Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi duynhan1, 4 Tháng chín 2011.

Lượt xem: 47,143

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. pepun.dk

    pepun.dk Guest

    ĐH:Từ pt (2) có thể biến đổi thành dạng bình phương [TEX](x-1)^2[/TEX] và [TEX](y-2)^2[/TEX]. Từ đó ta sẽ chuyển hệ phù hợp

    Đặt [TEX]\left\{x-1=a\\y-2=b[/TEX] Hệ trở thành:

    [TEX]\left\{a^2+b^2=38\\ab-a-b=21 \right. \Leftrightarrow \left\{(a+b)^2-2ab=38\\ab-(a+b)=21[/TEX] (II)

    Đặt [TEX]\left\{S=a+b\\P=ab[/TEX] Đk:[TEX]S^2\geq4P[/TEX] Hệ (II) trở thành:

    [TEX]\left\{S^2-2P=38\\P-S=21 \right. \Leftrightarrow \left\[{{S=10,P=31\(loai)}\\{S=-8,P=13\(t/m)}}[/TEX]

    Khi đó a,b là nghiệm phương trình:
    [TEX]X^2+8X+13=0 \Leftrightarrow \left\[X=-4+\sqrt{3}\\X=-4-\sqrt{3}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \left\[{{{\left\{x=-3+\sqrt{3}\\y=-2-\sqrt{3}}}\\{\left\{{x=-3-\sqrt{3}\\y=-2+\sqrt{3}}}}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng chín 2011
  2. tuyn

    tuyn Guest

    Định hướng:Dùng PP hàm số
    Lời giải:
    ĐK:x \geq 0,y \geq 5
    [TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{(x+5)-1}+\sqrt{(x+5)-3}+\sqrt{(x+5)-5}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3}+\sqrt{y-5}(3)[/TEX]
    xét hàm [TEX]f(t)=\sqrt{t-1}+\sqrt{t-3}+\sqrt{t-5}[/TEX]
    [TEX]f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}+\frac{1}{2\sqrt{t-3}}+\frac{1}{2\sqrt{t-5}} > 0 \forall t > 5[/TEX]
    \Rightarrow Hàm số đồng biến trên [5;+\infty)
    [TEX]PT (3) \Leftrightarrow f(x+5)=f(y) \Leftrightarrow y=x+5[/TEX]
    Thế vào PT (2) ta được:
    [TEX]2x^2+12x-14=0 \Leftrightarrow x=1 (TM),x=-7(loai)[/TEX]
    Vậy HPT có nghiệm:(x;y)=(1;6)
     
  3. pepun.dk

    pepun.dk Guest

    Bài 22 : [TEX]\left\{x^2+3y=9(1)\\y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0(2)[/TEX]

    ĐH: Pt sau bậc cao nhât là bậc 4,Ta sẽ hạ dần bằng cách biến về dạng bình phương
    (2)\Leftrightarrow [TEX][y^2+2(2x-3)]^2-16x^2-48y+119=0[/TEX]
    Cộng từng vế: 16.VT(1)+VT(2)=144 \Leftrightarrow [TEX] (y^2+4x-6)^2=25 \Leftrightarrow \left[y^2+4x=11\\y^2+4x=1[/TEX]

    TH1:

    [TEX]\left\{x^2+3y=9(3)\\y^2+4x=11(4)[/TEX]

    Cộng từng vế: 2.VT(3)-VT(4)=7\Leftrightarrow [TEX]2(x-1)^2=(y-3)^2 \Leftrightarrow \left\[y=\sqrt{2}x+3-\sqrt{2}\\y=-\sqrt{2}x+3+\sqrt{2}[/TEX]


    Với [TEX]y=\sqrt{2}x+3-\sqrt{2}[/TEX] .Thế vào (3) ta đk: [TEX]x^2+3\sqrt{2}x-3\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \left\[{x=\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{18+12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{36+24\sqrt{2}}}{2}}\\{x=\frac{-3\sqrt{2}-\sqrt{18+12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{-2\sqrt{2}-\sqrt{36+24\sqrt{2}}}{2}}[/TEX]

    Với [TEX]y=-\sqrt{2}x+3+\sqrt{2}[/TEX] .Thế vào (3) ta đk: [TEX]x^2-3\sqrt{2}x+3\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \left\[{x=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{18-12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{36-24\sqrt{2}}}{2}}\\{x=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{18-12\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{36-24\sqrt{2}}}{2}}[/TEX]
    TH2:

    [TEX]\left\{x^2+3y=9(5)\\y^2+4x=1(6)[/TEX]

    MÌnh ko giải hệ này dk
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng chín 2011
  4. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Bài 24: Giải pt

    [TEX](x^2+2) \sqrt{x^2-1}=4[/TEX]
     
  5. thuypro94

    thuypro94 Guest

    Định hướng: Thấy căn, khá đơn giản \Rightarrow Nhè căn mà đặt

    Giải : Đk : [TEX]\left[\begin{x \ge \ 1}\\{x \le \ - 1} [/TEX]

    Đặt [TEX]\sqrt{x^2 -1} = t[/TEX] (t \geq 0)

    \Rightarrow Pt đối với t :

    [TEX](t^2 + 3) t = 4[/TEX]

    \Leftrightarrow[TEX]t^3 + 3t -4 = 0[/TEX]

    \Leftrightarrow t =1 (T/m)

    \Rightarrow [TEX]\sqrt{x^2 -1} = 1[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{x = \sqrt2 \ ( T/m) }\\{x = - \sqrt2 \ ( T/m)} [/TEX]
     
  6. tuyn

    tuyn Guest

    Định hướng:Dùng PP miền giá trị
    [TEX]DK: 0 \leq x \leq 6[/TEX]
    +)Xét hàm số:
    [TEX]f(x)=\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+\sqrt[4]{6-x}+\sqrt{6-x},x \in [0;6][/TEX]
    [TEX]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x)^3}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{2\sqrt[4]{(6-x)^3}}-\frac{1}{\sqrt{6-x}}=0[/TEX]
    [TEX]f'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt[4]{(2x)^3}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{(6-x)^3}}+\frac{1}{\sqrt{6-x}}(1)[/TEX]
    Xét hàm số [TEX]g(t)=\frac{t^3}{2}+t^2, t > 0[/TEX]
    [TEX]g'(t)=\frac{3}{2}t^2+2t > 0 \forall t > 0[/TEX]
    \Rightarrow Hàm số đồng biến
    [TEX]PT (1) \Leftrightarrow g(\frac{1}{\sqrt[4]{2x}})=g(\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}) \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{2x}}=\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}} \Leftrightarrow x=4[/TEX]
    [TEX]f'(x) > 0 \Leftrightarrow g(\frac{1}{\sqrt[4]{2x}}) > g(\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}) \Leftrightarrow x < 4[/TEX]
    [TEX]f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 4[/TEX]
    [TEX]f(4)=\sqrt[4]{8}+\sqrt{8}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt{2},f(0)=2\sqrt[4]{6}+\sqrt{6},f(6)=2\sqrt[4]{6}+\sqrt{12}[/TEX]
    Lập BBT
    Từ BBT \Rightarrow Để PT ban đầu có 2 nghiệm [TEX] \Leftrightarrow 2\sqrt[4]{6}+\sqrt{12} \leq m < \sqrt[4]{8}+\sqrt{8}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt{2}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng chín 2011
  7. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Bài 25: Giải pt:

    [TEX]51 \sqrt{x-2} =3x^2 -58x +110[/TEX]
     
  8. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Định hướng: Thường thi ta sẽ nghĩ đặt ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng, nhưng chắc có lẽ dạng này phải đưa về hệ đối xứng không hoàn toàn, nên ta sẽ đặt [TEX]t=\sqrt{x-2}[/TEX] để đưa về phương trình bậc 4 rồi dùng pp hệ số bất định cho chắc.

    Bài giải:
    Điều kiện:
    [TEX]x \ge 2[/TEX]
    Đặt [TEX]t = \sqrt{x-2} \ (t \ge 0)[/TEX]. Ta có:
    [TEX]3t^4 - 46t^2 - 51 t + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow ( 3t^2 + 9t-1) ( t^2 -3 t -6) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ t = \frac16 ( -9 + \sqrt{93}) \ (thoa)\\ t = \frac16 ( - 9 - \sqrt{93}) (loai) \\ t = \frac12 ( 3 + \sqrt{33} ) (thoa) \\ t = \frac12( 3 - \sqrt{33})\ (loai) [/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow\left[ x= 2 + \(\frac16 ( -9 + \sqrt{93} ) \)^2 \\ x= 2+ \( \frac12 ( 3 + \sqrt{33} ) \)^2 \right. \\ \Leftrightarrow \left[ x = \frac{41-3\sqrt{93}}{6} \\ x = \frac{35+3\sqrt{33}}{2} [/TEX]
     
  9. Bài 26: Giải phương trình.
    [TEX]\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0[/TEX]
    .
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng chín 2011
  10. tuyn

    tuyn Guest

    [TEX]DK: x \geq \frac{1}{2}[/TEX]
    Định hướng:Dùng PP đặt ẩn phụ
    Lời giải:
    [TEX]PT \Leftrightarrow 4\sqrt{2x-1}+4x^2-12x+4=0[/TEX]
    [TEX]4\sqrt{2x-1}+(2x-1)^2-4(2x-1)-1=0[/TEX]
    [TEX]t=\sqrt{2x-1} \geq 0 \Rightarrow t^4-4t^2+4t-1=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (t-1)^2(t^2+2t-1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{t=1(TM)}\\{t=-1+\sqrt{2}(TM)}\\{t=-1-\sqrt{2}(loai)}[/TEX]
    [TEX]t=1 \Rightarrow x=1(TM)[/TEX]
    [TEX]t=-1+\sqrt{2} \Rightarrow x=2-\sqrt{2}(TM)[/TEX]
    Vậy PT có 2 nghiệm:[TEX]x=1,x=2-\sqrt{2}[/TEX]
     
  11. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Định hướng: Số khá nhỏ, mò bình phương cho nhanh.
    Bài giải:
    Điều kiện:
    [TEX]x \ge \frac12[/TEX]
    [TEX]4x^2 - 4 x + 1 =4(2x-1) - 4 \sqrt{2x-1} + 1 \\ \Leftrightarrow (2x-1)^2 = ( 2 \sqrt{2x-1} - 1)^2 \\ \Leftrightarrow \left[x=\sqrt{2x-1} \\ x = 1- \sqrt{2x-1} [/TEX]
    Trường hợp 1:
    [TEX]x= \sqrt{2x-1} \\ \Leftrightarrow \left{ x \ge 0 \\ (x-1)^2 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow x= 1 (thoa\ x \ge \frac12) [/TEX]
    Trường hợp 2:
    [TEX]\sqrt{2x-1} = 1 - x \\ \Leftrightarrow \left{ 1 - x \ge 0 \\ x^2- 4x + 2 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt{2} (thoa\ x \ge \frac12) [/TEX]

    Kết luận: Nghiệm của phương trình là:
    [tex] \left[ x = 1 \\ x = 2 -\sqrt{2} [/tex]
     
  12. bananamiss

    bananamiss Guest

    Bài 27:
    [TEX]\left{ x^4+y^4=2 \\ x^3-2x^2+2x=y^2[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng chín 2011
  13. tuyn

    tuyn Guest

    Định hướng:
    Lời giải:
    Từ PT thứ 2 của hệ \Rightarrow x > 0
    [TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{(x^2-1)(x^2+1)=(1-y^2)(1+y^2)(1)}\\{(x-1)(x^2-x+1)=y^2-1(2)}[/TEX]
    Xét các TH sau:
    [TEX]TH 1:x > 1[/TEX]
    Từ PT (2) \Rightarrow [TEX]y^2 >1 \Leftrightarrow 1-y^2 < 0[/TEX]
    Từ PT (1) \Rightarrow [TEX]x^2-1 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1[/TEX]
    \Rightarrow HPT VN
    [TEX]TH 2:0 \leq x < 1[/TEX]
    Từ PT (2) \Rightarrow [TEX]y^2-1 < 0 \Leftrightarrow 1-y^2 > 0[/TEX]
    Từ PT (1) \Rightarrow [TEX]x^2-1 > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty;-1)\bigcup_{}^{}(1;+\infty)[/TEX]
    \Rightarrow HPTVN
    [TEX]\Rightarrow x=1 \Rightarrow y^2=1 \Leftrightarrow y=1,-1[/TEX]
    Vậy HPT có nghiệm:(x;y)=(1;1),(1;-1)
     
  14. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Ta suy ra:
    [TEX](x+1)(x-1)^2(x^2+1) (x^2-x+1) = -(y^2-1)^2( y^2+1) [/TEX]
    Nhận thấy : [TEX]VT \ge 0,\ VP \le 0 [/TEX]
    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
    [TEX]\left{ x = 1 \\ y^2 = 1 \right. \Leftrightarrow \left[ \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 1 \\ y = -1 \right. [/TEX]
    Thử lại ta có : (1;1) và (1;-1) là 2 nghiệm của hệ phương trình.

    Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
    [TEX] \left[ \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 1 \\ y = -1 \right. [/TEX]
     
  15. destinyx4

    destinyx4 Guest

    Bài này dùng phương pháp hệ số bất định như thế nào anh duynhân???
    để ra dc cái phương trình tích=0????/:)
     
  16. duynhan1

    duynhan1 Guest

    [TEX]3t^4 - 46t^2 - 51t + 6 = 0 [/TEX]
    Chú ý: ta chỉ phân tích được khi hệ số của các tam thức bậc 2 nguyên còn không nguyên thì chịu ;)
    Giả sử có thể phân tích VT thành 2 tam thức bậc 2 thì nó sẽ có dạng:
    [TEX]( 3t^2 + at + b) ( t^2 + ct + d) = 0 [/TEX]
    Mở ra và đồng nhất hệ số của [TEX]t^3,\ t^2,\ t,\ 6[/TEX] thì ta có:
    [TEX]\left{ a+ 3c = 0 \\ b+3d + ac = - 46 \\ ad + bc = - 51 \\ bd = 6[/TEX]
    Nếu bình thường ta sẽ lấy (1), (3), (4) để giải hệ bằng cách thử b=1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 ( các ước hệ số tự do) để suy ra b, d, a, c rồi thử lại với (2) cái nào đúng thì ta lấy.
    Nhưng ở đây ta sẽ thế và kết hợp với máy tính để sử dụng cho nhanh.
    [TEX]\left{ a = - 3c \\ c(b-3d) = - 51 \\ b+3d + ac = b+ 3d - 3(\frac{51}{3d-b})^2 = - 46 (*)(*)(*) [/TEX]
    Tới đây ta sẽ dùng chức năng calc nhập lần lượt các giá trị của b và d đến khi nào [TEX]\red b+ 3d - 3(\frac{51}{3d-b})^2[/TEX] =-46 :)
    và thử đến giá trị b=-1 và d=-6 thì thỏa từ đó suy ra a=9 và c=-3

    Và ta nhận được kết quả như bài trên.
    P/s: Bài viết vội quá nên còn sơ sài nhưng chắc cũng hiểu được nhỉ ;)

    A viết rõ hơn tí đi được ko anh , cái chỗ mở ra và đồng nhất hệ số ấy !
    Cái chỗ đó nó sao em!!
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng chín 2011
  17. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Bài 28: Giải phương trình:
    [TEX]\sqrt{1-x} = 2 x^2 - 1+ 2x \sqrt{1-x^2}[/TEX]​

    Bài 29: Giải hệ phương trình:
    [TEX]\left\{ ( 1-\frac{12}{y+3x} )\sqrt{x} = 2 \\ ( 1+ \frac{12}{y+3x} )\sqrt{y} = 6[/TEX]​

    Bài 30: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
    [tex] \left{ a^3 = 3(b^2+c^2) - 25 \\ b^3 = 3(c^2+a^2) - 25 \\ c^3 = 3(a^2+b^2) - 25 [/tex]​
    Tính giá trị [tex]abc[/tex].
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng chín 2011
  18. tuyn

    tuyn Guest


    Định hướng:Do đk | x | \leq 1 \Rightarrow sử dụng Lượng giác hóa
    Lời giải:
    Đặt [TEX]x=sint,t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/TEX]
    [TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt{1-sint}=2sin^2t-1+2sint\sqrt{1-sin^2t}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1-sint}=sin2t-cos2t \Leftrightarrow \left{\begin{sin2t-cos2t \geq 0(1)}\\{1-sint=(sin2t-cos2t)^2(2)}[/TEX]
    [TEX](2) \Leftrightarrow 1-sint=1-sin4t \Leftrightarrow sint=sin4t \Leftrightarrow \left[\begin{t=\frac{k2\pi}{3}}\\{t=\frac{\pi}{5}+\frac{k2\pi}{5}}[/TEX]
    a)Với [TEX]t=\frac{k2\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \Rightarrow k=0[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow t=0 (TM (1)) \Rightarrow x=0[/TEX]
    b)Với [TEX]t=\frac{\pi}{5}+\frac{k2\pi}{5}} \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/TEX]
    [TEX]\Rightarrow k=0 vs k=-1[/TEX]
    [TEX]k=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{5}(TM (1)) \Rightarrow x=sin(\frac{\pi}{5})[/TEX]
    [TEX]k=-1 \Rightarrow t=-\frac{\pi}{5}(loai)[/TEX]
    Vậy PT có 2 nghiệm:[TEX]x=0,x= sin(\frac{2\pi}{5})[/TEX]​
     
  19. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Định hướng: làm rồi nên biết ^^
    Giải:
    Điều kiện:
    [TEX]\left{ x,\ y \ge 0 \\ y+3x \not= 0 [/TEX]

    • [TEX]x=0[/TEX] hoặc [TEX]y=0[/TEX], hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
    • [TEX]x\not= 0 [/TEX] và [TEX]y \not= 0 [/TEX] thì ta có hệ đã cho tương đương với:
      [TEX]\left{ 2 = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt{y}} \\ \frac{-24}{y+3x} = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{6}{\sqrt{y}} \right. \\\Rightarrow \frac{-12}{y+3x} = \frac{1}{x} - \frac{9}{y} \\ \Leftrightarrow -12xy = (y-9x)(y+3x) \Leftrightarrow y^2 -27x^2 + 6xy=0 \Leftrightarrow (y-3x)(y+9x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{ y=3x \\ y=-9x ( \ loai) \right. \[/TEX]

      Với [TEX] y=3x [/TEX] ta có:

      [TEX] 2= \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt{3}.\sqrt{x}} \Leftrightarrow \sqrt{x}=1 + \sqrt{3} \Leftrightarrow x= 4 + 2\sqrt{3} \rightarrow y= 12 + 6\sqrt{3} [/TEX]

      Vậy hệ có nghiệm [TEX] (x;y)= (4 + 2\sqrt{3}; \ 12 + 6\sqrt{3})[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng chín 2011
  20. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Bài 31: giải pt:

    [TEX] \sqrt{60 -24x -5x^2}= x^2 +5x-10[/TEX]

    Bài 32:
    giải pt:

    [TEX]\sqrt{x(x^2-1)}= 2x^2-x-2[/TEX]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->