b + c - x}{a} + \frac{4x}{a + b + c} = 1[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow ( \frac{a + b - x}{c} + 1 ) + ( \frac{a + c - x}{b} + 1 ) + (\frac{b + c - x}{c} + 1 ) - ( 4 - \frac{4x}{a + b + c} = 0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \frac{a + b + c - x}{c} + \frac{a + b + c - x}{b} + \frac{a + b + c - x}{c} - \frac{4(a + b + c - x)}{a + b + c} = 0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (a + b + c - x)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{4}{a + b + c}) = 0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x = a + b + c[/TEX]
     
  4. trydan

    trydan Guest

    Hi hi. Mấu chốt của Bộ đề 1 \ câu 5 \ 2) là phải lí luận được [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} - \frac{4}{a+b+c} > 0 [/TEX]. Bài làm của bạn chưa có phần này, suy nghĩ thêm nha ;)



    ______________________________________________________________
    Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  5. trydan

    trydan Guest

    Tiếp nha các bạn ( nhớ ủng hộ mình đó:-* )

    BỘ ĐỀ 3
    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1992-1993
    Bài 1: Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh
    1) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì [TEX]a^2+b^2 \vdots 13[/TEX]
    2) [TEX]10a^2 +5b^2 +12ab+4a-6b+13 \geq 0[/TEX]
    Bài 2: Ở bên ngoài hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh:
    1) AC=FH và AC [TEX]\bot[/TEX] FH.
    2) [TEX]\triangle [/TEX]CEG vuông cân.
    Bài 3: Cho đa thức [TEX]P(x) = x^4+2x^3-13x^2 -14x+24[/TEX] ; x [TEX]\in[/TEX] Z
    1) Phân tích P(x) thành nhân tử.
    2) CMR:[TEX] P(x) \vdots 6[/TEX]
    Bài 4: Cho [TEX]\triangle[/TEX] ABC, BD và CE là hai đường cao của [TEX]\triangle[/TEX] ABC. DF và EG là 2 đường cao của[TEX] \triangle[/TEX] ADE. Chứng minh:
    1) [TEX]\triangle ADE \sim \triangle ABC[/TEX]
    2) FG//AC
    Bài 5:
    1) CMR: phương trình[TEX] x^4-x^3+x-1=0[/TEX] chỉ có 2 nghiệm
    2) Tuỳ theo giá trị của m, giải phương trình [TEX]m^2x+1=x+m[/TEX]


    BỘ ĐỀ 4
    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1993-1994

    Bài 1: Cho[TEX] P(x) = x^4-3x^3+5x^2-9x+6[/TEX]
    1) Với x là số nguyên dương. CMR: [TEX] P(x) \vdots 6[/TEX]
    2) Giải phương trình P(x) = 0
    Bài 2: Cho tứ gáic ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm nằm trong tứ giac. Chứng minh:
    1) p< ACBD<2p
    2) p< MA+MB+MC+MD<3p
    Bài 3: Cho a + b + c = 1 và[TEX] a^2+b^2+c^2 =1[/TEX]
    1) Nếu [TEX]\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}[/TEX], CMR: xy + yz + zx = 0
    2) Nếu [TEX]a^3+b^3+c^3 = 1[/TEX]. Tìm giá trị của a, b, c.
    Bài 4: Cho [TEX]\triangle[/TEX] ABC (AB<AC). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
    1) So sánh[TEX] \widehat{BAH}[/TEX] và [TEX]\widehat{CAH}[/TEX]
    2) So sánh BD và CE.
    3) Chứng minh [TEX]\triangle ADE \sim \triangle ABC [/TEX]
    Bài 5: Giải phương trình :
    1) [TEX]\frac{x-a}{bc} + \frac{ x-b}{ac} +\frac {x-c}{ab} = 2 \big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac {1}{c} \big) [/TEX]
    2)[TEX] |x+1| -2|x-1| = x[/TEX]

     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  6. 01263812493

    01263812493 Guest

    có j` đâu

    do a,b,c là các số và [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} - \frac{4}{a+b+c} [/TEX] khác 0 vì không chứa biến nên phần đóa bỏ wa
     
  7. anhvuhien

    anhvuhien Guest

    Hình như ở bộ đề 1 bài 1 (x+1)(2x^3 - 9x^2 + 7x + 6) có thể phân tích tiếp thành (x + 1)(x - 3)(x - 2)(2x+1) đung không nhỉ?
     
