Toán 12 [Đấu trường toán 12_ver2] Tích phân

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi congchuaanhsang, 26 Tháng năm 2014.

Lượt xem: 6,257


  1. Cách đặt khác:
    I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2sinxcosx}{\sqrt[]{1-sin^2x+4sin^2x}}dx$
    =$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2sinxcosx}{\sqrt[]{1+3sin^2x}}dx$
    Đặt $\sqrt[]{1+3sin^2x}$=t \Leftrightarrow $t^2=1+3sin^2x$ \Leftrightarrow tdt=3sinxcosxdx \Leftrightarrow sinxcosxdx=$\frac{tdt}{3}$
    Đổi cận: x=0 \Rightarrow t=1
    x=$\frac{\pi}{2}$ \Rightarrow t=2
    \Rightarrow I=$\int_{1}^{2}\frac{2}{3}dt = \frac{2t}{3}|_1^2 =\frac{2}{3}$
     
  2. $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$
    đặt $x=-t \rightarrow dx=-dt$
    đổi cận
    $x=-\frac{\pi}{4} \rightarrow t=\frac{\pi}{4}$
    $x=\frac{\pi}{4} \rightarrow t=-\frac{\pi}{4}$
    ta có
    $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-t^2sint+1}{1+2cos^2t}dt$
    $=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$
    $2I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1+2cos^2x}dx$
    tới đây là xong nhá
     
    Last edited by a moderator: 31 Tháng năm 2014
  3. Cách giải khác:
    I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{sinx}{cosx\sqrt[]{3+sin^2x}}dx$
    =$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}\frac{sinxcosx}{cos^2x . \sqrt[]{3+sin^2x}}}dx$
    Đặt $\sqrt[]{3+sin^2x}=t$
    \Leftrightarrow $t^2=3+sin^2x$
    \Leftrightarrow $sin^2x=t^2-3$ \Rightarrow $cos^2x=4-t^2$
    \Leftrightarrow $2sinxcosxdx=2tdt$ \Leftrightarrow $sinxcosxdx=tdt$
    Đổi cận: $x=\frac{\pi}{3}$ \Rightarrow $t=\frac{\sqrt[]{15}}{2}$
    x=0 \Rightarrow t=$\sqrt[]{3}$
    \Rightarrow I=$\int_{\sqrt[]{3}}^{\frac{\sqrt[]{15}}{2}}\frac{dt}{4-t^2}$
    Có: $\frac{1}{4-t^2}= \frac{1}{4(2+t)}+\frac{1}{4(2-t)}$
    \Rightarrow I=$\int_{\sqrt[]{3}}^{\frac{\sqrt[]{15}}{2}}[\frac{1}{4(2+t)}+\frac{1}{4(2-t)}]dt$
    =$\frac{1}{4}ln(\frac{2+t}{2-t})|_{\sqrt[]{3}}^\frac{\sqrt[]{15}}{2}$
    =$\frac{1}{4}ln(\frac{2+\frac{\sqrt[]{15}}{2}}{2-\frac{\sqrt[]{15}}{2}})-\frac{1}{4}ln(\frac{2+\sqrt[]{3}}{2-\sqrt[]{3}})$
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng năm 2014
  4. Chưa song đâu !

    $2I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1+2cos^2x}dx$

    Cái này bằng mấy !
     
  5. $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+2cos^2x}dx$
    $=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{(tan^2+3)cos^2x}dx$
    $=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{tan^2x+1}{tan^2x+3}dx$
    đăt $t=tanx \rightarrow dt=(tan^2x+1)dx$
    đổi cận
    $x=-\frac{\pi}{4} \rightarrow t=-1$
    $x=\frac{\pi}{4} \rightarrow t=1$
    $I=\int_{-1}^1 \frac{dt}{t^2+3}$
    đặt
    $t=\sqrt{3}tanu \rightarrow dt=\sqrt{3}(tan^2u+1)du$
    đổi cận
    $t=-1 \rightarrow u=-\frac{\pi}{6}$
    $t=1 \rightarrow u=\frac{\pi}{6}$
    ta có
    $I=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3}}{3}du$
    đến đây thì không còn nguyên nhân gì để mà không xong cả
     
  6. lại là mấy câu dễ nữa anh em vào chém nhá
    $I=\int \frac{x^5dx}{x^6-x^3-2}$
    $I=\int \frac{x^4-3}{x(x^8+3x^2+2)}dx$
    hâm nóng topic
     
  7. buivanbao123

    buivanbao123 Guest

    Anh trantien bày lí thuyết với cách giải tích phân đi...............................................................
     
