Toán 12 “Định hướng ôn thi lấy trên 7 điểm môn Toán trong kì thi ĐH”

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi hocmai.toanhoc, 14 Tháng tư 2014.

Lượt xem: 14,154

  1. youandpro

    youandpro Guest

    làm phiền bạn tí ! bạn cho mình hỏi cách hệ số bất định của bạn đến bước ce =20 thì nhẩm ra c= 2 e=10 ! vậy có phải là 2 nghiệm ce luôn thuộc N hk ! hay có khả năng ví dụ c=4/5 , e = 25 với khả năng c=10 e=2 thì sao bik ^^. Với hệ số của a không = 1 mà bằng số khác thì cách này phá sản à :p ^^
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tư 2014
  2. youandpro

    youandpro Guest

    cách 1 của @heroineladung mình hiểu rồi ! tks bạn đã share 1 cách khá hay :) hihi ^^
     
  3. ĐƯA VỀ HỆ TẠM


    Phương trình có dạng $\sqrt A + \sqrt B = C$ mà $A - B = kC$ (k= const). Khi đó ta được hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt A + \sqrt B = C\\
    \sqrt A - \sqrt B = k
    \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt A = \dfrac{{C + k}}{2}\\
    \sqrt B = \dfrac{{C - k}}{2}
    \end{array} \right.\]

    Giải hệ và thử lại nghiệm ta sẽ tìm được nghiệm của PT ban đầu
    Thực chất của PP này là PP nhân liên hợp như đã giới thiệu bên trên
    Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4\left( 1 \right)$
    Giải
    Dễ thấy $2{x^2} + x + 9 - \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 2x + 8 = 2\left( {x + 4} \right)$
    Ta có $PT \leftrightarrow \dfrac{{2\left( {x + 4} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} = x + 4$

    $ \leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} - 1} \right) = 0\\
    \leftrightarrow
    x = - 4\\ hoặc
    \sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2\left( 2 \right)$

    Thử lại $x = - 4$ không phải là nghiệm
    Từ (1) và (2) ta có $\sqrt {2{x^2} + x + 9} = \dfrac{{x + 6}}{2} = > x = 0;x = \dfrac{8}{7}$
    Thử lại PT(1) cả 2 nghiệm trên đều thỏa mãn
    Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x = 0;x = \dfrac{8}{7}$

    Bài tập
    $1)3\left( {2 + \sqrt {x - 2} } \right) = 2x + \sqrt {x + 6} $

    $2)\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} = 3x$

    BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH​


    - Một số phép biến đổi quen thuộc
    \[\begin{array}{l}
    u + v = uv + 1 \leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {v - 1} \right) = 0\\
    au + bv = ab + uv \leftrightarrow \left( {b - u} \right)\left( {a - v} \right) = 0\\
    {\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} \rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0
    \end{array}\]
    - Một số bài toán nếu ta để nguyên hiện tại thì khó có thể nhìn ra nhân tử chung để biến đổi về dạng tích. Nhưng khi qua 1 vài bước đặt ẩn phụ thì sẽ biến đổi phương trình mới về dạng tích dễ dàng hơn.

    Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{x^2} + 3x + 2}}$
    HD
    $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{x^2} + 3x + 2}}\\
    \leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} - 1} \right) = 0$
    => Phương trình có 2 nghiệm: $x = 0;x = - 1$

    Ví dụ 2 Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2} + x}}$
    HD
    Nhận thấy x=0 không là nghiệm của PT=> chia cả 2 vế cho x ta được

    $\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} + \sqrt[3]{x} = 1 + \sqrt[3]{{x + 1}} \leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right) = 0$

    => Phương trình có 1 nghiệm: x=1

    Ví dụ 3 Giải phương trình $\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt[{}]{{{x^2} + 4x + 3}}$
    HD
    Nhận thấy PT có dạng $au + bv = ab + uv$ ta có biến đổi

    $\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt[{}]{{{x^2} + 4x + 3}} \leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 3} - 2x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right) = 0$

    => Phương trình có 2 nghiệm: x=1, x=0

    Bài tập

    $1)\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
    2)\sqrt {3{x^2} - 18x + 25} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 29} = 6x - {x^2} - 4\\
    3)\sqrt {1 + x + {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x \\
    4)x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{{ - {x^2} + 6x + 7}} - 1\\
    5)\sqrt[3]{{7x + 1}} - \sqrt[3]{{{x^2} - x - 8}} + \sqrt[3]{{{x^2} - 8x - 1}} = 2$
     
