Toán 9 Tìm GTNN

[Đỗ Hằng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z >0 thoả mãn: 2x+4y+7z=2xyz
Tìm gtnn: P=x+y+z

 

[Trần Vân Anh 2k5]

Cho x,y,z >0 thoả mãn: 2x+4y+7z=2xyz
Tìm gtnn: P=x+y+z

điểm rơi tại(x;y;z)=(3;5/2;2)
để đơn giản trong việc tính toán ta đặt:a=x/3;b=2y/5;c=z/2
khi đó bài toán trở thành:
cho a,b,c>thỏa 6a+10b+14c=30abc.Tìm GTNNcủa P=3a+5b/2+2c
chú ý với cách đặt trên thì dấu = sẽ đạt tại a=b=c=1.Mục đích đặt như vậy là để áp dụng AM=GM cho tiện
khi đó ta có các đánh giá sau:
30abc=6a+10b+14c>=30[tex]\sqrt[30]{a^{6}b^{10}c^{14}}[/tex] [tex]\Rightarrow a^{24}b^{20}c^{16}\geq 1\Leftrightarrow a^{6}b^{5}c^{4}\geq 1(*) từ (*)suy ra P=\frac{6a+5b+4c}{2}\geq \frac{15\sqrt[15]{a^{6}b^{5}c^{4}}}{2}\geq \frac{15}{2}[/tex]

em nghĩ chị nên làm cách này tốt hơn nè
[tex]Từ gt:z=\frac{2x+4y}{2xy-7}\Rightarrow P=x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}=x+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{2}{x}(2xy-7)+\frac{14}{x}}{2xy-7}=x+\frac{11}{2x}+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\geq x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x}}=f(x),AM-GM.f'(x)=1-\frac{11}{2x^{2}}-\frac{14}{x^{3}\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}.f'(3)=0,f'(x)tăng BBT f(x)\geq \frac{15}{2}\Rightarrow P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=3,y=\frac{5}{2},z=2[/tex]

 

[Đỗ Hằng]

em nghĩ chị nên làm cách này tốt hơn nè
Từ gt:z=\frac{2x+4y}{2xy-7}\Rightarrow P=x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}=x+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{2}{x}(2xy-7)+\frac{14}{x}}{2xy-7}=x+\frac{11}{2x}+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\geq x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x}}=f(x),AM-GM.f'(x)=1-\frac{11}{2x^{2}}-\frac{14}{x^{3}\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}.f'(3)=0,f'(x)tăng BBT f(x)\geq \frac{15}{2}\Rightarrow P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=3,y=\frac{5}{2},z=2[tex]Từ gt:z=\frac{2x+4y}{2xy-7}\Rightarrow P=x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}=x+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{2}{x}(2xy-7)+\frac{14}{x}}{2xy-7}=x+\frac{11}{2x}+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\geq x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x}}=f(x),AM-GM.f'(x)=1-\frac{11}{2x^{2}}-\frac{14}{x^{3}\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}.f'(3)=0,f'(x)tăng BBT f(x)\geq \frac{15}{2}\Rightarrow P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=3,y=\frac{5}{2},z=[/tex]

Chị không hiểu từ chỗ AM- GM cho lắm, em giải thích lại được không?

 

[Trần Vân Anh 2k5]

Chị không hiểu từ chỗ AM- GM cho lắm, em giải thích lại được không?

bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm

 

[Đỗ Hằng]

bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm

Chị biết bất đẳng thức này
Chỗ chị không hiểu là chỗ biến đổi sau đó á
Em viết rõ hơn đi

 

[Trần Vân Anh 2k5]

Áp dụng giả thiết ta sẽ có
$z=\dfrac{2x+4y}{2xy-7}$
suy ra $P = x + y + \dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$ P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \left( {y - \dfrac{7}{{2x}}} \right) + \left( {\dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}} - \dfrac{2}{x}} \right) $$

$$ \Leftrightarrow P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2xy - 7}}{{2x}} + \dfrac{{2{x^2} + 7}}{{2xy - 7}} $$

$$ \Leftrightarrow P \geqslant x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2\sqrt {{x^2} + 7} }}{x} $$

Xét hàm số theo biến $x$ và lấy đạo hàm ta sẽ có được

$f'(x) = 1 - \frac{{11}}{{2x^2 }} - \frac{{14}}{{x^3 \sqrt {1 + \frac{7}{{x^2 }}} }}
$

Dễ thấy rằng $f'(x )$tăng khi $x>0$, và $f'(3)=0$

suy ra $ {P_{\min }} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow x = 3,y = \dfrac{5}{2},z = 2 $

em chỉ biết làm đến đó thôi
mặc dù cx hơi khó hiểu
chị thông cảm nhak

 

[Đỗ Hằng]

em chỉ biết làm đến đó thôi
mặc dù cx hơi khó hiểu
chị thông cảm nhak

Chị chưa học đạo hàm em ơi còn cách nào không dùng đạo hàm không?

 

[Sakura Futaba]

bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm

Sao bạn biết những BDT này nhỉ. Mình học qua rồi mà chả hiểu. Liệu bạn có thể giúp mình đc ko

 

[Trần Vân Anh 2k5]

Chị chưa học đạo hàm em ơi còn cách nào không dùng đạo hàm không?

Em chỉ mới học cách đó thôi chị ak

Sao bạn biết những BDT này nhỉ. Mình học qua rồi mà chả hiểu. Liệu bạn có thể giúp mình đc ko

Lên lớp 9 là họ dạy kĩ bạn ạ

 

[Sakura Futaba]

Em chỉ mới học cách đó thôi chị ak

Lên lớp 9 là họ dạy kĩ bạn ạ

Mình học qua rồi

 

[Ngoc Anhs]

Cho x,y,z >0 thoả mãn: 2x+4y+7z=2xyz
Tìm gtnn: P=x+y+z

Em tham khảo thêm một số cách ở đây nhá!
https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-bat-dang-thuc-hay.309161/