  8. quan8d

    quan8d Guest

    Đề 3 :bài 1:
    1, Vì a:13 dư 2 nên a^2 : 13 dư 4 , b : 13 dư 3 nên b^2 :13 dư 9
    =>a^2 + b^2 chia hết cho 13
    2, 10a^2 +5b^2+12ab +4a -6b +13
    <=> 9a^2+12ab+4b^2 +a^2 +4a+4 +b^2-6b+9
    <=> (3a+2b)^2 + (a+2)^2 +(b-3)^2 \geq 0
     
  9. quan8d

    quan8d Guest

    __________________________________
    câu 1(đề 2): [TEX]A=a^2b +b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 -a^3 -b^3-c^3[/TEX]
    [TEX] \Leftrightarrow a^2(b+c-a) +b^2(a+c-b) +c^2(a+b-c) [/TEX]Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên A>0
    __________________ha ha
    đề 3
    câu 3: a, [TEX] x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x +24[/TEX][TEX]= x^4-x^3 +3x^3-3x^2-10x^2+10x -24x +24[/TEX]
    [TEX]=(x-1)(x^3 +3x^2 -10x -24)=(x-1)(x^3+2x^2+x^2+2x-12x-24)[/TEX]
    [TEX]=(x-1)(x+2)(x^2+x -12)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)[/TEX]
    b, [TEX](x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=(x-1)(x+2)(x+3)(x+4) -6(x-1)(x+2)(x+4)[/TEX]
    vì tích 3 sô tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên
    P(x) chia hết cho 6
    đề 4
    câu 3:x/a=y/b=z/c
    \Rightarrowx^2/a^2=y^2/b^2=z^2/c^2=(x+y+z)^2/(a+b+c)^2(1)
    Mặt khác :x^2/a^2=y^2/b^2=z^2/c^2= (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2) (2)
    a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1 =>(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2
    \Rightarrow(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2
    \Rightarrowxy +yz +zx=0
    chú ý latex
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  10. trydan

    trydan Guest

    Mấy bữa nay bận quá. Các bạn thông cảm.:(
    BỘ ĐỀ 5
    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1994-1995

    Bài 1:
    1) Phân tích đa thức thành nhân tử [TEX]6x^3+13x^2+4x-3[/TEX]
    2) Với giá trị nào của x thì giá trị biểu thức [TEX]A= (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)[/TEX] nhỏ nhất.
    Bài 2:
    1) Cho [TEX]a+b+c=0[/TEX]. Chứng minh [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]
    2) Giải phương trình [TEX](4x+3)^3+(5-7x)^3+(3x-8)^3=0[/TEX]
    Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác
    1) Chứng minh bất đẳng thức [TEX]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
    2) Chứng minh rằng nếu [TEX](a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)[/TEX] thì tam giác đã cho đều.
    Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông góc với AM cắt CD tại E và AB tại F. Chứng minh AM=EF
    Bài 5: Trong [TEX]\triangle[/TEX] ABC kẻ trung tuyến AM, K là 1 điểm trên AM sao cho [TEX]\frac{AK}{AM}=\frac{1}{3}[/TEX], BK cắt AC tại N.
    1) Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
    2) Một đường thẳng qua K cắt AB và AC lần lượt tại I và J.Chứng minh[TEX] \frac{AB}{AI}+\frac{AC}{AJ}=6[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  11. Bài 1:
    1) Phân tích đa thức thành nhân tử [TEX]6x^3+13x^2+4x-3[/TEX]
    2) Với giá trị nào của x thì giá trị biểu thức [TEX]A= (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)[/TEX] nhỏ nhất.
    Bài 2:
    1) Cho [TEX]a+b+c=0[/TEX]. Chứng minh [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]

    1-a [TEX] 6x^3+13x^2+4x-3=(3x-1)(x+1)(2x+3)[/TEX]
    b [TEX] A=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6) =(x^2+5x)^2-36 \geq36[/TEX]
    vậy MinA=-36 khi [TEX]x^2+5x=0[/TEX] khi x=0;x=-5
    2-a Ta xét hiệu [TEX] a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0[/TEX]
    Nên [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]

    Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác
    1) Chứng minh bất đẳng thức [TEX]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
    2) Chứng minh rằng nếu [TEX](a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)[/TEX] thì tam giác đã cho đều.