    Last edited by a moderator: 24 Tháng tư 2014
  4. forum_

    forum_ Guest

    Em nghĩ đây là dấu - , chứ + thì em làm mọi cách rồi mà ko đc :D

    Ta có hằng đẳng thức sau:

    $(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

    Chứng minh bằng khai triển

    Đặt $\sqrt[3]{7x+1}=a$

    $- \sqrt[3]{x^2-x-8}=b$

    $\sqrt[3]{x^2-8x-1}=c$

    Từ đó suy ra : $a^3+b^3+c^3=8$ and $a+b+c=2$

    Áp dụng hđt trên ta đc: 3(a+b)(b+c)(c+a) =0

    \Leftrightarrow a=-b or b= -c or c= -a

    Đến đây thế vào , mũ 3 hai vế ta đc pt bậc 2, giải pt bậc 2 đối với các anh chị là vấn đề đơn giản :D

    p/s: ko cần điều kiện vì mũ lẻ

     
  5. forum_

    forum_ Guest

    8/
    pt viết lại thành :

    $\sqrt[3]{162x^3+2}-2-\sqrt[]{27x^2-9x+1} +1=0$

    \Leftrightarrow $\dfrac{162x^3-6}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} - \dfrac{3x(3x-1)}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1} = 0$

    \Leftrightarrow $(3x-1)[ \dfrac{2(9x^2+3x+1)}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} - \dfrac{3x}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1}] = 0$

    Ta thấy pt:

    $\dfrac{2(9x^2+3x+1)}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} - \dfrac{3x}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1}=0$

    \Leftrightarrow $\dfrac{2(9x^2+3x+1)}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4} = \dfrac{3x}{\sqrt[]{27x^2-9x+1}+1}$

    Đặt $a = \sqrt[3]{16x^3+2}$ ta đc:

    $2(3x+\dfrac{1}{3x}+1) = a + \dfrac{4}{a}+2$

    \Leftrightarrow $3x+\dfrac{1}{3x}+1 = \dfrac{a}{2}+ \dfrac{2}{a}+1$

    \Leftrightarrow $3x= \dfrac{a}{2}$

    or $3x= \dfrac{2}{a}$

    \Leftrightarrow $x = \dfrac{1}{3}$

    Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất là $x =\dfrac{1}{3}$

    p/s: còn lại là các bài chưa có lời giải :D

    ;;) :)
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng tư 2014
  6. Tớ trả lời thế này nhé! ce phải thuộc Z và c,e thuộc ước của 20 → $c \in$ {$\pm 1; \pm2;\pm4;\pm5;\pm10$} Thay c lần lượt vào các giá trị đó rồi tìm ra e, b, d. Làm cũng nhọc lắm đó cậu :))

    Vì PT đó a = 1 nên tớ làm theo cách này, nếu cậu muốn tìm hiểu về các cách giải PT bậc 4 thì có thể lên google học hỏi, còn nhiều cách nữa mà, k bị phá sản đâu mà cậu phải lo. :D




     
  7. BÀI TẬP PHẦN ĐƯA VỀ HỆ TẠM

    %%- 1) $$ 3(2 + \sqrt{x-2}) = 2x + \sqrt{x+6}$$
    ĐK: $x \ge 2$

    $PT \leftrightarrow 3\sqrt{x-2} - \sqrt{x+6} = 2x - 6$

    $\leftrightarrow \dfrac{8x - 24}{3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}} = 2x - 6$

    $\leftrightarrow \dfrac{8(x - 3)}{3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}} = 2(x - 3)$
    $\leftrightarrow$ [ $\begin{matrix}
    x - 3 = 0 \leftrightarrow x = 3 (tm)\\
    \dfrac{8}{3\sqrt{x-2}+ \sqrt{x+6}} = 2
    \end{matrix}$

    Giải $\bigstar$ : $\bigstar \leftrightarrow 3\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4$

    $\leftrightarrow 3\sqrt{x^2 + 4x - 12} = 14 - 5x$

    $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
    14 - 5x \ge 0\\16x^2 - 176x + 304 = 0
    \end{matrix}\right.$

    $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
    x \le \dfrac{14}{5}\\ x = \dfrac{11 \pm 3\sqrt{5}}{2}
    \end{matrix}\right.$

    $\leftrightarrow x = \dfrac{11 - 3\sqrt{5}}{2}$

    Vậy PT có nghiệm: $ x = 3; x = \dfrac{11 -3\sqrt{5}}{2}$.


