Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi duynhan1, 4 Tháng chín 2011.

Lượt xem: 47,188

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. tuyn

    tuyn Guest

    Cách khác:
    Áp dụng BĐT Cauchy cho PT (2):
    [TEX]x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq 4[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow PT (2) \Leftrightarrow x^2=y^2=\frac{1}{x^2}=\frac{1}{y^2}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow nghiem:(x;y)=(1;1)[/TEX]
     
  2. tuyn

    tuyn Guest

    Định hướng:chia 2 vế của PT (1) cho x,PT (2) cho [TEX]x^2[/TEX]
    Lời giải:
    +)x=0 \Rightarrow y=0 là nghiệm của HPT
    [TEX]+) x \not= 0[/TEX]
    [TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{(x+\frac{y}{x})-2y+1=0}\\{(x^2+\frac{y^2}{x^2})-4y+3=0}[/TEX]
    Đặt [TEX]a=x+\frac{y}{x} \Rightarrow a^2=x^2+2y+\frac{y^2}{x^2}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \left{\begin{a-2y+1=0}\\{a^2-6y+3=0}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow (2y-1)^2-6y+3=0 \Leftrightarrow 4y^2-10y+4=0 \Leftrightarrow \left[\begin{y=2}\\{y=\frac{1}{2}}[/TEX]
    Với[TEX]y=2 \Rightarrow a=3 \Rightarrow 3=x+\frac{2}{x} \Leftrightarrow x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=1,2[/TEX]
    Với [TEX]y=\frac{1}{2} \Rightarrow a=0 \Rightarrow 0=x+\frac{1}{2x} \Leftrightarrow VN[/TEX]
    Vậy HPT có nghiệm: (x;y)=(1;2),(2;2)
    Định hướng:chia 2 vế PT (1),(2) cho y
    Lời giải:
    +)y=0, hệ phương trình vô nghiệm.
    [TEX]+)y \not= 0[/TEX]
    [TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{\frac{x^2+1}{y}+(x+y)=4}\\{(x+y)^2=2. \frac{x^2+1}{y}+7}[/TEX]
    Đặt:[TEX]\left{\begin{a=\frac{x^2+1}{y}}\\{b=x+y}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \left{\begin{a+b=4}\\{b^2=2a+7}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow b^2=2(4-b)+7 \Leftrightarrow b^2+2b-15=0 \Leftrightarrow \left[\begin{b=3}\\{b=-5}[/TEX]
    Với [TEX]b=3 \Rightarrow a=1 \Rightarrow \left{\begin{x^2+1=y}\\{x+y=3}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow (x;y)=(1;2),(-2;5)[/TEX]
    Với [TEX]b=-5 \Rightarrow a=9 \Rightarrow \left{\begin{x^2+1=9y}\\{x+y=-5}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow VN[/TEX]
    vậy HPT có nghiệm: [tex](x;y) \in \{ (1;2),\ (-2;5) \}[/tex]

     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2011
  3. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Bài 12: Giải bất phương trình:
    [TEX]\sqrt{x^3 + 3x^2 + 7x + 5 } > 3 + \sqrt{ 4- 3x}[/TEX]​
     
  4. tuyn

    tuyn Guest

    Định hướng:sử dụng PP hàm số
    Lời giải:
    ĐK:[TEX] -1 \leq x \leq \frac{4}{3}[/TEX]
    Xét hàm số:
    [TEX]f(x)=\sqrt{x^3+3x^2+7x+5}-3-\sqrt{4-3x}[/TEX]
    [TEX]f'(x)=\frac{3x^2+6x+7}{\sqrt{x^3+3x^2+7x+5}}+\frac{3}{2\sqrt{4-3x}} > 0 \forall x \in[-1;\frac{4}{3})[/TEX]
    \Rightarrow f(x) đồng biến trên [TEX][-1;\frac{4}{3}][/TEX]
    [TEX]+)x > 1\Rightarrow f(x) > f(1)=0[/TEX]
    \Rightarrow x > 1 thoả mãn
    [TEX]+) x \leq 1 \Rightarrow f(x) \leq f(1)=0[/TEX]
    \Rightarrow BPT VN
    Vậy tập nghiệm của BPT: [TEX]1 < x \leq \frac{4}{3}[/TEX]
     
  5. hienzu

    hienzu Guest

    Bài 13: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
    [​IMG].

    Bài 14: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm thực:
    [​IMG].
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2011
  6. pepun.dk

    pepun.dk Guest

    13. Đk x\geq1

    Chia cả 2 vế cho [TEX]\sqrt{x+1}[/TEX]

    [TEX]3.\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+m=2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}[/TEX]

    \Leftrightarrow[TEX]{-3.\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}+{2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}}[/TEX][TEX]=m[/TEX] (1)

    Đặt [TEX]t=\sqrt[4]{x-1}{x+1}[/TEX] Đk: 0\leqt<1

    Xét hàm : [TEX]y=-3t^2+2t[/TEX] (C)

    TXĐ: D=[0;1)
    [TEX]y'=-6t+2=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}[/TEX]

    y(0)=0; [TEX]y(\frac{1}{3})=\frac{1}{3}[/TEX] ; y(1)=-1

    Từ đó ta có: -1<Y\leq[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]

    \Rightarrowphương trình sau có nghiệm \Leftrightarrow -1<m\leq1/3

    Kl: -1<m [TEX]\leq \frac{1}{3}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2011
  7. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Định hướng: Dễ thấy thay (2) vào (1) là xong!!
    Bài giải:
    Điều kiện:
    [TEX]\left{ xy > 0 \\ x+y \ge 0 \\ x-y \ge 0 \right. \Leftrightarrow x\ge y >0[/TEX]

    [TEX](1) \Leftrightarrow \left{ \sqrt{\frac{20y}{x}} = \sqrt{\frac{16x}{5y}} \\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y } \right. \\ \Leftrightarrow \left{ 2x = 5y \\ \sqrt{8} . \sqrt{2} = \sqrt{ 5y + 2y} + \sqrt{5y - 2y } \right. \\ \Leftrightarrow \left{ y = \frac{16}{(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2}\\ x = \frac{40}{(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2} \right. (thoa\ man\ dieu\ kien\ xac\ dinh)[/TEX]
    Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
    [TEX]\left{ x = \frac{40}{(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2} \\ y = \frac{16}{(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2}[/TEX]
     
  8. Bài 15: Giải hệ phương trình:
    [TEX]\left\{\sqrt{\frac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2011
  9. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Định hướng: Dễ thấy vế phải của phương trình (1) và (2) có dạng liên hợp với nhau nên ta sẽ nhân lại.
    Bài giải:
    Điều kiện:
    [TEX]\left{ xy > 0 \\ x+y \ge 0 \\ x-y \ge 0 \right. \Leftrightarrow x\ge y >0[/TEX]

    Từ hệ ta suy ra:
    [TEX]\sqrt{\frac{20y}{x}} . \sqrt{\frac{16x}{5y}} = ( x+y) - (x-y) \\ \Leftrightarrow y = 4 [/TEX]
    Thay vào phương trình (1) ta có:
    [TEX] \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{x}} = \sqrt{x+4} + \sqrt{x-4}(3) [/TEX]
    Ở phương trình (3) ta có VT đồng biến, còn VP nghịch biến do đó phương trình (3) có nhiều nhất 1 nghiệm.
    Nhận thấy x=5 là 1 nghiệm của 3, do đó x=5 là nghiệm duy nhất của phương trình.
    Thử lại, x=5 và y = 4 là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
    Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
    [TEX]\left{ x = 5 \\ y = 4[/TEX]
     
  10. xlovemathx

    xlovemathx Guest

    Bài 16 : Giải hệ :
    [TEX]\left\{\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2} + x^4(1-2x^2) = y^2 \\ 1+\sqrt{1+(x-y)^2}=x^3(x^3-x+2y^2)[/TEX]
     
  11. bananamiss

    bananamiss Guest

    này, VP của PT(1) phải là [TEX]y^4[/TEX] chứ :-? vì hồi trước tớ có làm 1 bài giống thế này,
    đây,
    Tuy nhiên HPT không vô nghiệm đâu
    Có nghiệm (x;y)=(1;1) đấy

    :)>-:)>-:)>-:)>-:)>-:)>-

    ừ, bài bạn lovemath có nghiệm mà vì có số 3 đầu tiên ý, còn bài bạn tan là số 2 nên vô nghiệm








    ĐH : rắc rối-> đánh giá, hơn nữa, hpt có thể viết lại là [TEX]\left\{ \begin{array}\ sqrt{3+ 2x^2 y -x^4 y^2} + x^4 - 2x^6 - y^4=0\\ \sqrt{1 + (x-y)^2} +1-x^6 +x^4-2x^3y^2=0\end{array}\right.[/TEX], thấy có [TEX]2x^3y^2, \ \ y^4 , \ \ x^6[/TEX] là bình phương và 2 lần tích, ở pt(1) có [TEX] -2x^6-y^4 [/TEX], pt(2) [TEX] -x^4 [/TEX] nên lấy dưới trừ trên

    G

    [TEX](2)-(1) \Rightarrow \sqrt{1 + (x-y)^2} +1-x^6 +x^4-2x^3y^2- \sqrt{3 + 2x^2 y -x^4 y^2} - x^4 + 2x^6 + y^4=0[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1 + (x-y)^2} +1+(x^3-y^2)^2=\sqrt{3 + 2x^2 y -x^4 y^2}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1 + (x-y)^2} +1+(x^3-y^2)^2=\sqrt{4-(x^2y-1)^2}[/TEX]

    dễ thấy

    [TEX]VT \geq 2; VP \leq 2 , "=" \Leftrightarrow \left{ x-y=0 \Leftrightarrow x=y \\ x^2y-1=0 \Leftrightarrow x^3=1 \\ x^3= y^2[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow x=y=1[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng mười một 2011
  12. hienzu

    hienzu Guest

    Bài 17:

    [​IMG]

    :)
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2011
  13. Bài 18: Giải pt
    [TEX]\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}=7\sqrt{2}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng chín 2011

  14. Định hướng
    - Để ý rằng biểu thức trong căn có thể dễ dàng viết thành 1 cái bình phương
    GIẢI

    ĐK: [TEX]x\geq \frac{5}{2}[/TEX]
    Nhân [TEX]\sqrt {2}[/TEX] cho cả 2 vế, ta được
    [TEX](I)\Leftrightarrow \sqrt{2x-5+2.(\sqrt {2x-5})+1}+\sqrt{(2x-5+6.\sqrt {2x-5})+9}=14[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt {2x-5}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt {2x-5}+3)^2}=14[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow |\sqrt {2x-5}+1|+|\sqrt {2x-5}+3|=14[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 2\sqrt {2x-5}+4=14 [/TEX]

    [TEX]\Rightarrow x=15 [/TEX] chọn

     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2011
  15. bài19:giải hpt:
    [TEX]\left\{\sqrt{x+1}+\sqrt{3y^2-1}=4 \\ \sqrt{x+6}+\sqrt{3y^2+4}=6[/TEX]
     
  16. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    đặt [TEX]\left{ x+1 =a \ge 0 \\ 3y^2 -1=b \ge 0 [/TEX]


    [TEX]HE \leftrightarrow \left{ \sqrt{a} + \sqrt{b}=4 \\ \sqrt{a+5}+ \sqrt{b+5}=6 \right. \\\\ \leftrightarrow \left{ a+b +2\sqrt{ab}=16 \\ a+b + 10 +2\sqrt{ab+5(a+b) +25} =36 \right. \\\\ \leftrightarrow \sqrt{ab + 5(a+b) +25}- \sqrt{ab}=5 \\\\ \leftrightarrow \sqrt{ab + 5(16 -2 \sqrt{ab}) +25} =5 +\sqrt{ab} \\\\ \leftrightarrow \sqrt{ab} =4 \leftrightarrow ab = 16[/TEX]

    Vậy, ta có:

    [TEX]\left{ ab =16 \\ a+b = 8 \right. \leftrightarrow \left{ a =4 \\ b= 4 \right. \left{ x=3 \\ \left[\begin{ y = -\sqrt{\frac{5}{3}} \\ y= \sqrt{\frac{5}{3}}[/TEX]
     
  17. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Bài 20: Giải hệ

    [TEX]\left{ \sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}} =x(1+2\sqrt{ 1-y^2}) \\ \frac{1}{\sqrt{ x+1} } +\frac{ 1}{\sqrt{y+1}} = \frac{2}{\sqrt{1+ \sqrt{xy}}[/TEX]
     
  18. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Chúng ta còn 2 bài này:
    Định hướng :
    Đầu tiên ta đặt ẩn phụ để đưa về 1 hệ đơn giản hơn.
    [TEX] \left{ \sqrt{a} + \sqrt{b}=4 \\ \sqrt{a+5}+ \sqrt{b+5}=6 \right.[/TEX]
    Đến đây là 1 dạng rất quen thuộc, ta sẽ cộng trừ 2 phương trình rồi nhân lượng liên hợp rồi đặt ẩn phụ. Ta xét lời giải sau.
    Bài giải:
    Điều kiện: [TEX]\left{ x \ge -1 \\ y^2 \ge \frac13[/TEX]
    Đặt [TEX]\left{ x+1 =a \ge 0 \\ 3y^2 -1=b \ge 0 [/TEX]
    Ta có:
    [TEX](1) \Leftrightarrow \left{ \sqrt{a} + \sqrt{b}=4 \\ \sqrt{a+5}+ \sqrt{b+5}=6 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ \sqrt{a} + \sqrt{a+5} + \sqrt{b} + \sqrt{b+5}=10 \\ \sqrt{a+5}-\sqrt{a} + \sqrt{b+5} - \sqrt{b} =2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ \sqrt{a} + \sqrt{a+5} + \sqrt{b} + \sqrt{b+5}=4 \\ \frac{5}{\sqrt{a} + \sqrt{a+5}} + \frac{5}{ \sqrt{b} + \sqrt{b+5}} =2 \right. \\ [/TEX]
    Đặt :
    [TEX]\left{ u = \sqrt{a+5}+a \\ b= \sqrt{b+5} + \sqrt{b}[/TEX], ta có:
    [TEX]\left{ u+ v = 10 \\ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac25 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ u+v= 10 \\ uv = 25 \right. \Leftrightarrow u=v= 5 \\ \Leftrightarrow \left{ \sqrt{a} + \sqrt{a+5} = 5 \\ \sqrt{b} + \sqrt{b+5} = 5 \right. \\ \Leftrightarrow a=b=4 (do\ f(t)\ = \sqrt{t} + \sqrt{t+5}\ dong\ bien\ tren\ [0;+\infty) \ ) \\ \Leftrightarrow \left{ x = 3 \\ y = \pm \sqrt{\frac53} \right. (thoa\ dieu\ kien)[/TEX]
     
  19. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Định hướng: Nhận thấy phương trình (2) của hệ phương trình hệ quả của 1 bất đẳng thức quen thuộc:
    Với [TEX]x, y \ge 0,\ xy \le 1[/TEX], ta có:
    [TEX]\frac{1}{x+1 } +\frac{ 1}{y+1} \le \frac{2}{1+ \sqrt{xy}}[/TEX]
    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\left[ xy = 1\\ x = y [/TEX]
    Do đó ta sẽ đánh giá phương trình (2).
    Bài giải:
    Điều kiện:
    [​IMG]

    Ta có BĐT sau:
    Với [TEX]x, y \ge 0,\ xy \le 1[/TEX], ta có:
    [TEX]\frac{1}{x+1 } +\frac{ 1}{y+1} \le \frac{2}{1+ \sqrt{xy}} (*)[/TEX]
    Thật vậy, ta có:
    [TEX](*) \Leftrightarrow( x+y + 2 )(\sqrt{xy}+1) \le 2 (x+y+xy+1) \\ \Leftrightarrow (1 - \sqrt{xy})(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0 (luon\ dung)[/TEX]
    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\left[ xy = 1\\ x = y [/TEX]

    Do đó xét phương trình (2) ta có:
    [TEX]\left( \frac{1}{\sqrt{ x+1} } +\frac{ 1}{\sqrt{y+1}} \right)^2 \le 2 \left(\frac{1}{x+1 } +\frac{ 1}{y+1} \right) \le \frac{4}{1+\sqrt{xy}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{ x+1} } +\frac{ 1}{\sqrt{y+1}} \le \frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}} [/TEX]
    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
    [TEX]\left{ \frac{1}{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{y+1}} \\ \left[ x=y \\ xy = 1 \right. \right. \ \ \Leftrightarrow x = y [/TEX].

    Thay [TEX]x=y[/TEX] vào phương trình (1), ta có :
    [TEX] \sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}} =x(1+2\sqrt{ 1-x^2}) \\ \Leftrightarrow 1 + \sqrt{1-x^2} = x^2 (2\sqrt{1-x^2}+1)^2 \ (do\ x>0) \\ [/TEX]
    Đặt [TEX]t = 1 + \sqrt{ 1 -x^2} \ge 1[/TEX], ta có:
    [TEX]t+1 = ( 1-t^2)( 2t + 1)^2 \\ \Leftrightarrow ( 1 -t)(4t^2 + 4t + 1) = 1 (do \ t+1 \ge 2>0) \\ \Leftrightarrow -4t^3 + 3t = 0 \\ \Leftrightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2} (do\ t \ge 1) \\ \Leftrightarrow 1-x^2 = \frac34 \\ \Leftrightarrow x = \frac12\ (do\ x>0)[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow y = \frac12[/TEX]

    Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
    [TEX]\left{ x = \frac 12 \\ y = \frac12[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng chín 2011
  20. xlovemathx

    xlovemathx Guest

    Giải hệ pt :

    Bài 21 : [TEX]\left\{xy-3x-2y=16 \\ x^2+y^2-2x-4y=33[/TEX]

    Bài 22 : [TEX]\left\{x^2+3y=9\\y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0[/TEX]

    Bài 23 : [TEX]\left\{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+4}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3}+\sqrt{y-5}\\x+y+x^2+y^2=44[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng chín 2011
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->