Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[thuypro94]

Bài 103 : Giải và biện luận theo a để hệ pt [TEX]\left\{ x+y=2a-1 \ (1) \\ x^2+y^2=a^2+2a-3 \ (2)[/TEX] có nghiệm .

Định hướng : Nhận ra hệ có thể biến đổi về dạng Tổng và tích ! Rồi đưa về Viet đảo biện luận

Giải:

[TEX] (2) \Leftrightarrow \ (x+y)^2 -2xy =a^2+2a-3[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \ xy = \frac32 a^2 -3a+2 \ (3)[/TEX]

Từ (1) và (3) \Rightarrow Đặt [TEX]\left{\begin{S = x+y=x+y = 2a-1}\\{P=xy=\frac32 a^2 -3a+2} \ [/TEX]

\Rightarrow S ; P là nghiệm phương trình : [TEX]X^2 -(2a-1) X +\frac32 a^2 -3a+2=0[/TEX]

\Rightarrow [TEX]Ycbt \Leftrightarrow \ S^2 -4P \ge \ 0 [/TEX]

[TEX]Ycbt \Leftrightarrow \ \frac{4-\sqrt2}{2} \le \ a \le \ \frac{4+\sqrt2}{2} [/TEX]

 

[xlovemathx]

Bài 104 : [TEX]\left\{ x^2+2y^2-3xy+x-y=0 \\ x^2-3y+4y^2-1=0[/TEX]

 

[l94]

Bài 104 : [TEX]\left\{ x^2+2y^2-3xy+x-y=0 \\ x^2-3y+4y^2-1=0[/TEX]

định hướng: nhóm pt 1 lại theo ẩn y, tính thấy delta chính phương, tìm nghiệm y theo x rồi thay vào pt 2.
Bài giải:
[tex]2y^2-(3x+1)y+x^2+x=0[/tex]
[tex]\Delta=(x-1)^2[/tex]
[tex]y=x[/tex]
or[tex]y=\frac{1+x}{2}[/tex]
[tex]y=x[/tex] thay vào pt 2 ta được:
[tex]x^2-3x-4x^2-1=0 \Leftrightarrow 3x^2+3x+1=0[/tex] (vô nghiệm)
[tex]y=\frac{1+x}{2} \Rightarrow x=2y-1[/tex]
[tex]4y^2+1-4y+4y^2-3y-1=0[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 8y^2-7y=0 \Leftrightarrow y=0 or y=\frac{7}{8}[/tex]
nghiệm: (-1;0) ;(3/4;7/8)

 

[duylinh1811]

Bài 105: Giải hệ [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 \\ x^2+2xy=6x+6 \end{array} \right.[/tex]

 

[hocmai.toanhoc]

Bài 105: Giải hệ [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 \\ x^2+2xy=6x+6 \end{array} \right.[/tex]

Chào em!
Để anh giúp em tìm hướng giải bài này nhé!

 

[duynhan1]

Bài 105: Giải hệ [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 \\ x^2+2xy=6x+6 \end{array} \right. (1) [/tex]

Định hướng: Dễ nhận thấy [TEX]VT(1) = (x^2+xy)^2[/TEX], nên ta sẽ biến đổi (2) để có [TEX]x^2+xy[/TEX] rồi đặt ẩn phụ cho gọn hệ phương trình. Do đó ta sẽ cộng x^2 vào 2 vế của phương trình (2).
Bài giải:
[TEX](1) \Leftrightarrow \left{ (x^2+xy)^2 =2x+9 \\ 2(x^2+xy) = x^2+6x+6 \right. [/TEX]
Đăt [TEX]\left{ u = x^2 + xy \\ v =x [/TEX], ta có:
[TEX]\left{ u^2 = 2v+9 (2) \\ 2u = v^2 + 6v + 6 (3) \right. \\ \Rightarrow (u+1)^2 = (v+4)^2 \\ \Leftrightarrow \left[ u +1 = v+ 4 \\ u+1 = -v-4 \right. \\ \Leftrightarrow \left[ u= v+3 \\ u=-v-5[/TEX]
Trường hợp 1: [TEX]u=v+3[/TEX], thay vào (2) ta có:
[TEX](v+3)^2 = 2v+9 \\ \Leftrightarrow \left[ v=0 \\ v = -4 \right. [/TEX]