  8. connhikhuc

    connhikhuc Guest

    lâu không lên, nay rảnh, cho mình góp bài:

    $I = \int_{0}^{1} \frac{3^x-1}{(3^{-x}+1).\sqrt[]{3^x+1}} $

    Chúc mọi người học tốt :D
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng sáu 2014
  9. duynhan1

    duynhan1 Guest

    $$\begin{array}{ll} I & = \int_{0}^{1} \frac{3^x-1}{(3^{-x}+1).\sqrt[]{3^x+1}}\\

    &= \int_0^1 \dfrac{3^x - 1}{(3^x + 1)\sqrt{3^x+1}} \dfrac{d(3^x+1)}{\ln 3} \\
    & = \dfrac{1}{\ln 3} \int_2^4 \dfrac{t-2}{t \sqrt{t}} dt \\
    & = \dfrac{1}{\ln 3} \left( 2 \sqrt{t} + \dfrac{4}{\sqrt{t}} \right) \Large|_2^4
    \end{array}$$

    P/s: Mấy bạn MOD sao không viết hoa đầu dòng + Gõ LaTeX xấu quá :))
     
    Last edited by a moderator: 12 Tháng sáu 2014
  10. vivietnam

    vivietnam Guest

    $I=\int \dfrac{x^3.x^2dx}{x^6-x^3-2}$
    đặt $x^3=t$ \Rightarrow $3x^2dx=dt$
    $I=\int \dfrac{t.dt}{3.(t^2-t-2)}$
    $I=\int \dfrac{1}{9}(\dfrac{1}{t+1}+\dfrac{2}{t-2})dt$
    $I=\dfrac{1}{9}.ln|t+1|+\dfrac{2}{9}.ln|t-2|+c$
     
  11. $\text{các công thức cơ bản để tính tích phân} \\
    1.\int 0 dx=C \\
    2.\int dx=x+C \\
    3.\int x^{a}=\frac{1}{a+1}.x^{a+1}+C (a \not= -1)\\$
    $4.\int(cx+b)^{a}dx=\frac{1}{c}.\frac{(cx+b)^{a+1}}{a+1}+C \\
    5.\int \frac{1}{x^a}=-\frac{1}{a-1}.\frac{1}{x^{a-1}}+C \\
    6.\int \frac{1}{(cx+b)^{a}}=-\frac{1}{a}.\frac{1}{c-1}.\frac{1}{(cx+b)^{a-1}}+C \\
    7.\int \frac{dx}{x}=\ln x+C \\
    8.\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln (ax+b)+C \\
    9.\int Kdx=Kx+C K \in R \\$
    $10.\int e^xdx=e^x+C \\
    11.\int e^{ax+b}=\frac{1}{a}.e^{ax+b}+C \\
    12.\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C \\
    13. \int \sin xdx=-\cos x+C \\
    14.\int \sin (ax+b)=-\frac{1}{a}.\cos (ax+b)+C \\
    15.\int \cos x=\sin x+C \\$
    $16.\int \cos (ax+b)=\frac{1}{a}.\sin (ax+b)+C \\
    17. \int \frac{1}{\cos ^2x}=\tan x+C \\
    18.\int \frac{1}{\sin ^2x}=-\cot x+C \\$
     
  12. $$\text{TÍCH PHÂN}$$
    $$\text{Dạng 1}$$
    $$\text{tính tích phân dạng} \\
    I=\int \frac{dx}{\sin (x+a).\sin (x+b)} \\
    \text{ta thực hiện các bước sau} \\
    \text{bước 1: sử dụng đồng nhất thức} \\
    1=\frac{\sin (a-b)}{\sin (a-b)}=\frac{\sin [(x+a)-(x+b)]}{\sin (a-b)} \\
    \text{bước 2: ta được} \\
    I=\int \frac{dx}{\sin (x+a).\sin (x+b)}=\frac{1}{\sin (a-b)}.\int \frac{\sin [(x+a)-(x+b)]}{\sin (x+a).\sin (x+b)}dx \\
    =\frac{1}{\sin (a-b)}.\int \frac{\sin (x+a).\cos (x+b)-\sin (x+b).\cos (x+a)}{\sin (x+a).\sin(x+b)}dx \\
    =\frac{1}{\sin (a-b)}.[\int \frac{\cos (x+b)}{\sin (x+b)}dx-\int \frac{\cos (x+a)}{\sin (x+a)}dx]=\frac{1}{\sin (a-b)}.[\ln |\sin (x+b)|-\ln |\sin (x+a)|] \\
    =\frac{1}{\sin (a-b)},\ln |\frac{\sin (x+b)}{\sin (x+a)}|+C \\$$

    $\text{chú ý}$
    $\text{phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:} \\
    1.I=\int \frac{dx}{\cos (x+a).\cos (x+b)}dx \\
    \text{sử dụng đông nhất thức }1=\frac{\sin (a-b)}{\sin (a-b)} \\
    2.I=\int \frac{dx}{\sin (x+a).\cos (x+b)}dx \\
    \text{sử dụng đồng nhất thức }1=\frac{\cos (a-b)}{\cos (a-b)} $