    a-ta xét hiệu[TEX] (a^2+b^2+c^2)-(ab-bc-ca)=1\2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)[/TEX]
    [TEX] =1\2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq 0[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca [/TEX]
    Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên [TEX]a<b+c\Rightarrow a^2<ab+ca[/TEX]
    tương tự ta có [TEX] b^2<bc+ab;c^2<ca+bc [/TEX]
    Cộng 3 BĐT trên ta được: [TEX]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
    suy ra [TEX]ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
    b-Theo câu a ta có[TEX] a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)[/TEX]
    dấu đẳng thức sảy ra khi a=b=c khi tam giác đó là tam giác đều
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  12. quan8d

    quan8d Guest

    a, ta có: [tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex] \leq [tex]a^2[/tex] +[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex]
    \Leftrightarrow 2([tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex]) \leq 2([tex]a^2 [/tex]+[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex])
    \Leftrightarrow 2[tex]a^2[/tex] +2[tex]b^2[/tex] +2[tex]c^2[/tex] - 2( [tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex]) \geq 0
    \Leftrightarrow [tex](a - b)^2[/tex]+[tex](b-c)^2[/tex]+[tex](c-a)^2[/tex] \geq 0 ( đung với \forall a,b,c)
    ta có :
    [tex]a^2[/tex] < a(b+c)
    [tex]b^2[/tex] < b(a+c) [tex]\rbrace[/tex] \Rightarrow [tex]a^2 [/tex]+[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex] < 2([tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex])
    [tex]c^2[/tex] < c(a+b)
    Vậy [tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex] \leq [tex]a^2[/tex] +[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex] < 2([tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex])

    2, ta có : 4x+3+5-7x+3x-8 =0 nên áp dụng câu 1,ta có:
    [tex](4x-3)^3 [/tex]+[tex](5-7x)^3 [/tex]+ [tex](3-8x)^3 [/tex] =3(4x+3)(5-7x)(3x-8)
    =>3(4x+3)(5-7x)(3x-8)=0
    =>[tex]\left[\begin{4x+3=0}\\{5-7x = 0}\\{3x-8=0} [/tex]
    \Rightarrow[tex]\left[\begin{x=-3/4}\\{x=5/7}\\{x=8/3} [/tex]

    ta có [tex]\Delta[/tex]ECM ~[tex]\Delta[/tex]FBM
    => [tex]\frac{EM}{MF}[/tex] = [tex]\frac{MC}{MB}[/tex]
    => [tex]\frac{EF}{MF}[/tex] = [tex]\frac{BC}{MB}[/tex] =[tex]\frac{AB}{BM}[/tex] (1)
    Lại có : [tex]\Delta[/tex]ABM ~[tex]\Delta[/tex]AMF
    => [tex]\frac{AB}{BM}[/tex]=[tex]\frac{AM}{MF}[/tex] (2)
    Từ (1) và (2) suy ra : [tex]\frac{EF}{MF}[/tex]=[tex]\frac{AM}{MF}[/tex]
    => EF=AM

    Từ M kẻ MD // BN ( D [tex]\in[/tex] AC)
    Vì M là trung điểm của BC nên MD =[tex]\frac{1}{2}[/tex]BN
    Vì AK = [tex]\frac{1}{3}[/tex]AM => KN =[tex]\frac{1}{3}[/tex]MD
    Suy ra : KN = [tex]\frac{1}{6}[/tex]BN hay KN=[tex]\frac{1}{5}[/tex]BK
    => [tex]\text{S}[/tex]AKN=[tex]\frac{1}{5}[/tex][tex]\text{S}[/tex]AKB=[tex]\frac{1}{15}[/tex][tex]\text{S}[/tex]ABM=[tex]\frac{1}{30}[/tex][tex]\text{S}[/tex]ABC
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  13. son_9f_ltv

    son_9f_ltv Guest

    chém bài này nha

    VT thì ko cần ĐK a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác,chỉ cần ĐK là >0
    chỉ cần nhân 2 cả 2 vế oy chuyển vế là ok!

    xét vế phải
    [TEX]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 0<ab+ac-a^2+bc+ba-b^2+ca+cb-c^2[/TEX]
    \Leftrightarrow[TEX]0<a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)[/TEX]

    do a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a+b>0
    \Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX]
     
  14. trydan

    trydan Guest

    Thanks các bạn đã ủng hộ mình nhiều nha. Và để đáp lại sự ủng hộ đó. Mình xin tung ra bộ đề 6- đảm bảo các bạn phải suy nghĩ nhiều hơn :khi (45):

