[FONT="]Các bạn thấy đấy chỉ còn chưa đầy một năm nữa thì kì thi Đại Học 2013 sẽ bắt đầu. Với mong muốn giúp các bạn đạt được kết quả tốt nhất trong kì thi sắp tới, mình xin mạn phép lập Topic này để [FONT="]chúng ta cùng nhau ôn tập chuẩn bị những kiến thức cơ bản. Chúng ta đều thấy rằng một [/FONT][/FONT]bài toán khó tới đâu cũng chỉ xuất phát từ những cái hết sức cơ bản. Vì vậy, để học tốt thì cần nắm vững những điều cơ bản nhất. Topic được lập ra trên tinh thần giao lưu học hỏi, mình mong rằng các bạn tham gia thảo luận nên tôn trọng mục đích của Topic, không ra những bài mang tính thách đố mà chỉ xoay quanh vấn đề thi Đại Học thôi nhé. Để có được những bài toán đẹp về mặt hình thức mình hy vọng các bạn tuân thủ chặt chẽ một số quy định sau: Sử dụng đúng từ ngữ, ngữ pháp Tiếng Việt như đã quy định ở Nội Quy Diễn Đàn. Đánh số thứ tự cho bài toán. Khi giải bài nhớ trích dẫn lại đề bài để mọi người cùng theo dõi. Chỉ giải lại các bài trước đó khi bạn có lời giải khác, đừng để trùng lặp câu trả lời nhé. (Nhớ trích dẫn lại câu trả lời trước để có thể tổng hợp lại các cách giải). Để Topic không bị tồn đọng mình mong rằng các bài tập sau khi được đăng lên đều nhận được lời giải, vì thế khi bài toán nào đăng lên 3 ngày nếu như không có ai giải, thì mình hy vọng chủ nhân bài toán sẽ đăng lời giải bài toán đó. Mọi bài giải phải đi đến đáp số cuối cùng để chắc chắn rằng hướng đi đó là chính xác nhé và nếu có kết luận thì quá tốt. Cuối cùng với mục đích có được bài toán đẹp mắt về mặt hình thức các bạn phải dùng LaTex nhé,xem tại đây và đẹp nhất khi dùng Fonts Times New Roman, Sizes 4. Cuối mỗi Chuyên Đề mình sẽ cố gắng làm thành tài liệu để các bạn vô sau dễ theo dõi nhé. Chuyên Đề Hàm số: Xem tại đây. Chuyên Đề Phương Trình, Bất Phương Trình, Hệ Phương Trình Mũ Và Logarit: Xem tại đây. Chuyên Đề Nguyên Hàm, Tích Phân: Xem tại đây. Chúng ta sẽ ôn theo chương trình học nhé, vì thế sẽ bắt đầu khởi động với: Chuyên Đề Hàm số. Bắt tay vào rèn luyện thôi! Mình xin mở đầu bằng một bài toán cơ bản. Bài 1: Tìm m để hàm số: $y=x^3+3mx^2+(m-2)x-m$ đồng biến trên $R$.
Điều kiện để hàm số đồng biến trên R là: $y' \ge 0$ với \forall $x \in R$ $\Longleftrightarrow 3x^2+6mx+m-2 \ge 0$ với \forall $x \in R$ $\Longrightarrow \Delta ' \le 0$ $\Longleftrightarrow 9m^2 - 3(m - 2) \le 0$ $\Longleftrightarrow 3m^2 - m + 2 \le 0$ (Vô lí) Kết luận: Không tồn tại giá trị m để hàm số đồng biến trên R
Hàm số nghịch biến với $\forall x \in (- \infty; 1)$ khi $y' < 0 $ với $\forall x \in (- \infty; 1)$ $\Leftrightarrow \dfrac{m^2-4}{(x+m)^2} < 0$ với $\forall x \in (- \infty; 1)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^2-4 < 0 \\ - m > 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2 \\ m < - 1 \end{array} \right.$ $\Rightarrow - 2 < m < 1$ Kết luận: Giá trị m cần tìm là $m \in (-2; 1)$ Chú ý: Vì bài toán yêu cầu $y' < 0$ với $\forall x \in (- \infty; 1)$ Nên giá trị $x = - m$ phải không thuộc khoảng $ (- \infty; 1)$ kéo theo điều kiện: $ - m > 1$
Bài 2: Cho hàm số $y=\dfrac{mx+4}{x+m}$ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (- \infty; 1) Bài 3: Cho hàm số: $y=x^3-3(m+1)x^2+3(m+1)x+1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng của nó. Bài 4: Cho hàm số: $y=x^3-3(m+1)x^2+3(m+1)x+1$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$. Bài 5: Cho hàm số: $y=\dfrac{mx^2+(6m+5)x-2(1-3m)}{x+1}$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên $[1;+$\infty$)$.
