- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Nhằm mục đích giải toán nhanh hơn với bài toán cực trị liên quan đến hàm bậc 3 và hàm phân thức, ta chú ý 2 kết quả sau:
1. Với hàm bậc 3:
Nếu hàm [imath]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/imath]có 2 điểm cực trị, thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị được tính bằng: f(x) / f ' (x) lấy phần dư:
[imath](d):y=ax+b=\frac{f(x)}{f'(x)}[/imath] lấy dư
Từ đó có thể tính được tung độ của cực trị dựa vào (d), giúp việc tính toán dễ dàng hơn.
2. Với hàm phân thức:
[imath]y=\frac{u(x)}{v(x)}[/imath] ( thường gặp là đa thức tử bậc 2, mẫu bậc 1)
Gọi điểm cực trị của hàm y có hoành độ[imath]x_o[/imath].Ta có công thức tính tung độ của điểm cực trị như sau:
[imath]y(x_o)=\frac{u'(x_o)}{v'(x_o)}[/imath]
Minh họa: Cho hàm số:[imath]y=\frac{x^2-2mx+m+1}{x-1}[/imath]. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn:
[imath]y_{CD},y_{CT}[/imath] cùng dấu.
Lời giải:
Ta có: [imath]y'=\frac{x^2-2x-1+m}{(x-1)^2}[/imath]
Để hàm có CĐ, CT thì pt y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
<=>[imath]\Delta '>0<=>2-m>0<=>m<2[/imath]
Để nghiệm khác 1: [imath]m+1^2-2.1-1\neq 0<=>m\neq 2[/imath]
Vậy : m<2 là điều kiện để hàm có CĐ, CT.
Gọi [imath]x_1,x_2[/imath] là 2 nghiệm của pt [imath]y'=0[/imath]. Theo như lí thuyết bên trên ta có:
[imath]y(x_1)=2x_1-2m[/imath] và [imath]y(x_2)=2x_2-2m[/imath]
[imath]y(x_1).y(x_2)>0<=>(2x_1-2m)(2x_2-2m)>0<=>x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2>0[/imath] (1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, thay vào (1) ta được:
[imath]m-1-m.2+m^2>0<=>m^2-m-1>0[/imath]
[imath]m>\frac{1+\sqrt{5}}{2};m<\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/imath]
Kết hợp với điều kiện có nghiệm ta được: [imath]2>m> \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/imath] hoặc [imath]m<\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/imath]
B2: Cho hàm số: [imath]y=mx^3-mx^2+2x-1[/imath]. Định m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn [imath]y_{CD}.y_{CT}>0[/imath]
Ta có: [imath]y'=3mx^2-2mx+2[/imath]
Để hàm số có 2 cực trị thì pt [imath]3mx^2-2mx+2=0[/imath]có 2 nghiệm phân biệt
<=>m khác 0
Và [imath]\Delta '=m^2-6m>0<=>m>6;m<0[/imath]
Gọi [imath]x_1,x_2[/imath] là 2 nghiệm của pt [imath]y' = 0[/imath]
Ta có pt đi qua 2 điểm CT: lấy: [imath](mx^3-mx^2+2x-1)/(3mx^2-2mx+2)[/imath] lấy phần dư ta được:
[imath]=(\frac{4}{3}-\frac{2m}{9})x-\frac{7}{9}[/imath]
[imath]y(x_1)y(x_2)>0<=>[(\frac{4}{3}-\frac{2m}{9})x_1-\frac{7}{9}][(\frac{4}{3}-\frac{2m}{9})x_2-\frac{7}{9}]>0[/imath]
Nhân phá, sử dụng Vi-ét và giải nốt phần còn lại.
Xem thêm:
1. Với hàm bậc 3:
Nếu hàm [imath]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/imath]có 2 điểm cực trị, thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị được tính bằng: f(x) / f ' (x) lấy phần dư:
[imath](d):y=ax+b=\frac{f(x)}{f'(x)}[/imath] lấy dư
Từ đó có thể tính được tung độ của cực trị dựa vào (d), giúp việc tính toán dễ dàng hơn.
