- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn là loại biểu diễn số phức thường gặp nhất. Các công thức sử dụng nhanh sau để giúp các bạn giải quyết nhanh các bài toán biểu diễn số phức ở mức điểm 7.
Kết quả quen thuộc: Cho số phức [TEX]z_1[/TEX] có điểm biểu diễn là I . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn [TEX]|z-z_1|=R[/TEX] (với R là số thực dương), là đường tròn tâm (I;R)
Ta có 1 số kết quả mở rộng như sau ( ghi nhớ để áp dụng nhanh ):
Cho số phức [TEX]z_1,z_2[/TEX] , số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-z_1|=R[/TEX] , khi đó ta có:
* Tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=z.z_2[/TEX] là 1 đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [TEX]z_1.z_2[/TEX], bán kính là [TEX]R.|z_2|[/TEX]
Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-1+i|=7[/TEX]. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức: [TEX]w=(3+4i)z[/TEX] là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó:
Giải: Ta có: [TEX]|z-(1-i)|=7=>z_1=1-i=>z_1.z_2=(1-i)(3+4i)=7+i=>I(7;1)[/TEX]
[TEX]R=|z_2|.R=7|3+4i|=35[/TEX]
*Tập hợp điểm biểu diễn số phức: [tex]w=\frac{z}{z_2}[/tex] là một đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [tex]\frac{z_1}{z_2}[/tex] , bán kính bằng [tex]\frac{R}{|z_2|}[/tex]
*Tập hợp điểm biểu diễn số phức: [TEX]w=z+z_2[/TEX] là một đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [TEX]z_1+z_2[/TEX], bán kính R
*Tập hợp điểm biểu diễn số phức: [TEX]w=z-z_2[/TEX] là một đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [TEX]z_1-z_2[/TEX], bán kính R
*(Bài toán này có thêm số phức [TEX]z_3[/TEX]):tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=z_2z+z_3[/TEX] là một đường tròn. Có tâm là điểm biểu diễn của số phức [TEX]z_1z_2+z_3[/TEX], bán kính [TEX]|z_2|R[/TEX]
Có thể thấy phần tìm tâm đường tròn của cả 5 trường hợp đều giống nhau, đó là "cộng trừ nhân chia [TEX]z_1,z_2[/TEX] tương ứng với phép toán yêu cầu" . Việc nhớ biểu thức tìm tâm I của số phức [TEX]w[/TEX] yêu cầu, rất đơn giản chỉ là thay [TEX]z[/TEX] trong biểu thức điều kiện của [TEX]w[/TEX] bằng số phức [TEX]z_1[/TEX]. Còn phần tìm bán kính thì có hơi khác biệt giữa các trường hợp này, nhưng nhìn chung vẫn khá dễ nhớ.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-6+i|=4[/TEX]. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=(1+3i)z-5-2i[/TEX] là một đường tròn, tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
Giải: Ta có: [TEX]|z-6+i|=|z-(6-i)|=>z_1=6-i,z_2=1+3i,z_3=-5-2i[/TEX]
=> Tâm là điểm biểu diễn số phức:[TEX](6-i)(1+3i)-5-2i=4+15i=>I(4;15)[/TEX]
R=[TEX]|1+3i|4=4\sqrt{10}[/TEX]
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-2-3i|=1[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của [tex]|\overline{z}+1+i|[/tex]
Giải: Ta có thể nhận ra ngay đây là dạng dấu * thứ 3 trong 5 trường hợp đã liệt kê ở trên. Tuy nhiên 2 số phức trong dấu tuyệt đối lại không phải cùng là z. Vậy ta cần biến đổi 1 chút.
