B
bigbang195
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bất Đẳng Thức
Topic lập ra cho member năm nay thi luyện BĐT-CT, thường thì BĐT-CT trong các kỳ thi vào lớp 10 chuyên thường khá dễ, tuy nhiên cũng không ít bài bài cần đến sự tinh tế trong lối suy nghĩ mới có thể đưa ra 1 lời giải gọn, đẹp mà không dùng kiến thức quá cao. Đề nghị không đưa lên những BĐT quá xa vời, không phù hợp với mức độ thi vào lớp 10 chuyên.
Trước hết ta sẽ nhắc lại một số bất đẳng thức thông dụng :
[TEX]\huge +[/TEX]Bất Đẳng thức Cauchy(AM-GM):
[TEX]\huge *[/TEX]với 2 biến : [TEX]\huge a+b \ge 2\sqrt{ab}[/TEX] với mọi [TEX]\huge a,b \ge 0[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]với 3 biến : [TEX]\huge a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}[/TEX] với mọi [tex]\huge a,b,c \ge 0[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]với n biến : [TEX]\huge a_1+a_2+...a_n \ge n\sqrt[n]{a_1a_2..a_n}[/TEX] với mọi [TEX]\huge a_1,a_2,...a_n \ge 0[/TEX]
*Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz(Bunhiacopski) :
[TEX]\huge *[/TEX]với mọi [TEX]\huge a,b,x,y (a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]với mọi [TEX]\huge a,b,c,x,y,z (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2 [/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]và tổng quát với 2 bộ số bất kì [TEX]\huge (a_1,a_2...a_n) ; (b_1,b_2,...b_n)[/TEX] thì
[TEX]\huge (a_1^2+a_2^2+...a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...b_n^2) \ge(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)^2[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]dạng mở rộng :
[TEX]\huge \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...\frac{a_n^2}{b_n} \ge\frac{(a_1+a_2+...a_n)^2}{b_1+b_2+...b_n}[/TEX]
Bất đẳng thức Chebyshev:
[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b ; x \ge y[/TEX] thì:[TEX]\huge (a+b)(x+y) \le 2(ax+by)[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b \ge c[/TEX] và [TEX]\huge x \ge y \ge z [/TEX]thì [TEX]\huge (a+b+c)(x+y+z) \le 3(ax+by+xz)[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]dạng tổng quát : với mọi [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n[/TEX] thì
[TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \le n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]nếu là 2 dãy ngược chiều [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\le b_2\le ...\le b_n[/TEX] thì
[TEX]\huge *[/TEX][TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \ge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]
Một số hằng bất đẳng thức :
[TEX]\huge *[/TEX](i)[TEX]\huge \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX](ii)[TEX]\huge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{9}{a+b+c}[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX](iii)[TEX]\huge a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2 \ge ab+bc+ac[/TEX]
với [TEX]\huge a,b,c[/TEX] là các số dương
Mở rộng thêm :
Bất đẳng thức MinCopxki :
[TEX]\huge *[/TEX]với mọi [TEX] \huge a,b,x,y,z[/TEX] thì
[TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}[/TEX]
[TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}[/TEX]
[TEX]\huge *[/TEX]Dạng tổng quát với mọi [TEX]\huge a_1,a_2...a_n;b_1,b_2...b_n[/TEX] thì :
[TEX]\huge \sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+..\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ge \sqrt{(a_1+a_2+...a_n)^2+(b_1+b_2+...b_n)^2[/TEX]
Chứng minh nó khá dễ vì nó chính là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwar
Các bất đẳng thức trên đều dễ chứng minh,xin dành cho các bạn.Tuy có dạng tổng quát nhưng đối với học sinh trung học cơ sở thì chỉ được sử dụng 2 bất đẳng thức này với 2 biến(am-gm) hay 2 bộ số (Bunhiacopski) .Nếu các bạn muốn sử dụngvới nhiều biến hơn thì khi đi thi phải chứng minh các bất đẳng thức này.
Bài Tập
Trước hết các bạn hãy bắt đầu với nhưng bài thuộc dạng "dễ" để làm quen và là cái nên để đi đến các dạng khó hơn !
Bài 1:Chứng minh rằng nếu[TEX] \huge x,y,z[/TEX] là các số dương thì
[TEX]\huge \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \ge \frac{x+y+z}{2}[/TEX]
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số dương[TEX] \huge a,b,c,d >0[/TEX] thì
[TEX]\huge \frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d} \ge 0[/TEX]
Bài 3:Hai số dương [TEX]\huge x^2+y^2=1[/TEX] có tổng bằng [TEX]\huge 1[/TEX].Chứng minh rằng
[TEX]\huge \frac{1}{\sqrt{2}} \le x^3+y^3 \le 1[/TEX]
Last edited by a moderator:
