<Vòng I> Sàn đấu toán học

Thảo luận trong 'Đề thi - Tài liệu lớp 8' bắt đầu bởi hoa_giot_tuyet, 6 Tháng ba 2011.

Lượt xem: 5,274

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    [​IMG] Vòng I [​IMG]

    [​IMG] Sàn đấu toán học [​IMG]

    Vòng I dc tổ chức dưới hình thức một sàn đấu toán học. Thách đấu - Giải toán
    Lần lượt từng người chơi sẽ thách đấu với một bài toán đưa ra, ai giải được thì người đó tiếp tục thách đấu mọi người một bài khác. Lưu ý cần có sự đồng ý bài giải đã đúng từ người ra đề

    [​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG]

    Cách thức tính điểm:
    Giải đúng một bài thách đấu: +20đ
    Ra bài thách đấu nhưng ko ai giải dc +20đ (trường hợp người đó ko chịu post bài thách đấu theo đúng luật sẽ k đc điểm)

    Lưu ý:
    [​IMG]Mỗi thí sinh chỉ dc tối đa 100đ ở vòng I ;) nên chỉ dc trả lời tối đa 5 bài thách đấu
    [​IMG] Mỗi câu hỏi sẽ dc tính thời gian trả lời là 2 ngày, sau 2 ngày nếu ko ai giải sẽ post đáp án
    [​IMG] Sau khi post bài giải đúng phải post bài thách đấu tiếp theo sau 12h. Nếu không BGK (là t ^^) sẽ tiếp tục ra bài ;)

    [​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG][​IMG]


    Để được điểm số cao nhất mọi người nhớ ra bài cho khó nha :D. Tớ xin phép sẽ là người thách đấu đầu tiên:
    Nào mọi người cố lên:
    Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 6. Chứng minh BĐT

    [TEX] 8^a+8^b+8^c \geq 4^{a+1} + 4^{b+1} + 4^{c+1}[/TEX]

    p/s: sau 2-3 ngày ko có ai giải thì tớ sẽ dc 20đ ;))[/COLOR]

    Vui lòng không spam nơi này.


     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng ba 2011
  2. quan8d

    quan8d Guest

    [TEX]8^a+8^a+64 \geq 3\sqrt[3]{{2}^{6a}.2^6} = 3.{4}^{a+1}[/TEX]
    [TEX]TT : 2\sum 8^a+64.3 \geq 3.\sum {4}^{a+1}[/TEX]
    Mặt khác : [TEX]\sum {4}^{a+1} \geq 3\sqrt[3]{{4}^{a+b+c+3}} = 3.64[/TEX]
    [TEX]\rightarrow 2\sum 8^a+\sum {4}^{a+1} \geq 3.\sum {4}^{a+1}[/TEX][TEX][/tex][TEX] [/TEX]
    [TEX]\rightarrow dpcm[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng ba 2011
  3. A Quân ko chịu post bài tiếp theo sao :-w
    E post cho nó đúng tiến độ vậy
    Chứng minh rằng
    [TEX]\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{100}{3^{101}} < \frac{1}{4}[/TEX]
     
  4. Đặt [TEX]A=\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + ... + \frac{100}{3^{101}} [/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 3A=\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + ... + \frac{100}{3^{100}} [/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 2A=\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}+\frac{100}{3^{101}} [/TEX]
    [TEX]\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^{100}} < \frac{1}{2}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 2A< \frac{1}{2}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]
    :)

     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng ba 2011
  5. Giải phương trình với m là tham số
    :)try...............
     
  6. ththbode

    ththbode Guest

    m=0, m=1 => pt đều có 2 nghiệm là 0 và 1
    m#0;1 thì pt ko có nghiệm x=0(cái này c/m =phản chứng)
    Ta c/m đc nếu a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt. Thật vậy!
    Nếu a là nghiệm của pt thì
    [TEX](m^2-m)^2(a^2-a+1)^3=(m^2-m+1)^3(a^2-a)^2[/TEX] (*)
    \Leftrightarrow (m^2-m)^2((1-a)^2-(1-a)+1)^3=(m^2-m+1)^3((1-a)^2-(1-a))^2
    \Rightarrow1-a là nghiệm của pt
    tương tự (chia cả 2 vế của (*) cho a^6) ta đc 1/a là nghiệm của pt
    theo c/m trên a là nghiệm của pt thì 1-a và 1/a cũng là nghiệm của pt
    \Rightarrow 1-(1/a), 1/(1-a); 1-(1/(1-a)) cũng là các nghiệm của pt
    pt có bậc 6 nên có nhiều nhất 6 nghiệm
    vậy x=m là nghiệm của pt
    Do đó pt có các nghiệm m, 1/m, 1-m, 1-(1/m), 1/(1-m), 1-(1/(1-m))
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng ba 2011
  7. đúng rồi:D......................start...........................................