Ta có [TEX]|z|=|\overline{z}|=>|z-2-3i|=|\overline{z-(2+3i)}|=|\overline{z}-\overline{2+3i}|=|\overline{z}-(2-3i)|[/TEX]
Như vậy ta được tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=\overline{z}+(1+i)[/TEX]là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức: [TEX](2-3i)+(1+i)=3-2i=>I(3;-2)[/TEX], bán kính R=1
=>[TEX]|w|max=OI+R=\sqrt{13}+1[/TEX]
Kết quả quen thuộc: Cho số phức [TEX]z_1[/TEX] có điểm biểu diễn là I . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn [TEX]|z-z_1|=R[/TEX] (với R là số thực dương), là đường tròn tâm (I;R)
Ta có 1 số kết quả mở rộng như sau ( ghi nhớ để áp dụng nhanh ):
Cho số phức [TEX]z_1,z_2[/TEX] , số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-z_1|=R[/TEX] , khi đó ta có:
* Tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=z.z_2[/TEX] là 1 đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [TEX]z_1.z_2[/TEX], bán kính là [TEX]R.|z_2|[/TEX]
Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-1+i|=7[/TEX]. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức: [TEX]w=(3+4i)z[/TEX] là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó:
Giải: Ta có: [TEX]|z-(1-i)|=7=>z_1=1-i=>z_1.z_2=(1-i)(3+4i)=7+i=>I(7;1)[/TEX]
[TEX]R=|z_2|.R=7|3+4i|=35[/TEX]
*Tập hợp điểm biểu diễn số phức: [tex]w=\frac{z}{z_2}[/tex] là một đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [tex]\frac{z_1}{z_2}[/tex] , bán kính bằng [tex]\frac{R}{|z_2|}[/tex]
*Tập hợp điểm biểu diễn số phức: [TEX]w=z+z_2[/TEX] là một đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [TEX]z_1+z_2[/TEX], bán kính R
*Tập hợp điểm biểu diễn số phức: [TEX]w=z-z_2[/TEX] là một đường tròn, với tâm là điểm biểu diễn số phức [TEX]z_1-z_2[/TEX], bán kính R
*(Bài toán này có thêm số phức [TEX]z_3[/TEX]):tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=z_2z+z_3[/TEX] là một đường tròn. Có tâm là điểm biểu diễn của số phức [TEX]z_1z_2+z_3[/TEX], bán kính [TEX]|z_2|R[/TEX]
Có thể thấy phần tìm tâm đường tròn của cả 5 trường hợp đều giống nhau, đó là "cộng trừ nhân chia [TEX]z_1,z_2[/TEX] tương ứng với phép toán yêu cầu" . Việc nhớ biểu thức tìm tâm I của số phức [TEX]w[/TEX] yêu cầu, rất đơn giản chỉ là thay [TEX]z[/TEX] trong biểu thức điều kiện của [TEX]w[/TEX] bằng số phức [TEX]z_1[/TEX]. Còn phần tìm bán kính thì có hơi khác biệt giữa các trường hợp này, nhưng nhìn chung vẫn khá dễ nhớ.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-6+i|=4[/TEX]. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=(1+3i)z-5-2i[/TEX] là một đường tròn, tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
Giải: Ta có: [TEX]|z-6+i|=|z-(6-i)|=>z_1=6-i,z_2=1+3i,z_3=-5-2i[/TEX]
=> Tâm là điểm biểu diễn số phức:[TEX](6-i)(1+3i)-5-2i=4+15i=>I(4;15)[/TEX]
R=[TEX]|1+3i|4=4\sqrt{10}[/TEX]
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: [TEX]|z-2-3i|=1[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của [tex]|\overline{z}+1+i|[/tex]
Giải: Ta có thể nhận ra ngay đây là dạng dấu * thứ 3 trong 5 trường hợp đã liệt kê ở trên. Tuy nhiên 2 số phức trong dấu tuyệt đối lại không phải cùng là z. Vậy ta cần biến đổi 1 chút.
Ta có [TEX]|z|=|\overline{z}|=>|z-2-3i|=|\overline{z-(2+3i)}|=|\overline{z}-\overline{2+3i}|=|\overline{z}-(2-3i)|[/TEX]
Như vậy ta được tập hợp điểm biểu diễn số phức [TEX]w=\overline{z}+(1+i)[/TEX]là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức: [TEX](2-3i)+(1+i)=3-2i=>I(3;-2)[/TEX], bán kính R=1
=>[TEX]|w|max=OI+R=\sqrt{13}+1[/TEX]
