Đề thi HSG toán 8

[bcd_hau_vodoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1:
Cho x=by + cz; y=cz + ax; z=ax + by và x+y+z khác 0.
C/m: (1/ 1+a) + (1/1+b) + (1/1+c) = 2.

B2: với a, b là các số nguyên. C/m nếu 4a^2 + 3ab - 11b^2 chia hết cho 5 thì a^4 -b^4
chia hết cho 5.

B3: cho x > 0; y\geq 0 thoả mãn x^3 + y^3 = x - y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x^2 + y^2.

B4: Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A < 60 độ). Trên 1 nửa mp bờ AC chứa điểm B vẽ tia

Ax sao cho góc CAx = góc ACB. Gọi E là điểm đối xứng với C qua Ax. Nối BE cắt Ax tại D.

Các đường thẳng CD và CE cắt AB lần lượt tại I và K.

a) C/m ACDE là hình thoi.

b) C/m AK.BA=BK.AI

c) Gọi d là đường thẳng đi qua A ko cắt cạnh BC. Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d

sao cho chu vi tam giác MBC nhỏ nhất.

B5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là điểm nằm trên đoạn BC. Đường vuông góc

với AM tại M cắt cạnh CD tại N. Tìm vị trí điểm M để CN có độ dài lớn nhất.

Em cảm ơn anh chị nhìu.

 

[soicon_boy_9x]

Mình làm mình đại thôi

Bài 1:

Đặt $A=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}$

$A=\dfrac{x}{x+ax}+\dfrac{y}{y+by}+\dfrac{z}{z+cz}$

$A=\dfrac{by+cz}{ax+by+cz}+\dfrac{ax+cz}{ax+by+cz}+\dfrac{ax+by}{ax+by+cz}$

$A=\dfrac{2(ax+by+cz)}{ax+by+cz}(dpcm)$

Bài 2:

Ta có:

$4a^2+3ab-11b^2=4a^2+4ab-11ab-11b^2+10ab=4a(a+b)-11b(a+b)+10ab=(4a-11b)(a+b)+10ab \vdots 5$

Vì $10ab \vdots 5 \rightarrow (4a-11b)(a+b) \vdots 5$

Vì 5 là số nguyên tố nên phải ít nhất 1 trong 2 thừa số chia hết cho 5

Xét $a+b \vdots 5$

Ta có: $a^4-b^4=(a+b)(a^2+b^2)(a-b) \vdots a+b \vdots 5(1)$

Xét $4a-11b \vdots 5$

$4a-11b=5a-10b-a+b$

Vì $5a-10b \vdots 5$ nên $a-b \vdots 5$

Ta có: $a^4-b^4=(a+b)(a^2+b^2)(a-b) \vdots a-b \vdots 5(2)$

Từ $(1)$ và $(2) \rightarrow dpcm$

Bài 3:

Ta có:

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=x-y \leq x+y$(vì $y \geq 0$)

$\rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2) \leq x+y$

Vì $x+y > 0$ nên ta chia cả 2 vế cho $x+y$

$x^2-xy+y^2 \leq 1(1)$

Lại có $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}(2)$

Công 2 vế của bất đẳng thức (1) và (2) ta được:

$x^2+y^2 \leq 1+\dfrac{x^2+y^2}{2}$

$\rightarrow x^2+y^2 \leq 2$

Vậy giá trị lớn nhất của $x^2+y^2$ là 2

 

[anhnguyet99]

Bài 2 này có cách nhanh hơn của bạn.

Ta có: [TEX]4a^2[/TEX] + 3ab- [TEX]11b^2[/TEX]
=[TEX]5a^2[/TEX] + 5ab - [TEX]10b^2[/TEX] -[TEX]a^2[/TEX] - 2ab -[TEX]b^2[/TEX]
=[TEX]5a^2[/TEX] + 5ab - [TEX]10b^2[/TEX] -[TEX](a+b)^2[/TEX]
vì [TEX]5a^2[/TEX] + 5ab - [TEX]10b^2[/TEX] chia hết cho 5 nên từ trên suy ra [TEX](a+b)^2[/TEX] chia hêt cho 5 \Rightarrow a+b chia hết cho 5.
Do đó [TEX]a^4[/TEX] - [TEX]b^4[/TEX]=(a+b)(a-b)([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]) chia hết cho 5 (vì nhân tử a+b chia hết cho 5)

 

[soicon_boy_9x]

$\Delta AMB \sim \Delta MNC (g.g)$ vì

$\widehat{B}=\widehat{C}(=90^o)$

$\widehat{BMA}=\widehat{CNM}$( cùng phụ với $\widehat{CMN}$

$\rightarrow \dfrac{BM}{CN}=\dfrac{AB}{CM}$

$\rightarrow CN.AB=BM.CM$

AB không đổi

CN lớn nhất khi $BM.CM$ lớn nhất

Lấy O là trung điểm của BC, ta có:

$BM.CM=(OB-MO)(OC+MO)=(OC-MO)(OC+MO)=OC^2-MO^2 \le
OC^2$

Dấu $"="$ xảy ra khi M trùng O hay M là trung điểm BC

Vậy CN lớn nhất khi M là trung điểm BC

 

[eye_smile]

Bài 3 của soicon_boy_9x không có dấu "=" thoả mãn
Mình có cách giải ntn
Ta có: ${x^3} + {y^3} \ge {x^3} - {y^3}$
$ \leftrightarrow x - y \ge {x^3} - {y^3}$
$ \leftrightarrow 1 \ge {x^2} + xy + {y^2}$
Lại có:$xy \ge 0$
$ \to Max({x^2} + {y^2}) = 1$ tại $x=1;y=0$

 

[harrypham]

Xem lời giải bài 4 tại đây