    %%- 2) $$\sqrt{2x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 3x$$

    Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của PT.

    $PT \leftrightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 2} + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + 1} = 3$

    Đặt $t = \dfrac{1}{x}$. Khi đó PT trở thành:

    $\sqrt{t^2 + t + 2} + \sqrt{t^2 - t + 1} = 3$

    Ta có: $(\sqrt{t^2 + t + 2} + \sqrt{t^2 - t + 1})(\sqrt{t^2 + t + 2} - \sqrt{t^2 - t + 1}) = 2t + 1 \rightarrow \sqrt{t^2 + t + 2} - \sqrt{t^2 - t + 1} = \dfrac{2t + 1}{3}$

    $\rightarrow$ Hệ: $\left\{\begin{matrix}
    \sqrt{t^2 + t + 2} + \sqrt{t^2 - t + 1} = 3\\ \sqrt{t^2 + t + 2} - \sqrt{t^2 - t + 1} = \dfrac{2t + 1}{3}
    \end{matrix}\right.$

    $\rightarrow 2\sqrt{t^2 + t + 2} = \dfrac{2t + 10}{3}$ $\leftrightarrow 3\sqrt{t^2 + t + 2} = t + 5$

    $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
    t \ge -5\\8t^2 - t - 7 = 0
    \end{matrix}\right.$ $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
    t \ge -5\\t = 1 \vee t = \dfrac{-7}{8}
    \end{matrix}\right. $

    $\leftrightarrow \left [\begin {array}{1}
    t = 1\\
    t = \dfrac{-7}{8}
    \end{array}\right.$ $\leftrightarrow \left [\begin {array}{1}
    x = 1\\
    x = \dfrac{-8}{7}
    \end{array}\right.$

    Thay các nghiệm x vừa tìm được vào PT thấy x = 1 thỏa mãn.

    Vậy PT có nghiệm dn x = 1.



     
  8. forum_

    forum_ Guest

    1/ ĐK: 0 \leq x \leq 1

    Để dễ nhìn ta đặt: $\sqrt[]{x}=a$ (a \geq 0) ; $\sqrt[]{1-x}=b$ (b \geq 0)

    PT trở thành: $ab+b=1+ab^2$

    \Leftrightarrow $(ab-1)(b-1)=0$

    \Leftrightarrow $continue......$

    :D

    2/

    Đặt $\sqrt {3{x^2} - 18x + 25}=a$ (a \geq 0); $\sqrt {4{x^2} - 24x + 29}=b$ (b \geq 0)

    pt \Leftrightarrow $a-b=a^2-b^2$

    \Leftrightarrow $continue......$
     
    Last edited by a moderator: 1 Tháng năm 2014
  9. forum_

    forum_ Guest

    4/

    ĐK: -1 \leq x \leq 7

    PT viết lại dưới dạng:

    $x + 1+ 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x + 1} + \sqrt[{}]{(7-x)(x+1)}$

    Đặt $\sqrt[]{x+1}=a$ ( a \geq 0) ; $\sqrt[]{7-x}=b$ (b \geq 0)

    $a^2+2b=2a+ab$

    \Leftrightarrow (a-b)(a-2) = 0

    \Leftrightarrow $continue...$

    ;;)
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng tư 2014
  10. braga

    braga Guest

    $\fbox{2}.$ Đặt $\sqrt{3x^2 - 18x + 25}=a \ ; \ \sqrt{4x^2 - 24x + 29}=b \ ; \ \ a,b\ge 0.$
    $$pt\iff a+b=a^2-b^2\iff (a+b)(a-b-1)=0$$
    $\fbox{5}.$ Đặt $\sqrt[3]{7x+1}=a \ ; \ -\sqrt[3]{x^{2}-x-8}=b \ ; \ \sqrt[3]{x^{2}-8x-1}=c \\ \implies \begin{cases}a+b+c=2\\a^3+b^3+c^3=8\end{cases} \implies (a+b+c)^{3}-(a^3+b^3+c^3)=0\iff 3(a+b)(b+c)(c+a)=0$
     

  11. Trả hàng 3 bài :D
    2/ làm bình thường
    4/
    $\begin{array}{l}
    \sqrt {x - 2} - 1 + \sqrt {4 - x} - 1 + \sqrt {2x - 5} - 1 = 2{x^2} - 5x - 3\\
    \leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {4 - x} + 1}} + \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {2x - 5} + 1}} = \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)\\
    \leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 5} + 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = 0\\
    ĐK: x \in \left[ {\dfrac{5}{2};4} \right] = > \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x} + 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2x - 5} + 1}} - \left( {2x + 1} \right) < 0
    \end{array}
    Vậy x=3 là nghiệm duy nhất
    $

    5/ Nhận thấy $x=-1,x=2$ là 2 nghiệm của phương trình nên

    PT\Leftrightarrow$4\left( {{x^2} - x - 2} \right)+4x + 8-\sqrt {x + 2} - \sqrt {5x + 6} - 2\sqrt {8x + 9} =0
    $
    Ta tìm a,b:

    ${\left( {ax + b} \right)^2} - \left( {x + 2} \right) = k\left( {{x^2} - x - 2} \right)\\
    \leftrightarrow .......\\
    \leftrightarrow k = 1/9,a = 1/3,b = 4/3
    $
    Tương tự như vậy ta sẽ có phân tích sau:
    $
    \begin{array}{l}
    4\left( {{x^2} - x - 2} \right) + \left( {\dfrac{{x + 4}}{3} - \sqrt {x + 2} } \right) + \left( {x + 2 - \sqrt {5x + 6} } \right) + 2\left( {\dfrac{{4x + 7}}{3} - \sqrt {8x + 9} } \right) = 0\\
    \leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {4 + \dfrac{1}{{x + 4 + 3\sqrt {x + 2} }} + \dfrac{1}{{x + 2 + \sqrt {5x + 6} }} + \dfrac{{32}}{{4x + 7 + 3\sqrt {8x + 9} }}} \right) = 0\\
    \leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \leftrightarrow x = - 1,x = 2
    \end{array}
    $
    Vậy PT có 2 nghiệm $x = - 1,x = 2$

    P/s: câu này cần trâu bò, khá là nhọc khi sử dụng pp này
     
    Last edited by a moderator: 26 Tháng tư 2014
  12. forum_

    forum_ Guest



    Bài tập phần này chỉ còn mỗi câu 3 thôi và em nghi đề ko đúng. Phải là

    $\sqrt {- x - {x^2}} + \sqrt {1 - x} = 1 + \left( {1 - x} \right)\sqrt x$

    chứ ạ :D

    Nếu đề đúng thì làm bình thường theo dạng thôi

    p/s: Còn 3 bài ở phần PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP nữa :)

    :D
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng năm 2014
  13. mrza

    mrza Guest

    Bài số 3 phương pháp nhân lượng liên hiệp

    Em làm pp khác ạ, nhưng cũng ra được nghiệm, mn kiểm tra giúp em:

    [tex]{x^2} + x - 1 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 2} [/tex]
    \[\left\{ \begin{array}{l}
    a = {x^2} + x - 1\\
    b = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a - {b^2} = 3x - 3\\
    a = (x + 2)b
    \end{array} \right.\]
    [tex] \Rightarrow (x + 2)b - {b^2} = 3x - 3[/tex]
    [tex] \Leftrightarrow {b^2} - (x + 2)b + 3x - 3 = 0[/tex]
    [tex]\Delta = {(x + 2)^2} - 4(3x - 3) = {x^2} - 8x + 16 = {(x - 4)^2} \ge 0\forall x[/tex]
    [tex] \Rightarrow b = \frac{{x + 2 + \left| {x - 4} \right|}}{2} \vee b = \frac{{x + 2 - \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
    [tex]b = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 1} > x - 1[/tex]
    [tex] \bullet b = \frac{{x + 2 + \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
    TH1: [tex]x \ge 4 \Rightarrow b = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = x - 1(loai)[/tex]
    TH2: [tex]x < 4 \Rightarrow b = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 7 = 0[/tex]
    [tex] \Leftrightarrow x = 1 + 2\sqrt 2 (nhan) \vee x = 1 - 2\sqrt 2 (nhan)[/tex]
    [tex] \bullet b = \frac{{x + 2 - \left| {x - 4} \right|}}{2}[/tex]
    TH1: [tex]x \ge 4 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow x = 1 + 2\sqrt 2 (loai) \vee x = 1 - 2\sqrt 2 (loai)[/tex]
    TH2: [tex]x < 4 \Rightarrow b = x - 1(loai)[/tex]
    Vậy phương trình có tập nghiệm [tex]S = \left\{ {1 \pm 2\sqrt 2 } \right\}[/tex]
     