    BỘ ĐỀ 6
    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1995-1996
    Bài 1: Cho n là số tự nhiên
    1) Xác định n để [TEX]A=\frac{5n-11}{4n-13}[/TEX] là số tự nhiên.
    2) Chứng minh rằng [TEX]B= n^3+6n^2-19n-24[/TEX] chia hết cho 6.
    3) Tính tổng [TEX]S(n)= \frac{1}{2.5}+ \frac{1}{5.8} +...+ \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}[/TEX]
    Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt ở I, M, N. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh:
    1) [TEX]IM.IN= ID^2[/TEX]
    2) [TEX]\frac{KM}{KN}=\frac{DM}{DN}[/TEX]
    Bài 3:
    1) Giải phương trình [TEX]|x-1|+|x+2|+|x-3|=14[/TEX]
    2) Tìm giá trị nguyên của x và y trong đẳng thức [TEX]2x^3+xy=7[/TEX]
    3) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh:
    [TEX]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+ \frac{d}{d+a+b}<2[/TEX]
    Bài 4: Cho tam giác ABC có BC=a và đường cao AH=h. Từ 1 điểm M trên đường cao AH vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB và AC tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
    1) Tính diện tích tứ giác PQRS theo a, h, x (AM=x).
    2) Xác định vị trí của M trên AH để diện tích này lớn nhất.
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  15. son_9f_ltv

    son_9f_ltv Guest

    có [TEX]a+b+c<a+b+c+d[/TEX]

    \Rightarrow[TEX]\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+ \frac{d}{d+b+a}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1(dpcm)[/TEX]

    [TEX]\frac{a}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=1[/TEX]

    [TEX]\frac{b}{b+c+d}+\frac{c+d}{b+c+d}=1[/TEX]

    [TEX]\frac{c}{c+d+a}+\frac{a+d}{c+d+a}=1[/TEX]

    [TEX]\frac{d}{d+a+b}+\frac{a+b}{d+a+b}=1[/TEX]

    cộng lại ta đc

    [TEX]\frac{a+b+c}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{b+c+d}+\frac{c+d+a}{c+d+a}+\frac{d+a+b}{d+a+b}=1+1+1=4[/TEX]

    mặt khác ta dễ CM đc [TEX]\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+d}{b+c+d}+\frac{a+d}{c+d+a}+\frac{a+b}{d+a+b}>2[/TEX]

    thật vậy

    bằng cách trên ta có [TEX]\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+d}{b+c+d}+\frac{a+d}{c+d+a}+\frac{a+b}{d+a+b}>\frac{b+c+c+d+d+a+a+b}{a+b+c+d}=2\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=2(dpcm)[/TEX]

    xét [TEX]\left[\begin{x\ge 3}\\{x\le 1}\\{1<x<3}[/TEX] :)
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  16. trydan

    trydan Guest

    Hây da. Bữa nay mình quyết định là phải xử xong 1 bộ đề rồi mới post tiếp. Chứ post nhiều quá thì ..................:(:eek::-S
    ở đây mình xử luôn bài
    Bài 1: 2) [TEX]n^3+6n^2-19n-14= n^3-n+6n^2-18n-24 = n(n^2-1)+6(n^2-3n-4)[/TEX]
    [TEX]=n(n-1)(n+1) +6(n^2-3n-4)[/TEX]
    Ta thấy [TEX]n(n-1)(n+1)[/TEX] chia hết cho 6 và [TEX]6(n^2-3n-4)[/TEX] cũng chi hết cho 6 \Rightarrow đpcm
    3) [TEX]S=\frac{1}{3}\big[ \frac{3}{2.5}+ \frac{3}{5.8}+....+ \frac{3}{(3n-1)(3n+2)} \big][/TEX]
    [TEX]= \frac{1}{3} \big( \frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5} -.... -\frac{1}{3n+2}\big)[/TEX]
    [TEX]=\frac{1}{3} \big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2} \big) = \frac{n}{2(3n+2)}[/TEX]
    Bài 2 và Bài 4 cũng rất dễ, các bạn tự làm nha. Còn câu 1b) thì mình không biết làm. Các bạn giúp mình nha &gt;:D&lt; Thanks nhiều
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  17. trydan

    trydan Guest

    Lâu rồi chưa post đề.................:)
    BỘ ĐỀ 7
    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1996-1997​