• [TEX]v=0 \Rightarrow u=3 \Rightarrow \left{ x=0 \\ x^2+xy=0 \right. (vo\ nghiem)[/TEX]
• [TEX]v=-4 \Rightarrow u=-1 \Rightarrow \left{ x = - 4 \\ x^2 + xy = -1 \right. \Leftrightarrow \left{ x = -4 \\ y = \frac{17}{4} \right.[/TEX]

Trường hợp 2: [TEX]u = -v-5[/TEX], thay vào (2) ta có:
[TEX](v+5)^2 = 2v + 9 \\ \Leftrightarrow v = -4 (da\ xet) [/TEX]
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX]\left{ x = -4 \\ y = \frac{17}{4} [/TEX]

 

[nguyenxuanhieu_ctk7]

...

Bài 106: Giải phương trình
[TEX](3x+1) \sqrt{2{x}^{2}-1}=5{x}^{2}+\frac{3}{2}x-3[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 106: Giải phương trình
[TEX](3x+1) \sqrt{2{x}^{2}-1}=5{x}^{2}+\frac{3}{2}x-3 \ (1)[/TEX]

Định hướng: Quy đồng cho dễ làm.
Đặt [TEX]t= 2x^2 - 1[/TEX], và thế [TEX]t^2 = 2x^2-1[/TEX]( chủ yếu là mò lần lượt t^2, 2t^2, 3t^2, 4t^2) đến khi nào lập được delta là số chính phương.
Bài làm:
Điều kiện: [TEX]2x^2 -1 \ge 0 (*)[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow 10x^2 + 3x - 6 - 2(3x+1)\sqrt{2x^2-1} = 0 [/TEX]
Đặt [TEX]t=\sqrt{2x^2-1} \ge 0 \Rightarrow t^2 = 2x^2 - 1[/TEX], thay vào phương trình ta có:
[TEX]4t^2 - 2(3x+1)t + 2x^2 + 3x - 2 = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2t - x - 2)(2t - 2x + 1) = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ x+2 = 2t \\ 2x -1 = 2t [/TEX]

• Trường hợp 1: [TEX]x+2 = 2t [/TEX].Ta có:

[TEX]x+2 = 2 \sqrt{2x^2 - 1} \\ \Leftrightarrow \left{ x+2 \ge 0 \\ (x+2)^2 = 4(2x^2 -1) \right. \\ \Leftrightarrow x = \frac{2(1 \pm \sqrt{15})}{7} \ (thoa (*))[/TEX] ​

• Trường hợp 2: [TEX]2x-1 = 2t[/TEX]. Ta có:

[TEX]2x-1= 2 \sqrt{2x^2-1} \\ \Leftrightarrow \left{ 2x -1 \ge 0 \\ (2x-1)^2 = 4(2x^2-1) \right. \\ \Leftrightarrow x= \frac{\sqrt{6}-1}{2} \ (thoa (*))[/TEX]
​

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ x = \frac{2(1 \pm \sqrt{15})}{7} \\ x= \frac{\sqrt{6}-1}{2} \right.[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

Bài 51:
[TEX]\left{\begin2x^2+x-\frac{1}{y}=2\\y-y^2x-2y^2=-2[/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow x=\frac{1}{y}-2+\frac{2}{y^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (1) \Leftrightarrow (\frac{1}{y}-2+\frac{2}{y^2})^2+\frac{1}{y^2}-2=0[/TEX]
[TEX]t=\frac{1}{y} \Rightarrow (t^2-1)(2t^2+2t-1)=0[/TEX]

 

[nguyenxuanhieu_ctk7]

Anh duynhan1 cho em hỏi 1 chút, anh dùng thủ thuật nào mà có thể biến đổi bước trên về (2t-x-2)(2t-2x+1).

Bài 107: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình [TEX](m-2)(1+\sqrt{{x}^{2}+1})={x}^{2}-m[/TEX] có nghiệm.

 

[langtu_117]

[TEX]4t^2 - 2(3x+1)t + 2x^2 + 3x - 2 = 0 [/TEX] (*)
[TEX]\Leftrightarrow (2t - x - 2)(2t - 2x + 1) = 0 [/TEX]

Anh duynhan1 cho em hỏi 1 chút, anh dùng thủ thuật nào mà có thể biến đổi bước trên về (2t-x-2)(2t-2x+1).

@nguyenxuanhieu_ctk7: Coi phương trình (*) là phương trình bậc 2 ẩn [TEX]t[/TEX] thì ta có:
[TEX]\Delta =[-2(3x+1)]^2-4.4.(2x^2+3x-2)=4(x-3)^2\\\Rightarrow t=\frac{2(3x+1)\pm \sqrt{\Delta}}{2.4}[/TEX]

 

[myhien_1710]

Bài 108: Giải hệ phương trình :
[tex]\left\{ \begin{array}{l} y^2+(4x-1)^2 =\sqrt[3]{4x(8x+1)} \\ 40x^2+x =y \sqrt{14x-1} \end{array} \right.[/tex]

 

[duynhan1]

Bài 108: Giải hệ phương trình :
[tex]\left\{ \begin{array}{l} y^2+(4x-1)^2 =\sqrt[3]{4x(8x+1)} \\ 40x^2+x =y \sqrt{14x-1} \end{array} \right.[/tex]

Định hướng: Vế trái của (1) khiến ta nghĩ đến 1 đánh giá bằng BĐT, nhưng ta lại chưa biết dấu "=" xảy ra khi nào?
Từ phương trình (2) thay [TEX]y = \frac{40x^2+x}{\sqrt{14x-1}}[/TEX] vào phương trình (1), sử dụng chức năng SOLVE của máy tính ta tính được nghiệm [TEX]x=\frac18[/TEX]

Đã biết dấu "=" nên ta Co-si cho VT(1) như sau:
[TEX](8x+1).16x.2 \le \left( \frac{8x+1+16x+2}{3} \right)^3 \\ \Leftrightarrow 2 \sqrt[3]{4x(8x+1)} \le 8x+1[/TEX]
Như vậy ta đã có:
[TEX]\red 2y^2 + 2(4x-1)^2 = 2\sqrt[3]{4x(8x+1)} \le 8x+1 [/TEX]
Bây giờ ta phải xử lý (2) như thế nào đây

.
Ta chú ý là ta đã dự đoán [TEX]x=\frac18[/TEX], nên ta thử thay vào (2) xem được y bằng bao nhiêu, thay vào ta được [TEX]y = \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX].

Sao nó bằng y [TEX]\sqrt{14x-1}[/TEX] thế nhỉ

Co-si thôi

[TEX]40x^2 + x = y \sqrt{14x-1} \le \frac12( y^2 + 14x-1) [/TEX]
[tex]\red \Leftrightarrow y^2 \ge 80x^2 - 12 x + 1[/tex]
Tóm lại ta đã có:
[TEX]\left{ 2y^2 \le 8x+1 - 2(4x-1)^2 \\ y^2 \ge 80x^2-12x+1[/TEX]
Từ đó ta suy ra:
[TEX]8x+1- 2(4x-1)^2 \ge 2(80x^2-12x+1) \\ \Leftrightarrow(8x-1)^2 \le 0 \\ \Leftrightarrow x= \frac18 [/TEX]
Vậy là ta đã thành công!

Bài giải:
Điều kiện: [TEX]x \ge \frac{1}{14}[/TEX]
Từ phương trình (1), áp dụng BĐT Cô-si ta có:
[TEX]y^2 + (4x-1)^2 = \frac12 \sqrt[3]{16x.(8x+1).2} \le \frac12 ( 8x + 1) \\ \Leftrightarrow y^2 \le -(4x-1)^2 + \frac12(8x+1) \ \ (3) [/TEX]
Do [TEX]x>0[/TEX] nên từ phương trình (2) suy ra [TEX]y>0[/TEX].
Áp dụng BĐT Cô-si cho VP của phương trình (2) ta có:
[TEX]40x^2+x = \frac12 . 2.y.\sqrt{14-x} \le \frac12 ( y^2 + 14-x) \\ \Leftrightarrow y^2 \ge 80x^2 +3x-14 \ \ (4)[/TEX]
Từ (3) và (4) ta có:
[TEX]{-(4x-1)^2 + \frac12(8x+1) \ge 80x^2 + 3x-14 \\ \Leftrightarrow (8x-1)^2 \le 0 \\ \Leftrightarrow x = \frac18[/TEX].
Thay [TEX]x=\frac18[/TEX] vào hệ phương trình ta có:
[TEX]y = \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX].
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left{ x = \frac18 \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX]

 

[nguyenxuanhieu_ctk7]

Mình cũng góp vui mấy bài
Bài 109: Giải phương trình

[TEX]2{x}^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0[/TEX]​

Bài 110: Giải phương trình

[TEX]\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2[/TEX]​

 

[duynhan1]

Mình cũng góp vui mấy bài
Bài 109: Giải phương trình

[TEX]2{x}^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0[/TEX]​

​

Định hướng: Theo kinh nghiệm, ta có:

• [TEX]ax^3 + bx^2 + cx + d = e\sqrt[3]{fx+g}[/TEX] : Đặt ẩn phụ đưa về đối xứng hoặc xét hàm đặc trưng.
• [TEX]ax^2 + bx + c = d \sqrt{ex+g} [/TEX]: Đánh giá VT>=VP.
  • Đối với bài này nhẩm được nghiệm x=2 nên đánh giá như sau.
    

Bài làm:
Do [TEX]2x^2 - 11 x + 21 \ge 0 \forall x \in R \Rightarrow x>1[/TEX].
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
[TEX]3\sqrt[3]{2.2(x-1)} \le x-1 + 2 + 2 = x+3[/TEX]
Xét hiệu:
[TEX](2x^2-11x+21) - (x+3) = 2 ( x - 3)^2 \ge 0[/TEX]
Do đó ta có:
[TEX]VT \ge x+3 \ge 3\sqrt[3]{4x-4} \forall x >1[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
[TEX]\left{ (x-3)^2 = 0 \\ x-1=2 \right. \Leftrightarrow x=3[/TEX]
Kết luận: [TEX]S=\{ 3 \}[/TEX]

Topic dạo này trầm nhỉ, không có ai làm ^_^

 

[tuyn]

Bài 110: Giải phương trình

[TEX]\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2[/TEX]​

Định hướng: Thấy bình phương nên biểu thức đơn giản hơn.Nhẩm nghiệm x=3 \Rightarrow dùng PP nhân liên hợp
ĐK: [TEX]2 \leq x \leq \frac{10}{3}[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow 4- 3\sqrt{10-3x}=(x-2)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [(x-2)^2-1]+3(1- \sqrt{10-3x})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-3)(x-1)+ \frac{9(x-3)}{1+ \sqrt{10-3x}}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=3,hoac:x-1+ \frac{9}{1+ \sqrt{10-3x}}=0(1)[/TEX]
Do x \geq 2 \Rightarrow VT(1) > 0 \Rightarrow (1) vô nghiệm
Vậy PT có nghiệm x=3

 

[nguyenxuanhieu_ctk7]

Bài 111: Giải phương trình
[TEX]\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x+1})+2=3\sqrt{1-x}(\sqrt{x+1}+1)[/TEX]

Bài 112: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

[TEX]\left{ mxy + \sqrt{1-{y}^{2}}=8y \\ {y}^{2}{(x-3)}^{2}+(\sqrt{1-{y}^{2}}-my{)}^{2}=16{y}^{2}[/TEX]

 

[myhien_1710]

Bài 113: Giải phương trình :
[TEX]\sqrt[3]{x+6}+x^2 = 7 - \sqrt{x-1}[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 113: Giải phương trình :
[TEX]\sqrt[3]{x+6}+x^2 = 7 - \sqrt{x-1}[/TEX]

Định hướng: chuyển vế thì thấy VT là hàm số đồng biến.Do vậy PT có nghiệm duy nhất
Lời giải:
ĐK: x \geq 1
[TEX]PT \Leftrightarrow f(x)=x^2+ \sqrt{x-1}+ \sqrt[3]{x+6}=7[/TEX]
Ta thấy f(2)=7 \Rightarrow x=2 là nghiệm của PT
[TEX]f'(x)=2x+ \frac{1}{2 \sqrt{x-1}}+ \frac{1}{3 \sqrt[3]{(x+6)^2}} > 0 \forall x > 1[/TEX]
\Rightarrow f(x) đồng biến \forall x \geq 1
Vậy PT có nghiệm duy nhất x=2

 

[myhien_1710]

Bài 114 :Giải hệ phương trinh:
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} \frac{5(x+y)}{x+y+6xy}+\frac{6(x+z)}{x+z+5xz} =4 \\ \frac{6(z+y)}{z+y+4zy} +\frac{4(x+y)}{x+y+6xy} =5 \\ \frac{4(x+z)}{x+z+5xz} + \frac{5(y+z)}{y+z+4yz} =6 \end{array} \right[/TEX]