  14. levanvu12a1

    levanvu12a1 Guest

    $\Delta =(x-4)^2 $\Rightarrow b=3 or b=x-1
    Cậu không càn xét đâu vì kiểu j nó cũng có hai nghiệm vây mà:D:D
     
  15. ha_nb_9x

    ha_nb_9x Guest

    1) Điều kiện (Tự tìm)
    Đặt $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{1-x}$
    Thay vào phương trình, ta có
    $uv+v=1+{v}^{2}u$
    \Leftrightarrow $u{v}^{2}-uv=v-1$
    \Leftrightarrow $uv(v-1)=v-1$
    \Leftrightarrow $(v-1)(uv-1)=0$
    Còn lại tự làm tiếp
    4) Điều kiện (Tự tìm)
    Đặt $u=\sqrt{7-x}$, $v=\sqrt{x+1}$ =>Từ đó cứ theo hướng dẫn mà giải thôi

    Mà hướng dẫn cho mình cách giải phương trình sử dụng hàm biến thiên với, mình chưa rõ cách làm
     
  16. congchuacuu

    congchuacuu Guest

    cho mih hoi bai nay ,giai he phuong trinh
    2x+can bậc hai (2-x=y-x^2-y^2)=1
    2x^3=2y^2+1
     


  17. $6)ĐK:2{x^3} + 4{x^2} + 4x \ge 0 \leftrightarrow x \ge 0$

    $\begin{array}{l}
    PT \leftrightarrow \sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} = \left( {2x + 1} \right)\left( {2{x^3} - 1} \right)\\
    \leftrightarrow \sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} - \left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) - \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} = \left( {2x + 1} \right)\left( {2{x^3} - 1} \right)\\
    \leftrightarrow \dfrac{{2{x^3} - 1}}{{\sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} + \left( {2x + 1} \right)}} - \dfrac{{4\left( {2{x^3} - 1} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + \left( {2x + 1} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} + {{\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)} \right]}^{2/3}}}} - \left( {2x + 1} \right)\left( {2{x^3} - 1} \right) = 0\\
    \leftrightarrow \left( {2{x^3} - 1} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} + \left( {2x + 1} \right)}} - \dfrac{4}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + \left( {2x + 1} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)}} + {{\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^3} + 4\left( {2{x^3} - 1} \right)} \right]}^{2/3}}}} - \left( {2x + 1} \right)} \right] = 0
    \end{array}$

    Với $x \ge 0$ thì ${\dfrac{1}{{\sqrt {2{x^3} - 1 + {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} + \left( {2x + 1} \right)}}}- {\left( {2x + 1} \right)}<0$

    Vậy $x= \sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}$ là nghiệm duy nhất của PT

    7) ĐK $x\ge -2$
    Nhận thấy x=2 là 1 nghiệm nên ta có biến đổi sau

    $\begin{array}{l}
    PT \leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} = {x^2} - 4x + 4 + 11x + 8\\
    \leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 2} - 2\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 6} \right)\sqrt {x + 7} - 3\left( {x + 6} \right) + 12 - 6x = {x^2} - 4x + 4\\
    \leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right) + \left( {x + 6} \right)\left( {\sqrt {x + 7} - 3} \right) = {\left( {x - 2} \right)^2} + 6\left( {x - 2} \right)\\
    \leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} + \dfrac{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 7} + 3}} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\
    \leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} + \dfrac{{x + 6}}{{\sqrt {x + 7} + 3}} - \left( {x + 4} \right)} \right) = 0\\
    với \ge - 2 ta có \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} + \dfrac{{x + 6}}{{\sqrt {x + 7} + 3}} - \left( {x + 4} \right) < \dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 6}}{3} - \left( {x + 4} \right) < 0\\
    \end{array}$
    = > x = 2 là nghiệm duy nhất của pt

    9) Dùng wolframanpha thì giải ta được nghiệm $x=\dfrac{6-\sqrt2}{4};x=\dfrac{6+\sqrt2}{4}$
    => x là nghiệm của phương trình bậc hai $ 8x^2-24x+17=0$
    => ta sẽ phân tích
    $\begin{array}{l}
    \sqrt[3]{{7x - 8}} + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} = x\\
    \leftrightarrow \sqrt[3]{{7x - 8}} - \left( {ax + b} \right) + \sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} - \left( {cx + d} \right) = 0
    \end{array}$

    ta sẽ tìm a, b, c, d sao cho
    $\sqrt[3]{{7x - 8}} - \left( {ax + b} \right)=f(x) (8x^2-24x+17)$