2. Với hàm phân thức:
[imath]y=\frac{u(x)}{v(x)}[/imath] ( thường gặp là đa thức tử bậc 2, mẫu bậc 1)
Gọi điểm cực trị của hàm y có hoành độ[imath]x_o[/imath].Ta có công thức tính tung độ của điểm cực trị như sau:
[imath]y(x_o)=\frac{u'(x_o)}{v'(x_o)}[/imath]
Minh họa: Cho hàm số:[imath]y=\frac{x^2-2mx+m+1}{x-1}[/imath]. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn:
[imath]y_{CD},y_{CT}[/imath] cùng dấu.
Lời giải:
Ta có: [imath]y'=\frac{x^2-2x-1+m}{(x-1)^2}[/imath]
Để hàm có CĐ, CT thì pt y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
<=>[imath]\Delta '>0<=>2-m>0<=>m<2[/imath]
Để nghiệm khác 1: [imath]m+1^2-2.1-1\neq 0<=>m\neq 2[/imath]
Vậy : m<2 là điều kiện để hàm có CĐ, CT.
Gọi [imath]x_1,x_2[/imath] là 2 nghiệm của pt [imath]y'=0[/imath]. Theo như lí thuyết bên trên ta có:
[imath]y(x_1)=2x_1-2m[/imath] và [imath]y(x_2)=2x_2-2m[/imath]
[imath]y(x_1).y(x_2)>0<=>(2x_1-2m)(2x_2-2m)>0<=>x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2>0[/imath] (1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, thay vào (1) ta được:
[imath]m-1-m.2+m^2>0<=>m^2-m-1>0[/imath]
[imath]m>\frac{1+\sqrt{5}}{2};m<\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/imath]
Kết hợp với điều kiện có nghiệm ta được: [imath]2>m> \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/imath] hoặc [imath]m<\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/imath]
B2: Cho hàm số: [imath]y=mx^3-mx^2+2x-1[/imath]. Định m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn [imath]y_{CD}.y_{CT}>0[/imath]
Ta có: [imath]y'=3mx^2-2mx+2[/imath]
Để hàm số có 2 cực trị thì pt [imath]3mx^2-2mx+2=0[/imath]có 2 nghiệm phân biệt
<=>m khác 0
Và [imath]\Delta '=m^2-6m>0<=>m>6;m<0[/imath]
Gọi [imath]x_1,x_2[/imath] là 2 nghiệm của pt [imath]y' = 0[/imath]
Ta có pt đi qua 2 điểm CT: lấy: [imath](mx^3-mx^2+2x-1)/(3mx^2-2mx+2)[/imath] lấy phần dư ta được:
[imath]=(\frac{4}{3}-\frac{2m}{9})x-\frac{7}{9}[/imath]
[imath]y(x_1)y(x_2)>0<=>[(\frac{4}{3}-\frac{2m}{9})x_1-\frac{7}{9}][(\frac{4}{3}-\frac{2m}{9})x_2-\frac{7}{9}]>0[/imath]
Nhân phá, sử dụng Vi-ét và giải nốt phần còn lại.
Xem thêm:
- Học chương ứng dụng đạo hàm như thế nào
- Tính chẵn lẻ của hàm số
- Cách tìm nhanh phương trình đi qua cực đại cực tiểu hàm bậc 3
- Cực trị và các vấn đề nên nhớ của hàm trùng phương
- Cực trị và các vấn đề nên nhớ của hàm bậc 3
- Thử giá trị với bài toán cho bảng xét dấu f'(x)
- Cực trị hàm phân thức và hàm bậc 3
- Ôn tập một số lý thuyết chương hàm số với các mệnh đề
- Xét khoảng ĐB,NB của f(x) dựa trên f'(x)
- Đường tiệm cận và bài tập
- Dạng tìm nghiệm của đồ thị hàm số
- Nhận biết nhanh cực đại, cực tiểu với hàm bậc 3 và hàm trùng phương
- Phân biệt cực trị, GTLN/GTNN cho ai còn bị nhầm
Last edited by a moderator:
