Toán 9 chứng minh

[G-11F]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho (O) và 1 điểm M cố định nằm ngoài (O). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O) (A và B là 2 tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BC của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh FC là tiếp tuyến của (O).
2. Cho 3 số dương x, y, z thây đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:
P = [tex]\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}[/tex]

 

[Lunatic Prime]

2.
$P = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} = 3 - (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}) = 3 - Q$.
$Q \geq \frac{(1 + 1 + 1)^2}{x + 1 + y + 1 + z + 1} = \frac{9}{4}$ (Cauchy - Schwarz).
Vậy: $P \leq 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$.
Với $x = y = z = \frac{1}{3}$ thì $P = \frac{3}{4}$ và $x + y + z = 1$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{4}{3}$.