Toán 11 [Chuyên đề] Hình học không gian và các vấn đề liên quan

niemkieuloveahbu · 30 Tháng mười một 2011

Lên lớp 11 chúng ta dần làm quen với hình học không gian,vì lẽ đã quá quen với hình học trong mặt phẳng nên có nhiều bạn gặp khó khăn,vậy mình lập topic này cùng thảo luận và làm bài về hình không gian.

Trước hết, ta có chút quy định cho pic.

Nhằm giúp pic có một tiêu chí thống nhất, có một số điều chúng ta cần chú ý:

Để tiện cho việc theo dõi, quản lí cũng như tổng hợp sau này, mình xin thống nhất cách post bài cho các bạn ở các topic chú ý.

- Nếu post bài giải thì bạn viết như bình thường, chỉ dùng màu đen
- Hạn chế dùng các emoticon
- Các bài hướng dẫn cách giải các bạn post thành 1 bài riêng và dùng kiểu chữ đậm.

VD:
Bài 1
Cho hình chóp ABCD, gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,CD, R là điểm thuộc BC sao cho BR=2RC, S là giao điểm của (QPR) với AD. Chứng minh rằng AS=2SD.

- Các bài viết phải theo đúng quy định của diễn đàn học mãi, viết hoa đầu dòng, tuyệt đối không được spam.
- Bài viết không sử dụng latex để viết các kí hiệu toán học sẽ bị xoá không giải thích
- Các thành viên để tiện liên lạc nên vào Chức năng -> Sửa thông tin chi tiết hoặc vào link này -> Tên Yahoo (yim) và gõ nick của mình.

Để vẽ hình học không gian, các bạn nên dùng chương trình GSP5 Việt hóa này Việt hóa
- Hướng dẫn

- Thêm chút nữa là nội quy post bài,các bạn xem kĩ tại Quy định(tớ lười nên sang đấy coi nhờ ,

))

- Các bài giải post gộp vào một bài viết,tránh tình trạng spam,câu bài gây loãng pic.
- Vì đã nhắc nhở nên bạn nào cố tình vi phạm sẽ có hình thức phạt nhé.
-Còn vấn đề gì sẽ bổ sung sau.

.
Thân

Hạ Kiều

Thanks Nhân giúp tớ soạn một bản hướng dẫn chi tiết nhé,

Chúc pic của chúng ta hoạt động sôi nổi,nhiệt tình!

. Canh đúng giờ hoàng đạo,

)
:M02::M02::M02::M02::M02:

maygiolinh · 2 Tháng mười hai 2011

Cùng khởi động nào:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD, gọi I là trung điểm của AB, M di động trên CD, P là trung điểm của đoạn BM.
1. CMR IM và AP mỗi đường thẳng nằm trong một mp cố định.
2.Tìm tập hợp giao điểm G của IM và AP

dandoh221 · 2 Tháng mười hai 2011

Bài 1.
Giải :

a. M thuộc CD nên IM luôn thuọc (IDC) cố định
Gọi EF là đường trung bình của tam giác BDM.Ta có[TEX] \frac{BE}{EC} = \frac{BP}{PM} = \frac{BF}{FD}[/TEX] \Rightarrow E,P,F thẳng hàng
Suy ra AP luôn thuộc (AEF) cố định
b.IM thuộc (IDC)
AP thuộc (AEF) nên tập hợp giai điểm G của IM mà AP là giao tuyến của 2 mặt phẳng trên

dandoh221 · 2 Tháng mười hai 2011

Post từng bài một thôi nhé

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
a, Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJE)
b, Tìm vị rí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành
c, TÌm đk của tứ diện ABCD và vị trí E để thiết diện là hình thoi

maygiolinh · 3 Tháng mười hai 2011

Bài 2.
Giải :
a,Gọi [tex] K=JE \cap AB , M=IK \cap AC[/tex]
Thiết diện cần tìm là tứ giác IJEM
b, Để thiết diện là hìng bình hành thì ME=IJ và ME //IJ
Khi đó ME=0.5 CD nên E là trung điểm của AD
c, Khi E là trung điểm của AD thì thiết diện IJEM là hình bình hành khi đó đk để IJEM là hình thoi là AB=AD
Không biết có đúng ko nữa.