ta có:$y'=3x^2-6(m+1)x+3(m+1)$ hàm số đồng biến trên các khoảng của nó thì y'\geq 0 \Leftrightarrow $\delta' $\leq 0 \Leftrightarrow $(m+1)^2-(m+1)$\leq 0 \Leftrightarrow -1\leq m\leq 0 ta có:$y'=3x^2-6(m+1)x+3(m+1)$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ thì y' \leq 0 $\Longleftrightarrow$ $3x^2-6(m+1)x+3(m+1)$\leq 0 (1) vì xét trên khoảng $(-1;0)$ (1) $\Longleftrightarrow$m\leq$ \frac{x^2-2x+1}{2x-1}$ (2) vì hàm số liên tục tại x = -1 nên (2)$\Longleftrightarrow$ m< f(-1)=$-\frac{4}{3}$ ta có $y'=\dfrac{mx^2+2mx+7}{(x+1)^2}$ hàm số nghịch biến trên $[1;+$ \infty$)$ thì y'\leq 0 $\Longleftrightarrow$ $f(x)=mx^2+2mx+7$\leq 0 và f(-1) # 0 nên m \leq $-\dfrac{7}{x^2+2x}=g(x)$ với mọi x thuộc $[1;+$\infty$)$ $\Longleftrightarrow$ m\leq min g(x)=g(1)=$-\frac{7}{3}$
Bài 6: Cho hàm số: $$y=\dfrac{m}{3}x^3-(m-1)x^2+3(m-2)x+\dfrac{1}{3}.$$ Tìm m để hàm số đồng biến trên $[2;+$\infty$)$.
Bài 7: Cho hàm số: $$y=x^3-mx^2-(2m^2-7m+7)x+2(m-1)(2m-3)$$ Tìm m để hàm số đồng biến trên $[2;+$\infty$)$.
Chuyên đề hàm số ta có $y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$ hàm số đồng biến trên $[2;+$ \infty$)$ thì phải có y'$\ge$0 $\Longleftrightarrow$ $mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$$\ge$0 $\Longleftrightarrow$ m$\ge$$\dfrac{6-2x}{x^2-2x+3}=f(x)$ với x mọi thuộc $[2;+$ \infty$)$ $\Longleftrightarrow$ m$\ge$maxf(x)=f(2)=$\dfrac{2}{3}$
Bài 9: Cho hàm số: $$y=(4m-5)\cos x+(2m-3)x+m^2-3m+1$$ Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. P/s: Dạng này chưa xuất hiện trong mấy năm gần đây, nhưng cách giải khá hay và ôn cho đủ dạng, nếu may mắn ra thì trúng tủ nhé.
Yêu cầu bài toán: $\Rightarrow y' \leq 0$ với $\forall x \in R$ $\Leftrightarrow (5-4m)sinx + 2m - 3 \leq 0$ với $\forall x \in R$ Đặt $t = sinx$ ($|t|\leq 1$ ) Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình: $f(t) = (5-4m)t + 2m - 3 \leq 0$ với $\forall t \in [-1; 1]$ $\Rightarrow Max_{[-1; 1]}f(t) \leq 0$ với $\forall t \in [-1; 1]$ Nhận xét: Hàm số y = f(t) là một hàm số bậc nhất nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm đầu mút nên yêu cầu bài toán suy ra: $$\left\{ \begin{array}{l} f(-1) \leq 0 \\ f(1) \leq 0 \end{array} \right.$$ $$\Rightarrow 1 \leq m \leq \dfrac{4}{3}$$
Bài 11: Cho hàm số: $$y=\dfrac{1}{3}(m+1)x^3+(2m-1)x^2-(3m+2)x+m$$ Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4.
Yêu cầu bài toán suy ra: $y' \geq 0$ với $\forall x \in R$ $\Leftrightarrow m+ cosx+\dfrac{cos2x}{2}+\dfrac{cos3x}{3} \geq 0$ với $\forall x \in R$ Đặt $t = cosx$ với $|t| \leq 1$ Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình $ m+ \dfrac{4t^3}{3}+t^2-\dfrac{1}{2} \geq 0$ với $\forall |t| \leq 1$ $\Leftrightarrow m \geq - \dfrac{4t^3}{3}- t^2+\dfrac{1}{2} = f(t)$ với $\forall |t| \leq 1$ $\Rightarrow m \geq Max_{[-1; 1]}f(t)$ $ \Rightarrow m \geq \dfrac{5}{6}$ Chú ý: 1. Chỗ đưa về hàm số y = f(t) ta sử dụng công thức $cos2x = 2cos^2x - 1; cos3x = 4cos^3x - 3cosx$ 2. Bước cuối mình làm hơi tắt nhưng các bạn lập bảng xét dấu hàm số y = f(t) với $\forall |t| \leq 1$ thì có $Max f(t) = f(- 1) = \dfrac{5}{6}$ nhé.