    $\sqrt {\dfrac{{7 - 2{x^2}}}{6}} - \left( {cx + d} \right)=k.(8x^2-24x+17)$

    =>............
    P/s: đây là 1 cách giải không hay. Sẽ có cách khác để tìm a,b,c, d mà không cần biết trước 2 nghiệm


     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng năm 2014
  18. ĐẶT 1 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN MỚI​


    Ví dụ 1. Giải BPT: $\sqrt {5{x^2} + 10x + 1} = 7 - {x^2} - 2x\,\,(1)$
    Đặt $u = \sqrt {5{x^2} + 10x + 1} \ge 0 \rightarrow {u^2} = 5({x^2} + 2x) + 1.$
    Khi đó: $(1) \leftrightarrow u = 7 - \dfrac{{{u^2} - 1}}{5}$
    $\leftrightarrow {u^2} + 5u - 36 = 0 \leftrightarrow (u + 9)(u - 4) = 0 \leftrightarrow u = 4 \leftrightarrow 5({x^2} + 2x - 3) = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 1\\
    x = - 3
    \end{array} \right.$
    Ví dụ 2. $x + \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} } = 6$
    ĐK: $1 \le x \le 6$
    Đặt $t = \sqrt {x - 1} \left( {t \ge 0} \right)$
    Khi đó ta được phương trình ${t^2} + \sqrt {5 + t} = 5 \leftrightarrow 5 - {t^2} = \sqrt {5 + t} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    0 \le t \le \sqrt 5 \\
    {\left( {5 - {t^2}} \right)^2} = 5 + t
    \end{array} \right.$
    Giả tìm được $t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2} \leftrightarrow \sqrt {x - 1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2} \leftrightarrow x = \dfrac{{11 - \sqrt {17} }}{2}$

    Ví dụ 3. ${x^2} + 2x\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3x + 1$
    ĐK: $ - 1 \le x < 0$
    Chia cả 2 vế của pt cho x ta được $x + 2\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3 + \dfrac{1}{x} \leftrightarrow x - \dfrac{1}{x} + 2\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3$

    Đến đây thì dễ rồi .
    Bài tập:
    1) $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = \dfrac{{x + 3}}{2}$
    $\begin{array}{l}
    2)\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } = 2\\
    3)\sqrt {x + 1} - \sqrt {12 - x} = \sqrt { - {x^2} + 11x - 23} \\
    4)\sqrt {x + 7} - \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 2x + 63} \\
    5)\sqrt {3 - x} + \sqrt {x - 1} - 4\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = - 2\\
    6)(x + 5)(2 - x) = 3\sqrt {{x^2} + 3x} \\
    7)x + \sqrt {4 - {x^2}} = 2 + 3x\sqrt {4 - {x^2}} \\
    8)1 + \dfrac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \\
    9){x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} - {x^2}}} = 2x + 1\\
    10){x^3} + \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} = x\sqrt {2\left( {1 - {x^2}} \right)} \\
    11)\left( {13 - 4x} \right)\sqrt {2x - 3} + \left( {4x - 3} \right)\sqrt {5 - 2x} = 2 + 8\sqrt {16x - 4{x^2} - 15}
    \end{array}$
     
  19. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN

    Là phương pháp đặt ẩn mới nhưng không thay thế hoàn toàn ẩn cũ
    Dấu hiệu: Thông thường các phương trình giải bằng phương pháp này có dạng
    $\begin{array}{l}
    a{x^2} + bx + c = \left( {mx + n} \right)\sqrt {px + q} \\
    a{x^2} + bx + c = \left( {mx + n} \right)\sqrt {p{x^2} + qx + r} \\
    a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \left( {mx + n} \right)\sqrt {p{x^3} + q{x^2} + rx + s}
    \end{array}$
    Phương pháp giải: đặt $t = \sqrt {f\left( x \right)} \left( {t \ge 0} \right)$ khi đó ta đưa pt về dạng
    $\alpha {t^2} - \left( {mx + n} \right)t + g\left( x \right) = 0$