    Bài 1: Rút gọn rồi tính số trị của biểu thức
    [TEX]A= \frac{2a^3-12a^2+17a-2}{a-2}[/TEX] biết rằng a là nghiệm nguyên của phương trình [TEX]|a^2-3a+1|=1[/TEX]
    Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B và các giá trị của x tương ứng
    [TEX]B=(3x-1)^2-4|3x-1|+5[/TEX]
    Bài 3: Cho a + b + c = 1 . Chứng minh rằng [TEX]a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}[/TEX]
    Bài 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đường thẳng. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD, EFGH.
    1) Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng [TEX]\triangle OHE \sim \triangle OBC[/TEX]
    2) Chứng minh rằng các đường thẳng CE và DF cùng đi qua O.
    Bài 5: Cho các điểm E và F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho AF=CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE. Chứng minh rằng ID là phân giác của [TEX]\widehat{AIC}[/TEX].
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  18. quan8d

    quan8d Guest

    3, Ta có : [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX]
    [TEX]b^2+c^2 \geq 2bc [/TEX]
    [TEX]c^2+a^2 \geq 2ac[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ac)[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2=1[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX]
    :khi (58): :khi (186):

    Ta có :[TEX] (3x-1)^2 - 4|3x-1| +5= (|3x-1|)^2 -4|3x-1| +4+1= (|3x-1|-2)^2+1 \geq 1[/TEX]
    Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow |3x-1|-2=0 \Leftrightarrow |3x-1|=2[/TEX]
    \Leftrightarrow x=1, hoặc[TEX] x=\frac{-1}{3}[/TEX]
    Vậy [TEX]Min = 1 \Leftrightarrow x=1, x=\frac{-1}{3}[/TEX]

    Bài 5. Nối D với E, D với F . Từ D kẻ DH và DK lần lượt vuông góc với AF và EC ( H thuộc AF, K thuộc EC)
    Dễ dang chứng minh được [tex]S[/tex] AFD=[tex]S[/tex] EDC=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] [tex]S[/tex] ABCD
    => [TEX]\frac{1}{2} AF.DH=\frac{1}{2} EC.DK[/TEX]
    mà AF=EC nên DH = DK
    suy ra D cách đều IA và IC nên ID là phân giác góc AIC :D:D:D;););):):)
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2010
  19. trydan

    trydan Guest

    Lâu rùi chưa có bài viết mới. Mình xin xử bài 1 trước nhá:):(
    Giải phương trình [TEX]|a^2-3a+1|=1[/TEX] ta được a [TEX]\in[/TEX] {0;1;2;3}
    Rút gọn A ta được [TEX]A = \frac{(a-2)(2a^2-8a+1)}{a-2} = 2a^2-8a+1[/TEX]
    Với a=0 thì A = 1
    Với a=1 thì A = -5
    Với a=2 thì A vô nghĩa
    Với a=3 thì A = -5

     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
  20. trydan

    trydan Guest

    Xin lỗi các bạn vì pic này đã dừng hoạt động quá lâu:)|:(. Mình xin khởi động lại nha;):-*
    Bài 4: (Bộ đề 7)
    1) HG//AB \Rightarrow [TEX]\frac{OH}{OB}=\frac{HE}{BC}[/TEX]
    Xét [TEX]\triangle[/TEX]OHE và [TEX]\triangle[/TEX]OBC có
    [TEX]\frac{OH}{OB}=\frac{HE}{BC}[/TEX] và [TEX]\widehat{EHB}=\widehat{HBC}[/TEX](HE//BC)
    \Rightarrow [TEX]\triangle[/TEX]OHE [TEX]\sim[/TEX] [TEX]\triangle[/TEX]OBC
    2) Chứng minh tương tự \Rightarrow[TEX] \triangle [/TEX]AOD [TEX]\sim[/TEX] [TEX]\triangle[/TEX]GOF (c.g.c)
    [TEX]\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{GOF}[/TEX]
    mà [TEX]\widehat{AOD} + \widehat{DOG} = 180^ o[/TEX] (hai góc kề bù)
    [TEX]\Rightarrow \widehat{GOF}+\widehat{DOG}=180^o [/TEX]hay [TEX]\widehat{DOF}=180^o[/TEX]
    hay D, O, F thẳng hàng. Vậy DF đi qua O
    Chứng minh tương tự suy ra CE đi qua 0
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2010
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->