    $$\text{ví dụ } \\$$
    $$\text{1. tính nguyên hàm} \\
    I=\int \frac{dx}{\cos x.\cos (x+\frac{\pi}{4})}dx \\
    \text{sử dụng đồng nhất thức } \\
    1=\frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}=\frac{\sin [(x+\frac{\pi}{4})-x]}{\sin \frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}.\sin [(x+\frac{\pi}{4})-x] \\
    \text{thay vào ta có} \\
    I=\int \frac{dx}{\sin (x+\frac{\pi}{4}).\sin x}dx=\sqrt{2}.\frac{\sin [(x+\frac{\pi}{4})-x]}{\cos (x+\frac{\pi}{4}).\cos x}dx \\
    =\sqrt{2}.\frac{\sin (x+\frac{\pi}{4}).\cos x-\cos (x+\frac{\pi}{4}).\sin x}{\cos (x+\frac{\pi}{4}).\cos x}dx \\
    =\sqrt{2}.[\int \frac{\sin (x+\frac{\pi}{4})}{\cos (x+\frac{\pi}{4})}dx-\int \frac{\sin x}{\cos x}dx] \\
    =\sqrt{2}.[-\ln |\cos (x+\frac{\pi}{4})|+\ln |\cos x|]=\sqrt{2}. \ln |\frac{\cos x}{\cos (x+\frac{\pi}{4})}| \\
    $$

    $$\text{người tổng hợp kiến thức: Nguyễn Tiến}$$
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng bảy 2014
  13. $$\text{TÍCH PHÂN} \\$$
    $$\text{Dạng 2} \\$$
    $$\text{tính tích phân dạng } \\
    I=\int \tan x.\tan(x+a) \\
    \text{ta thực hiện các bước sau} \\
    \text{bước 1: biến đổi I về dạng: } \\
    I=\int (\frac{\sin x.\sin (x+a)+\cos x.\cos (x+a)}{\cos x.\cos (x+a)}-1)dx=(\int \frac{\cos a}{\cos x.\cos (x+a)}-\int dx) \\
    =\cos a.\int \frac{1}{\cos x.\cos (x+a)}-x (1) \\
    \text{bước 2: áp dụng dạng 1 để giải (1)} \\
    $$

    $\text{chú ý}$
    $\text{phương pháp trên cũng được áp dụng để giải các dạng tích phân } \\
    1.I=\int \tan (x+a).\cot (x+b)dx \\
    2.I=\int \cot (x+a).\cot (x+b)dx \\$
     
  14. xuanquynh97

    xuanquynh97 Guest

    sao chả ai nhòm cái topic thế này tội nghiệp nó thế

    Bạn Tiến có bài nào hay không cop link t làm cái file PDF cho nó đẹp
     
  15. sincere97

    sincere97 Guest

    chưa học tích phân bạn ạ :)
    mới học đến logarit thôi
    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
     
  16. $\text{tuân lệnh chị quỳnh em ra bài dễ đây} \\$
    $$I=\int_{-1}^1 \dfrac{x^4+\sin x}{x^2+1}dx \\
    I=\int_{-1}^1 (e^{x^2}.\sin x+e^2.x^2)dx \\
    I=\int_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin ^3xdx}{\sqrt{1+\cos x}} \\
    $$
     
  17. Thử ý này nha: (nguyên hàm thôi :D)
    $\int\frac{sin^4x}{sin^4x + cos^4x}dx$
     
  18. Khó hơn 1 xíu nhá:
    $I = \int\limits_{\frac{-1}{2}}^{0}(\frac{\sqrt{3 - 4x^2 - 4x}}{4x^2 + 4x + 5} + x\sqrt{2x + 1})dx$
    $I = \int\limits_{1}^{e}\frac{(x^4 + 1)lnx + 2x^3 + 1}{2 + xlnx}dx$
     
  19. $$I=\int_1^e \dfrac{(x^4+1)\ln x+2x^3+1}{2+x\ln x}dx=\int_1^e \dfrac{x^4\ln x+\ln x+2x^3+1}{2+x\ln x}dx \\
    =\int_1^e \dfrac{x^3(2+x \ln x)+\ln x+1}{2+x\ln x}dx=\int_1^e x^3dx+\int_1^e \dfrac{\ln x+1}{2+x\ln x}dx=I_1+I_2 \\
    I_1=\int_1^e x^3dx=\dfrac{1}{4}x^4|_1^e=\dfrac{1}{4}e^4-\dfrac{1}{4} \\
    I_2=\int_1^e \dfrac{\ln x+1}{2+x\ln x}dx \\$$
    $\text{đặt }u=2+x\ln x \rightarrow du=(\ln x+1)dx \\
    \text{đổi cận }x=1 \rightarrow u=2, x=e \rightarrow u=2+e \\$
    $$I_2=\int_2^{2+e} \dfrac{du}{u}=\ln |u||_2^{2+e}$$
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng tám 2014
  20. Tiếp nhé :D
    $I = \int\limits_{1}^{e}\frac{2x^2 + x(1 + 2lnx) + ln^2x}{(x^2 + xlnx)^2}dx$
    $I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2 + sin^2x - sinx}{x + cosx}dx$
    $I = \int\limits_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8})}{\sqrt{2} + sinx + cosx}dx$
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->