Toán 10 $\color{red}{\fbox{BDT}\bigstar\text{Phương Pháp Cân Bằng Hệ Số}\bigstar}$

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Kĩ thuật cân bằng hệ số được sử dụng nhiều trong những bài toán chứng minh BDT nói chung,đặc biệt và thường gặp là sử dụng BDT AM-GM để tìm cực trị của một biểu thức có thêm điều kiện phụ phức tạp gây khó khăn cho người giải trong việc ước lượng hệ số và xét khi nào dấu bằng xảy ra.Khi đó,chúng ta cần phải đưa thêm các tham số giả định rồi mới sử dụng BDT AM-GM.Việc xác lập điều kiện các đẳng thức xảy ra sẽ dẫn đến hệ điều kiện để tìm tham số.Vì thế phương pháp này có tên gọihương pháp cân bằng hệ số

Sau đây mình xin trình bày,phân loại một vài ví dụ và khi nào sử dụng phương pháp này:
1*BDT không có điều kiện,không biết ước lượng điểm rơi cụ thể
VD1:Tìm Max của $S=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$

2*Lệch bậc giữa giả thiết và biểu thức cần tìm cực trị:
VD2:cho $x^3+y^3=1$.Tìm Max của $P=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

3*Bài toán có thêm 1 biểu thức là điều kiện phụ,biểu thức cần tìm cực trị với các biến không bình đẳng:lệch bậc,hệ số khác nhau và ta sẽ cân bằng,đánh giá dùng AM-GM để đưa biểu thức cần tìm cưc trị có dạng giống với giả thiết
VD3:cho $xy+yz+xz=1$.Tìm Min $P=x^2+y^2+2z^2$
VD4cho x+y+z=3.Tìm Min $x^2+y^2+z^3$

 

[quanghao98]

Hướng Giải VD1:
bài toán có dạng biểu thức chứa căn và yêu cầu là tìm GTLN,Vì thế ta nghĩ ngay đến đánh giá từ GM sang AM,nhưng do không biết điểm rơi của bài toán là bao nhiêu buộc ta phải đưa thêm một tham số phụ là $\alpha$ và $\beta$ để dùng đánh giá BDT nhằm cô lập về một biến $x^2$ và các tham số

$13\sqrt{x^2-x^4}=\dfrac{13}{\alpha}\sqrt{\alpha^2x^2(1-x^2)}$ \leq$\dfrac{13}{\alpha}\dfrac{\alpha^2x^2+(1-x^2)}{2}=\dfrac{13(\alpha^2-1)x^2+13}{2\alpha}$

$9\sqrt{x^2+x^4}=\dfrac{9}{\beta}\sqrt{\beta^2x^2(1+x^2)}$ \leq $\dfrac{9}{\beta}\dfrac{\beta^2x^2+(1+x^2)}{2}$

\Rightarrow $S=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$\leq $[\dfrac{13(\alpha^2-1)}{2\alpha}+\dfrac{9(\beta^2+1)}{2\beta}]x^2+\dfrac{13}{2\alpha}+\dfrac{9}{2\beta}$
Dấu bằng xảy ra khi:$\left\{\begin{matrix}\alpha^2x^2=1-x^2\\\beta^2x^2=1+x^2\end{matrix}\right.$(1)
Mục đích của ta là khử hết $x^2$
do đó:$\dfrac{13(\alpha^2-1)}{2\alpha}+\dfrac{9(\beta^2+1)}{2\beta}=0(2)$
Giải (1)và(2) ta tìm được $\alpha=\dfrac{1}{2};\beta=\dfrac{3}{2}$.Lúc này:
S \leq$\dfrac{13}{2\alpha}+\dfrac{9}{2\beta}=16$
Vậy Max của S=16,dấu bằng xảy ra khi (1)$\alpha^2x^2=1-x^2$ \Rightarrow $x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
nhận xét:*thông qua việc đưa vào tham số,lựa chọn điểm rơi giả định ta đã biến công việc quan trọng của bài toán là tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn yêu cầu của đề bài,của dấu bằng khi sử dụng BDT.Qua đó,Rèn luyện kĩ năng tính toán, giải một số PT,HPT
*Những bước tìm tham số phụ như trên nên trình bày ra ngoài giấy nháp để tránh gặp rắc rối khi phải giải những PT,HPT khó mà trong khi đó ta có thể đoán nghiệm,mò nghiệm.Khi trình bày vào bài thi chỉ cần lắp tham số vừa tìm được rồi tính toán là có thể coi như gần xong,rất ngắn gọn phải không nào

 

[nguyenbahiep1]

3*Bài toán có thêm 1 biểu thức là điều kiện phụ,biểu thức cần tìm cực trị với các biến không bình đẳng:lệch bậc,hệ số khác nhau và ta sẽ cân bằng,đánh giá dùng AM-GM để đưa biểu thức cần tìm cưc trị có dạng giống với giả thiết
VD3:cho $xy+yz+xz=1$.Tìm Max $P=x^2+y^2+2z^2$

Câu này chắc là tim Min ....................................................................

 

[quanghao98]

VD3:
Đề bài đã cho là tìm Min của $x^2+y^2+2z^2$ khi đã biết $xy+yz+xz=1$.Điều này làm ta nghĩ ngay đánh giá từ AM sang GM và mong muốn đánh giá được đưa về dạng:
$x^2+y^2+2z^2$ \geq $k(xy+yz+xz)$.
BDT này có dạng gần giống với một BDT quen thuộc:$x^2+y^2+z^2$ \geq $xy+yz+xz$
Ta chứng minh BDT này bằng việc ghép đối xứng thành các cặp rồi sử dụng AM-GM:
$x^2+y^2+z^2=\dfrac{x^2+y^2}{2}+\dfrac{y^2+z^2}{2}+\dfrac{x^2+z^2}{2}$ \geq $xy+yz+xz$.Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$.Từ đây,ta thấy cả 2 BDT trên có dạng:
*VT có dạng các tổng bình phương,VP có dạng tổng các tích
*Sử dụng ghép+AM-GM.Như vậy muốn áp dụng kĩ thuật tương tự này vào bài toán,ta cần phải biết dấu bằng xảy ra khi nào.Tuy nhiên,ta chỉ thây được từ dữ kiện của bài toán là biểu thức đạt Min khi $x=y$(Vai trò đối xứng của chúng trong giả thiết và biểu thức P).Lúc này ta sẽ đưa thêm tham số phụ-chọn điểm rơi giả định để đưa bài toán trở về tìm điều kiện của tham số,Và khi đó sẽ giống như VD1,ta giải các PT,HPT đã tìm tham số và lắp ngược trở lại bài toán thì đã gần xong
Hướng giải VD3:
Giả sử P đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=y=a$,$z=b$
\Rightarrow $xy+yz+xz=a^2+2ab=1$(1).
Khi đó:$bx=by=az$.Đến đây,ta ghép để sử dụng AM-GM:
$xy$\leq$\dfrac{x^2+y^2}{2}$\Rightarrow$abxy$\leq$\dfrac{ab(x^2+y^2)}{2}$(Bước nhân thêm ab giúp ta khai thác triệt để GT $xy+yz+xz=1$)
$abyz$\leq$\dfrac{b^2y^2+a^2z^2}{2}$
$abzx$\leq$\dfrac{a^2z^2+b^2x^2}{2}$
Cộng 3 BDT trên lại,ta được:
$ab(xy+yz+xz)=ab$\leq$\dfrac{ab(x^2+y^2)+(b^2y^2+a^2z^2)+(a^2z^2+b^2x^2)}{2}=\dfrac{(ab+b^2)(x^2+y^2)+2a^2z^2}{2}$ (**)
Đến đây,ta sẽ chọn hệ số của x,y,z tỉ lệ với hệ số của chúng tại biểu thức P.Tức:
$$\dfrac{ab+b^2}{1}=\dfrac{ab+b^2}{1}=\dfrac{2a^2z^2}{2}(2)$$
Từ (1)+(2),ta có hệ:$\left\{\begin{matrix}a^2+2ab=1\\a^2=ab+b^2 \end{matrix}\right.$
Giải hệ này ta tìm được $x=y=a=\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}};y=z=b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt[4]{5}}$
Đến đây,thay vào (**),ta được:
$P$\geq$\dfrac{2ab}{a^2}=\sqrt{5}-1$

 

[nguyenbahiep1]

Tìm $Min P = x^2+y^2+2z^2 $ biết $xy+xz+zx = 1$

Bài này có thể làm như sau

Nhận thấy hệ số của x,y bằng nhau và khác hệ số của z

vậy ta tách

$1>k > 0 \\ \\ k.x^2+k.y^2 \geq 2k.xy \\ \\ (1-k)x^2+z^2 \geq 2\sqrt{1-k}xz \\ \\ (1-k)y^2+z^2 \geq 2\sqrt{1-k}yz $

Và ta cần : $2k = 2\sqrt{1-k} \Rightarrow k = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $

vậy Giải như sau

$\frac{\sqrt{5}-1}{2} x + \frac{\sqrt{5}-1}{2} y \geq (\sqrt{5}-1) xy \\ \\ \frac{3-\sqrt{5}}{2} x + z \geq (\sqrt{5}-1) xz \\ \\ \frac{3-\sqrt{5}}{2} y + z \geq (\sqrt{5}-1) yz \\ \\ P \geq (\sqrt{5}-1)(xy+yz+zx) = \sqrt{5}-1$

dấu = xảy ra đơn giản rồi

 

[quanghao98]

Thêm 1 cách giải nữa cho VD3:
Giả sử điểm rơi của biểu thức P đạt Min khi $x=y=\alpha.z$($\alpha>0$)
$x^2+\alpha^2z^2$\geq $2\alpha.xz$
$y^2+\alpha^2z^2$\geq $2\alpha.yz$
$\alpha.x^2+\alpha.y^2$\geq $2\alpha.xy$
Cộng 3 BDT cùng chiều,ta được:
$(\alpha+1)(x^2+y^2)+2\alpha^2z^2$\geq$2\alpha$
chọn $\alpha>0$ thỏa mãn $2\alpha^2=\alpha+1$
\Rightarrow $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
P \geq $\dfrac{2\alpha}{\alpha^2}=\sqrt{5}-1$

 

[quanghao98]

Bài toán tổng quát 1 cho VD3:
TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a(x^2+y^2)+z^2$.Trong đó x,y,z dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$

 

[quanghao98]

Sau đây,là một số Bài tập áp dụng của VD3 và VD2,mọi người thử áp dụng thử nhéTất cả x,y,z,t,m,n... đều là các số thực dương nhé )
Bài 1:
Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3(x^2+y^2)+z^2$
Bài 2
Cho $xy+yz+xz=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $5x^2+5y^2+7z^2$
Bài 3
Tổng quát 1:cho $xy+yz+xz=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=k(x^2+y^2)+z^2$
Bài 4
Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3x^2+2y^2+z^2$
Bài 5
Tổng quát 2:cho $xy+yz+xz=1$.Tìm GTNN của $P=kx^2+ly^2+z^2$
Bài 6:
a)cho $xy+yz+zt+tx=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=5x^2+4y^2+5z^2+t^2$
b)cho $xz+zy+yt+tx=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3x^2+3y^2+2z^2+t^2$
Bài 7
Tổng quát:$Với a,b>0$,chứng minh:
$x^2+ay^2+z^2+bt^2$ \geq $\sqrt{\dfrac{2ab}{a+b}}(xy+yz+xz+zt)$

 

[vansang02121998]

Bài 1:
Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3(x^2+y^2)+z^2$

$x^2+y^2 \ge 2xy$

$2x^2+\dfrac{1}{2}z^2 \ge 2xz$

$2y^2+\dfrac{1}{2}z^2 \ge 2yz$

$\Rightarrow 3x^2+3y^2+z^2 \ge 2$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}};z=\sqrt{2}$

 

[vansang02121998]

Bài 2
Cho $xy+yz+xz=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $5x^2+5y^2+7z^2$

$\dfrac{-7+\sqrt{329}}{4}x^2+\dfrac{-7+\sqrt{329}}{4}y^2 \ge \dfrac{-7+\sqrt{329}}{2}xy$

$\dfrac{27-\sqrt{329}}{4}x^2+\dfrac{7}{2}z^2 \ge \dfrac{-7+\sqrt{329}}{2}xz$

$\dfrac{27-\sqrt{329}}{4}y^2+\dfrac{7}{2}z^2 \ge \dfrac{-7+\sqrt{329}}{2}yz$

$\Rightarrow 5x^2+5y^2+7z^2 \ge \dfrac{-21+3\sqrt{329}}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\dfrac{\sqrt[4]{7}}{\sqrt{47}};z=\dfrac{\sqrt[4]{7}}{\sqrt{47}}.\dfrac{47-\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}$