P/s: Mình nghĩ ME//IJ là điều tất nhiên, nhưng vẫn chưa chứng minh đc, giúp mình nha.

cuinhungpro · 4 Tháng mười hai 2011

Bạn nói đúng rồi đó E là trung điểm của AD thì thiết diện là hình Bình hành và là hình thoi lun đó bạn:
Chi tiết câu b và câu c

c. Giả sử E là trung điểm của AD \Rightarrow EJ // AB ,AB=2EJ (EJ là đường trung bình của tam giác ABD)(1) vậy giao tuyến IM=(ABC)\bigcap_{}^{}(EJI) phải thoả điều kiện IM//EJ và IM//AB
vậy muốn thoả điều kiện IM//AB//EJ \Rightarrow M là trung điểm của AC để IM // AB, AB=2IM (IM là đường trung bình của tam giác ABC)(2).
Từ (1)và(2)\Rightarrow IM//EJ và IM=EJ\Rightarrow thiết diện IMEJ là hình bình hành.

Câu c:điều kiện để EMIJ là hình thoi là E la trung điểm của AD \Rightarrow M là trung điểm của AC (cmt) IJ//CD ,IJ=1/2 CD (IJ là đường trung bình của tam giác ACD) (1). ME//CD ,ME=1/2 CD (ME là đường trung bình của tam giác ACD )(2).
Từ (1) và (2) \Rightarrow IJ//ME và IJ=ME (cùng =1/2 CD )(3).
Ta có IM//EJ và IM=EJ (cmt) (4)
Từ (3) và (4) \Rightarrow IMEJ là hình thoi.

lovelycat_handoi95 · 4 Tháng mười hai 2011

Thử bài này nha

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD và điểm S không thuộc mp(ABCD).Gọi M,E lần lượt là trung điểm của AB ,SD .N là điểm đối xứng của B qua C .Tìm giao tuyến của (MNE) với (ASD),(SAB)

cuinhungpro · 4 Tháng mười hai 2011

Bài 3. Giải :
Câu a. Trong(ABCD): MN\bigcap_{}^{}AD=I,I thuộc MN của (MNE)\RightarrowI thuộc (MNE) (1),I thuộc AD của (SAD)\RightarrowI thuộc (SAd)(2).Từ (1) và (2) \RightarrowI thuộc (MNE)\bigcap_{}^{}(SAD).
E thuộc (MNE)\bigcap_{}^{}(SAD) \RightarrowEI=(MNE)\bigcap_{}^{}(SAD).

Thêm 1 hình khác

Câu b. Trong(SAD) ta có EI\bigcap_{}^{}SA=K.
K thuộc EI của (MNE)\Rightarrow K thuộc (MNE). K thuộc SA cua (SAB)\Rightarrow K thuộc (SAB)\Rightarrow thuộc (SAB)\bigcap_{}^{}(MNE)(1).
M thuộc (SAB)\bigcap_{}^{}(MNE)(2).
Từ (1) và (2)\Rightarrow (MNE)\bigcap_{}^{}(SAB)=MK

niemkieuloveahbu · 4 Tháng mười hai 2011

Bài 4.
Cho hình chóp SABCD,đáy ABCD là tứ giác lồi,M là trung điểm SA,N là trung điểm SC.
a) Xác định các thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua M,N//(SBD)
b) Gọi I,J là giao của 2 mặt phẳng trên với AC. CM:[tex] IJ=\frac{1}{2}AC[/tex]

Bài 5:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.M thuộc AD,N thuộc D'C' sao cho [tex]\frac{AM}{MD}=\frac{D' N}{N C'}[/tex]
b) Xác định thiết diện của hình hộp với (P) qua MN và (C'BD)

Mấy bài dễ thôi,rèn kĩ năng là chính.

maygiolinh · 5 Tháng mười hai 2011

Xho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.M thuộc AD,N thuộc D'C' sao cho \frac{AM}{MD}=\frac{D' N}{N C'}
b) Xác định thiết diện của hình hộp với (P) qua MN và (C'BD)

