Định lý Menelaus

[huutho2408]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Định lý Menelaus Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

định lí này có được dùng trong hình không gian thi đại học không các bạn?
các bạn thử chứng minh giúp tớ!

 

[hothithuyduong]

Theo như tớ được học thì thầy tớ bảo định lí này được áp dụng khi thi đại học vì nó được đưa vào sách bài tập hình học lớp 10, bất cứ định lí nào đưa vào sách đều được áp dụng

tớ chứng minh thế này:

Chiều thuận: Khi D, E, F thẳng hàng có: [TEX]\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA} = 1 (1)[/TEX]

Lấy điểm M thuộc DE sao cho [TEX]MB//AC[/TEX].

Theo định lí ta lét ta cóo [TEX]MB//AC[/TEX].

[TEX]\rightarrow \frac{AE}{BM} = \frac{AF}{BF}; \frac{DB}{DC} = \frac{BM}{EC}[/TEX]

[TEX]\rightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA} = \frac{AE}{BM}.\frac{BM}{EC}.\frac{EC}{EA} = 1[/TEX]

Chiều đảo: Khi có đẳng thức (1) ta chứng minh D, E, F thẳng hàng:

Giả sử [TEX]FD \cap AC = E' \rightarrow E', D, F[/TEX] thẳng hàng.

Theo chứng minh trên tương tự ta có: [TEX]\frac{E'C}{E'A}.\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC} = 1[/TEX]

mà ta lại có:[TEX]\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA} = 1[/TEX]

[TEX]\rightarrow \frac{EC}{EA} = \frac{E'C}{E'A} \rightarrow E \equiv E'[/TEX]

[TEX]\rightarrow E, D, F[/TEX] thẳng hàng