Điều kiện bài toán suy ra $$\left\{ \begin{array}{l} y' \leq 0 \forall x \in [x_1; x_2] \\ x_2-x_1 = 4 \end{array} \right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \triangle' > 0 \\ m+1 > 0 \\ x_2-x_1 = 4 \end{array} \right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7m^2+m+3>0 \\ m > - 1 \\ (x_2-x_1)^2 = 16 \end{array} \right.$$ Đến đây áp dụng ĐL vi ét cho phương trình y' = 0. Giải hệ bất phương trình Đáp số: $m = \dfrac{7+\sqrt{61}}{6}$
Yêu cầu bài toán suy ra: $y' \geq 0$ với $\forall x \in [2; +\infty)$ $\Leftrightarrow 3x^2 - 2mx - (2m^2-7m+7) \geq 0 (1)$ với $\forall x \in [2; +\infty)$ Nhận xét: Do $ \triangle = 7(m^2-3m+3) > 0$ Nên tập nghiệm của bất phương trình (1) là: $x \in (- \infty; x_1] \bigcup [x_2; +\infty)$ Nên để thỏa mãn bất phương trình (1) luôn đúng với $\forall x \in [2; +\infty)$ Ta cần có điều kiện: $$x_1<x_2 \leq 2$$ $$\Rightarrow x_2 \leq 2$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{m+\sqrt{7(m^2-3m+3)}}{3} \leq 2$$ Giải bất phương trình này ta được kết quả: $-1 \leq m \leq \dfrac{5}{2}$
Chuyên đề hàm số Bài 12: (bài này rất hay,khi làm thường mắc những sai lầm,em cũng vậy) Tìm m để hàm số:$f(x)=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+2$ đồng biến trên khoảng: $(-$ \infty$;-1]$$\cup$$[2;+$\infty$)$
Giải: $\bullet$ TXĐ: $D=R$. $\bullet$ $y '=3x^2-6(2m+1)x+12m+5$ $\bullet$ Để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-$\infty $;-1]$;$[2;+$\infty$)$thì: $$ \left\{\begin{array}{1} 3x^2-6(2m+1)x+12m+5 \ge 0 \,\ \text{ Với mọi}\,\ x \ge 2\\ 3x^2-6(2m+1)x+12m+5 \ge 0 \,\ \text{ Với mọi}\,\ x<-1 \end{array}\right.$$$$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} 12m \ge \dfrac{3x^2-6x+5}{x-1} \,\ \text{ Với mọi}\,\ x \ge 2\\ 12m \ge \dfrac{3x^2-6x+5}{x-1} \ge 0 \,\ \text{Với mọi} \,\ x<-1 \end{array}\right.$$$\bullet$ Xét hàm số : $g(x)= \dfrac{3x^2-6x+5}{x-1}$ thì ta sẽ thu được kết quả là: $$-\dfrac{7}{12} \le m \le \dfrac{5}{12}$$
Chuyên đề hàm số Ta viết lại hàm số $y=2x+m+1+\dfrac{(m+1)^2}{x-m}$ (1) TH1: $m=-1$ thì (1) có dạng $y=2x$ (với x$\not=$-1) sẽ thõa mãn hàm số đồng biến trên $(1;+$ \infty$)$ TH2: m$\not=$ -1 thì Ta có: $y'=\dfrac{2x^2-4mx+m^2-2m-1}{(x-m)^2}$ Hàm số đồng biến trên $(1;+$ \infty$)$ thì $\Longleftrightarrow$ $f(x)=2x^2-4mx+m^2-2m-1$$\ge$0 (2) Với m$\le$1 thì hàm số ban đầu sẽ liên tục trên khoảng $(1;+$\infty$)$ Bất phương trình (2) có tập nghiệm$[-$ \infty$;x_1]$ $\cup$$[x_2;+$\infty$)$ (vì $\triangle'_{(2)}$ >0 ) để thõa mãn ycbt thì : $x_2$$\le$ 1 $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{2m+\sqrt{\triangle_{(2)}'}}{2}$ $\le$1 $\Longleftrightarrow$ m$\le$ $\dfrac{4-3\sqrt{2}}{2}$ KL: m=-1 và m$\le$ $\dfrac{4-3\sqrt{2}}{2}$
Bài này mình lại ra đáp số khác Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-$\infty $;-1]$$\cup$$[2;+$\infty$)$ thì hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$ $$\left\{\begin{array}{1} y' \le 0 \\ x\in (-1;2) \end{array}\right.$$ Xét hàm số với x thuộc (-1;2)