* n chẵn [tex]<=> 2^{n}[/tex] chia cho 3 dư 1 [tex]<=> 2^{n} - 1 \vdots 3[/tex]
- Chứng minh: đặt [tex] n = 2k ( k \in N )[/tex]
Khi đó: [tex]2^{n} - 1 = 2^{2k}-1 = 4^k - 1 = (4-1)(4^{k-1}+4^{k-2}+...+4+1) = 3(4^{k-1}+4^{k-2}+...+4+1) \vdots 3 [/tex]
n lẻ [tex]<=> 2^{n}[/tex] chia cho 3 dư 2 [tex]<=> 2^{n} - 1[/tex] chia cho 3 dư 1 (Chứng minh như trên)
* Đặt [tex]A = \frac{2^{n}-1}{3} = \frac{4^k-1}{3} = 4^{k-1}+4^{k-2}+...+4+1[/tex]
Dễ dàng nhận ra A là tổng của k số hạng [tex](1,4,...,4^{k-2},4^{k-1})[/tex]
+) Nếu [tex]k[/tex] chẵn [tex]<=> A = 4^{k-2}(4+1)+4^{k-4}(4+1)+...+(4+1) = 5.4^{k-2}+5.4^{k-4}+...+5 \vdots 5 <=> 4m^2+1 \vdots 5 <=> m \in {1,4,6,...}[/tex]
+) Nếu [tex]k[/tex] lẻ [tex]<=> A = 4^{k-2}(4+1)+4^{k-4}(4+1)+...+4(4+1)+1 = 5.4^{k-2}+5.4^{k-4}+...+5+1 [/tex] chia 5 dư 1
[tex]<=> 4m^2 + 1 [/tex] chia 5 dư 1[tex]<=> 4m^2 \vdots 5 <=> m \vdots 5[/tex]
Vậy luôn tồn tại số nguyên m để [tex]\frac{2^{n}-1}{3} \vdots 4m^2+1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