Qua MN và (C'BD) hay qua MN và // (C'BD) vậy mod, mình thử giải TH qua MN và //(C'BD)

Ta có MN và DC' là hai đường thẳng chéo nhau, nên chỉ tồn tại duy nhất 1mp chứa MN và // với DC'
Qua N vẽ đường thẳng// DC' cắt DD' và CD lần lượt tại P và I.
Kéo dài IM cắt AB tại T.
Mặt khác qua N vẽ dt //BD cắt B'C' tại Q. Qua Q vẽ dt//BC' cắt BB' tại R.
Thiết diện cần tìm là MTRQNP

cuinhungpro · 6 Tháng mười hai 2011

Cho hình chóp SABCD,đáy ABCD là tứ giác lồi,M là trung điểm SA,N là trung điểm SC.
a) Xác định các thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua M,N//(SBD)
b) Gọi I,J là giao của 2 mặt phẳng trên với AC. CM: IJ=\frac{1}{2}AC

gọi H,K là 2 điểm cùng M tạo ra mặt phẳng và (HKM)//(SBD) muốn (HKM)//(SBD) thì H,K lần lượt là trung điểm của AB và AD (HK là đường trung bình của tam giác ABD ,KM là đường trung bình của tam giác ASD, HK là đường trung bình của tam giác ASB).
(HKM)\bigcap_{}^{}AB=H, (HKM)\bigcap_{}^{}SA=M,(HKM)\bigcap_{}^{}AD=K \Rightarrow thiết diện của mặt phẳng qua M//(SAB) là tam giác HKM.
Mặt phẳng qua N//(SBD) tương tự (mình cho đó la tam giác NPQ).
Câu b : KQ//AC, AC=2KQ (KQ là đường trung bình của tam giác DAC),HP//AC,AC=2HP (HP là đường trung bình của tam giác ABC).
Trong (ABCD) HK\bigcap_{}^{}AC=I,PQ\bigcap_{}^{}AC=J. Trong tứ giác HKPQ có cạnh KQ=HP (bằng 1/2 AC) ma IJ nằm trên AC mà AC//KQ//HP \Rightarrow IJ//KQ//HP \Rightarrow IJ=KQ=HP (I nằm trên HK và J nằm trên PQ) \Rightarrow IJ=1/2 AC

maygiolinh · 6 Tháng mười hai 2011

Bài 5: Cho tứ diện ABCD, gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC, BD. Điểm M lưu động trên AC.
1, Tìm giao điểm N của AD với mp(MIJ).
2, Tìm quỹ tích giao điểm H của IM và JN, quỹ tích giao điểm K của IN và JM.

dandoh221 · 6 Tháng mười hai 2011

Giải :

a. Xét (ACD) và (MIJ) có chung điểm M
IJ // DC \Rightarrow Giao tuyến là MN // CD

b. Xét 3 mp(ABD) , mp(ABC), mp(IJMN)
[TEX](ABD) \bigcap_{}^{} (IJMN) = JN[/TEX]
[TEX](ABC) \bigcap_{}^{} (IJMN) = IM[/TEX]
[TEX](ABC) \bigcap_{}^{} (ABD) = AB[/TEX]
Nên AB, NJ, IM đồng quy tại H, Vậy H thuộc đường thẳng BA.
M ---> M' trung điểm M' của AC thì K --> +

$vocung.gif$

nên quỹ tích điểm M chính là đường thẳng AB

c.ID cắt JC tại E
\Rightarrow A,K,E cùng thuộc 2 mp(AID) và mp(ẠC) nên A,K,E thẳng hàng
M trùng A thì K trùng A
M trùng C thì K trùng E
Vậy quỹ tích điểm K chính là đoạn AE

maygiolinh · 8 Tháng mười hai 2011

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm đáy. Một mp(P) lưu động cắt 3 cạnh bên tại A', B', C' và cắt SG tại G'.
Chứng minh [tex]\frac{SA}{SA'}+\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}=\frac{SG}{SG'}[/tex]
P/s: Chỉ dùng quan hệ // hoặc tỉ số diện tích.

l94 · 9 Tháng mười hai 2011

maygiolinh said:
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm đáy. Một mp(P) lưu động cắt 3 cạnh bên tại A', B', C' và cắt SG tại G'.
Chứng minh [tex]\frac{SA}{SA'}+\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}=\frac{SG}{SG'}[/tex]
P/s: Chỉ dùng quan hệ // hoặc tỉ số diện tích.