 

[vansang02121998]

Bài 3
Tổng quát 1:cho $xy+yz+xz=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=k(x^2+y^2)+z^2$

$\dfrac{1+4k+\sqrt{1+8k}}{4} < k \Rightarrow kx^2+ky^2+z^2 \ge \dfrac{-1-\sqrt{1+8k}}{4}$

$\dfrac{1+4k+\sqrt{1+8k}}{4} > k \Rightarrow kx^2+ky^2+z^2 \ge \dfrac{-1+\sqrt{1+8k}}{4}$

 

[vansang02121998]

Bài 4
Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3x^2+2y^2+z^2$

$\dfrac{19+\sqrt{1441}}{30}x^2+\dfrac{-31+\sqrt{1441}}{20}y^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}xy$

$\dfrac{71-\sqrt{1441}}{20}y^2+\dfrac{2}{5}z^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}yz$

$\dfrac{3}{5}z^2+\dfrac{71-\sqrt{1441}}{30}x^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}xz$

$\Rightarrow 3x^2+2y^2+z^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}$

 

[vansang02121998]

Bài 6:
a)cho $xy+yz+zt+tx=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=5x^2+4y^2+5z^2+t^2$

$x^2+2y^2 \ge 2\sqrt{2}xy$

$2y^2+z^2 \ge 2\sqrt{2}yz$

$4z^2+\dfrac{1}{2}t^2 \ge 2\sqrt{2}zt$

$\dfrac{1}{2}t^2+4x^2 \ge 2\sqrt{2}tx$

$\Rightarrow 5x^2+4y^2+5z^2+t^2 \ge 2\sqrt{2}$

 

[quanghao98]

Còn Bài 5 và Bài 7 chưa có lời giải nên mình để chữ đỏ và đen.Do ngày mai mình không thể viết bài sớm được nên thêm một số bài tập cho mọi người cùng trao đổi nhé!Khuyến khích các bạn up thêm bài tập và lời giải nhưng phải đánh số thứ tự nhé!
Bài 8:
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn: $x^3+y^3=1$.Tìm Max của $P=\sqrt{x}+3\sqrt{y}$

 

[quanghao98]

Bài 9
Cho $a,b,c>0$;$a+b+c=3$.
a)Tìm Min $S=a^3+8b^3+c^3$
b)Tìm Max $P=\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$

 

[quanghao98]

Bài 10
Cho $a,b,c$\geq $0$ và $a^2+2b^2+3c^2=1$.
Tìm Min:$P=2a^3+3b^3+4c^3$

 

[ttt2_thtt]

11/ Tìm GTNN của biểu thức:

$A = \sqrt[]{x+4\sqrt[]{x-1}} + \sqrt[]{x-4\sqrt[]{x-1}}$

12/ cho x,y thỏa mãn đk $x^2+y^2 = 1$. Tìm GTNN & GTLN của biểu thức:

$M = x^6+y^6$

Hai bài này tuy ko liên quan đến dạng kĩ thuật chọn điểm rơi của quanghao98, nhưng mình cũng post lên cho topic nó đa dạng .

 

[quanghao98]

Bài 13
Cho $a,b,c$\geq 0 và $a+b+c=3$
Tìm Max $P=4ab+8bc+6ac$

 

[ttt2_thtt]

Anh quanghao98 làm giúp em đi ạ ...............................................
Mai em nộp thầy rồi

 

[quanghao98]

Hướng giải thôi nhé!:
Dễ chứng minh $4(a^3+b^3)$\geq $(a+b)^3$.Áp dụng:
$4(x^6+y^6)$\geq $(x^2+y^2)^3=1$\Rightarrow $MIn=\dfrac{1}{4}$
$x^6+y^6$\leq $x^6+y^6+3x^2y^2=x^6+y^6+3x^2y^2(x^2+y^2)=(x^2+y^2)^3=1$\Rightarrow Max=1 khi $(x;y)=(0;1)=(1;0)$