    Vấn đề còn lại là việc chọn $\alpha$ sao cho delta là số chính phương

    Ví dụ 1. GPT: $(4x - 1)\sqrt {{x^3} + 1} = 2{x^3} + 2x + 1\,\,\,(1)$

    Đặt $u = \sqrt {{x^3} + 1} \ge 0 \rightarrow {u^2} = {x^3} + 1.$
    Khi đó (1) $ \rightarrow (4x - 1)u = 2({x^3} + 1) + 2x - 1$
    Ta có: $\leftrightarrow 2{u^2} - (4x - 1)u + 2x - 1 = 0.$
    $\Delta = {(4x - 1)^2} - 8(2x - 1) = {(4x - 3)^2}$
    $(1) \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    u = \frac{1}{2}\\
    u = 2x - 1
    \end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x{}^3 + 1 = \frac{1}{4}\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    2x - 1 \ge 0\\
    {x^3} + 1 = {(2x - 1)^2}
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^3} = - \frac{3}{4}\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    2x - 1 \ge 0\\
    x{(x - 2)^2} = 0
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = - \sqrt[3]{{\frac{3}{4}}}\\
    x = 2
    \end{array} \right.$

    Ví dụ 2. GPT: $2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} = \sqrt {9{x^2} + 16} $

    ĐK: $x \in \left[ { - 2;2} \right]$

    Bình phương 2 vế ta được

    $\begin{array}{l}
    - 9{x^2} - 8x + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} + 32 = 0\left( 1 \right)\\
    \leftrightarrow \alpha {t^2} + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} - 9{x^2} - 8x + 32 - \alpha {t^2} = 0\\
    \leftrightarrow \alpha {t^2} + 16t - 9{x^2} - 8x + 32 - \alpha \left( {2\left( {4 - {x^2}} \right)} \right) = 0\\
    \leftrightarrow \alpha {t^2} + 16t - \left( {9 + 2\alpha } \right){x^2} - 8x + 32 - 8\alpha = 0\\
    = > \Delta ' = 64 - \alpha \left[ {\left( {9 + 2\alpha } \right){x^2} - 8x + 32 - 8\alpha } \right]\\
    = - \left( {9 + 2\alpha } \right)\alpha {x^2} + 8\alpha x - 32\alpha + 8{\alpha ^2} + 64
    \end{array}$

    Ta chọn:$\alpha :\Delta '$ là số chính phương (thông thường ta sẽ chọn sao cho hệ số của x2 là số chính số chính phương=> dễ thấy $\alpha = - 4$ )

    $\left( 1 \right) \leftrightarrow 4\left[ {2\left( {4 - {x^2}} \right)} \right] + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} - {x^2} - 8x = 0$
    Đặt $t = \sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} = > PT:4{t^2} + 16t - {x^2} - 8x = 0$
    $\Delta ' = 4{\left( {x - 4} \right)^2} = > t = 4 - \frac{x}{2};t = - \frac{x}{2}$
    Đến đây thì dễ rồi
    Bài tập.

    $\begin{array}{l}
    1){x^2} + 3x + 1 = (x + 3)\sqrt {{x^2} + 1} \\
    2)x - 2\sqrt {x - 1} - (x - 1)\sqrt x + \sqrt {{x^2} - x} = 0\\
    3)2(3x - 1)\sqrt {2{x^2} + x - 1} = 6{x^2} - 3x - 4\\
    4)2(1 - x)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1.\\
    5){x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} \\
    6)4\sqrt {x + 1} - 1 = 3x + 2\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - {x^2}}
    \end{array}$
     
  20. forum_

    forum_ Guest

    PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN

    1/

    Đặt : $\sqrt[]{x^2+1} = t$ \geq 0

    \Rightarrow $t^2 = x^2+1$

    Pt \Leftrightarrow $t^2 + 3x - (x+3)t = 0$

    \Leftrightarrow $(t-x)(t-3)=0$

    \Leftrightarrow $continue....$

    2/

    Đặt $\sqrt[]{x} = a$ \geq 0 ; $\sqrt[]{x-1} = b$ \geq 0

    \Rightarrow $a^2-b^2 =1$

    \Rightarrow $a^2=b^2 +1$ (1)

    PT \Leftrightarrow $a^2-2b-ab^2+ab=0$

    Thay (1) vào PT đc

    $b^2 +1-2b-ab^2+ab=0$

    \Leftrightarrow $(b-1)(b-1-ab)=0$

    p/s: đợt này em bận thi học kì II, nên làm tạm thế vậy :D


     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng năm 2014
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->