Bạn ơi là [tex]\frac{SA}{SA'}+\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}=\frac{3SG}{SG'}[/tex] chứ
nếu sửa đề lại như thế thì thế này.
Goi M là trung điểm BC, M' là trung điểm B'C'.
[tex]\frac{dt(SA' G')}{dt(SAG)}=\frac{dt(SA'G)}{\frac{2}{3}dt(SAM)}=\frac{SA'.SG'}{SA.SG}[/tex]
[tex]\frac{dt(SA' G')}{dt(SAM)}=\frac{2SA'.SG'}{3SA.SG}[/tex](1)
[tex]\frac{dt(SG' M')}{dt(SGM)}=\frac{dt(SG'M')}{\frac{1}{3}dt(SGM)}=\frac{SG'.SM'}{SG.SM}[/tex]
[tex] \Rightarrow \frac{dt(SG'M')}{dt(SAM)}=\frac{SG'.SM'}{3SG.SM}[/tex](2)
Cộng 1 và 2:
[tex]\frac{dt(SA'G')+dt(S' G' M')}{dt(SAM)}=\frac{dt(SA'M')}{dt(SAM)}[/tex](3)
[tex] \Rightarrow \frac{SG'}{3SG}(\frac{2SA'}{SA}+\frac{SM'}{SM})= \frac{SA'.SM'}{SA.SM}[/tex](4)
[tex]\frac{dt(SB'M')}{dt(SBC)}+\frac{dt(SM'C')}{dt(SBC)}=\frac{dt(SB'C')}{dt(SBC)}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}[\frac{dt(SB' M')}{dt(SBM)}+\frac{dt(SM'C')}{dt(SMC)}]=\frac{dt(SB'C')}{dt(SBC)}[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\frac{SB'.SM'}{SB.SM}+\frac{SM'.SC'}{SM.SC})=\frac{SB'.SC'}{SB.SC}[/tex](5)
đặt [tex] \frac{SA'}{SA}=a, \frac{SB'}{SB}=b, \frac{SC'}{SC}=c[/tex]
(5):[tex]\frac{1}{2}\frac{SM'}{SM}(b+c)=bc[/tex]
[tex]\frac{SM'}{SM}=\frac{2bc}{b+c}[/tex]
(4)[tex] \Rightarrow \frac{SG'}{3SG}(2a+\frac{2bc}{b+c})=\frac{2abc}{b+c}[/tex]
[tex]\frac{SG'}{3SG}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \frac{SA}{SA'}+\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}=\frac{3SG}{SG'}[/tex]
p/s: dt là diện tích nhá

niemkieuloveahbu · 10 Tháng mười hai 2011

Tình hình thấy box buồn quá nên tớ đưa bài lên làm nhé,

Bài 7:
Cho hình chóp SABCD,đáy ABCD là hình bình hành,M,N thứ tự là trung điểm AB,CD,P là trung điểm SA.Chứng minh PN//(SBC)

Bài 8:
Cho hình chóp SABCD,ABCD là hình vuông cạnh a,SA=SB=SC=SD=a.H,K thứ tự trung điểm SA,SB. M là điểm thuộc AD,mặt phẳng HKM giao BC=N.
1) Tính diện tích tứ giác HKNM theo a và x=AM(0<x<a)
2)Tìm x để diện tích đó đạt nhỏ nhất.

@Nhân: Cậu quản lí pic nên năng post bài tý chứ để pic vắng thế này không ổn,

lovelycat_handoi95 · 10 Tháng mười hai 2011

Bài 7:
Cho hình chóp SABCD,đáy ABCD là hình bình hành,M,N thứ tự là trung điểm AB,CD,P là trung điểm SA.Chứng minh PN//(SBC)

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Gọi [TEX]K= AN \bigcap_{}^{} BC[/TEX]

[TEX]=> AN \in (SAK) \ va\ (ABCD)[/TEX]

Xét tam giác ABK có

[TEX]MN // BK[/TEX]
M là trung điểm AB

=> MN là đường trung bình tam giác ABK

=> N là trung điểm AK

Xét tam giác SAK có

P là trung điểm SA
N là trung điểm AK

=> PN là đường trung bình tam giác SAK

[TEX]=> PN // SK [/TEX]

mà [TEX]SK \subset \ (SBC)[/TEX]

[TEX]=> PN // (SBC)[/TEX]

l94 · 10 Tháng mười hai 2011

Bài 8:
Cho hình chóp SABCD,ABCD là hình vuông cạnh a,SA=SB=SC=SD=a.H,K thứ tự trung điểm SA,SB. M là điểm thuộc AD,mặt phẳng HKM giao BC=N.
1) Tính diện tích tứ giác HKNM theo a và x=AM(0<x<a)
2)Tìm x để diện tích đó đạt nhỏ nhất.

từ giả thuyết suy ra giao tuyến MN của HKM và ABCD //AB//CD và N là trung điểm BC.
tam giác SAD: [tex] cosSAD=\frac{a^2}{2a^2}=0,5 \Rightarrow SAD=\frac{\pi}{3}[/tex]
xét tam giác HAM:[tex]HM^2=\frac{a^2}{4}+x^2-\frac{ax}{2}[/tex]

[tex]HK=\frac{a}{2}[/tex]
gọi KI và HJ là 2 đường cao
ta có [tex]NI=MJ=\frac{a}{4}[/tex]

[tex]HJ^2=HM^2-MJ^2=\frac{3}{16}a^2+x^2-\frac{ax}{2}[/tex]

[tex]HJ=\sqrt{\frac{3}{16}a^2+x^2-\frac{ax}{2}}[/tex]

[tex]S=\frac{3a}{4}.\sqrt{\frac{3}{16}a^2+x^2-\frac{ax}{2}}[/tex]
S nhỏ nhất khi biểu thức trong căn nhỏ nhất, từ đó xét thôi.

kuem215 · 11 Tháng mười hai 2011

Bài 9:
Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M trung điểm của SB và N là điểm thay đổi trên cạnh CD.
a) Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBN)
b) Xác định vị trí của N trên CD sao cho (SAC) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng MN

hoanggu95 · 12 Tháng mười hai 2011

kuem215 said:
Bài 9:
Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M trung điểm của SB và N là điểm thay đổi trên cạnh CD.
a) Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBN)
b) Xác định vị trí của N trên CD sao cho (SAC) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng MN

Mình mạn phép
phần a bạn xem hình là đường màu đỏ còn 2mp có điểm chung là S và H

phần b mình làm theo quan điểm diện tích
Dễ thấy tam giác NIB có diện tích bằng 1/4 tam giác SNB
nên ta có IO=1/4 SO
từ I kẻ song song với SA cắt AC tại J thì ta có tỉ lệ JI = 1/4 SA
từ M kẻ song song với SA cắt AB tại K
dễ thấy IJ=1/2 MK
nên KN sẽ cắt AC tại trung điểm của KN
biện luận 1 chút để CM được N là trung điểm CD theo kiểu phản chứng dựa vào ĐK là K là trung điểm AB, nếu N không phải là trung điểm CD thì vô lí.

Vậy N là trung điểm CD
( mình dùng GSP vẽ thử thì cái này đúng)

các bạn xem và góp í

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán 11 [Chuyên đề] Hình học không gian và các vấn đề liên quan

niemkieuloveahbu

maygiolinh

dandoh221

dandoh221

maygiolinh

cuinhungpro

lovelycat_handoi95

cuinhungpro

niemkieuloveahbu

maygiolinh

cuinhungpro

maygiolinh

dandoh221

maygiolinh

l94

niemkieuloveahbu

lovelycat_handoi95

l94

kuem215

hoanggu95