     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng ba 2011
  8. ththbode

    ththbode Guest

    a, b, c>0; abc=1
    c/m [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]
     
  9. Dài !

    \frac{a}{(ab+a+1)^2} = {a.c^2}{a^2.(b+1+bc)^2}
    \frac{b}{(bc+b+1)^2} = {a^2.c^2.b}{
    @-)
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng ba 2011
  10. Sai..................................................................
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng ba 2011
  11. [TEX]Ta co: \\
    ab+a+1=ab+a+abc=a(bc+b+1)=a(bc+b+abc)=ab(ac+a+1) \\ \Rightarrow \frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c} {(ca+c+1)^2} \\ =\frac{a}{a^2.b^2.(ac+c+1)^2}+\frac{b}{b^2(ac+a+1) ^2}+ \frac{c}{(ac+c+1)^2} \\ =\frac{1+ab+ab^2.c}{ab^2(ac+c+1)^2}=\frac{a+ac+1}{ab(ac+c+1)^2}=\frac{b}{bc+b+1}=\frac{1}{ac+a+1}[/TEX]

    Tiếp:
    Áp dụng BĐT co sin ta cm được ac+a+1 [TEX]\leq[/TEX] a+b+c [TEX]\Rightarrow[/TEX]đpcm(cái này tự chừgs minh,dài!)

    [
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng ba 2011
  12. ththbode

    ththbode Guest

    mấy chỗ biến đổi ở trên bị sai
    với lại bạn nói rõ cái bc c/m ac+a+1\leqa+b+c đc ko
     
  13. :Dđọc lời giải này trong đề thi vào lớp 10 chuyên ĐH KHTN HN 2007-2008
     
  14. ************kg nhận ra sai ở đâu cả.chỉ rõ cái***************

     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng ba 2011
  15. Vì lý do thời gian tớ xin thay mặt bạn hell_angel_97 ra bài thách đấu tiếp theo. Các mem chưa có điểm vui lòng vào xem ạ :M045:

    Chứng minh rằng trong hệ thập phân tồn tại một số tự nhiên có n chữ số chia hết cho [TEX]2^n[/TEX] mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2.
     
  16. ththbode

    ththbode Guest

    có nhầm ko nhỉ
    lấy luôn số 12( có 2c/s, chia hết cho 2^2, gồm các c/s 1 và 2)

    Đó đó bạn ;) Chứng minh luôn tồn tại với mọi n chứ không chỉ n = 2 ;)
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng ba 2011
  17. quynhnhung81

    quynhnhung81 Guest

    Giải theo phương pháp quy nạp toán học:
    Với n=1 số 2 thoả mãn đế bài. Giả sử tồn tại một số A có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và số đó chia hế cho [TEX]2^n[/TEX]. Ta chứng minh tồn tại một số B có n+1 chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 và chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]
    - Nếu A chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B= \overline{2A}[/TEX]
    - Nếu A không chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì chọn [TEX]B=\overline{1A}[/TEX]


    Yêu cầu bạn làm thêm một bước nữa mới công nhận là đúng :)
    Sao ko ai tks ta bắt đền :((
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng ba 2011
  18. quynhnhung81

    quynhnhung81 Guest

    Giải bước nào nữa hả bạn?????????, giải thế là đầy đủ rùi còn bắt bẻ cái gì nữa.
    Nếu có bổ sung chỗ nào thì xin cảm tạ
     
  19. Yêu cầu bạn bổ sung thêm 1 bước c/m số mới tạo thành chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX]

    K fải gì nhưng như thế mới đầy đủ
    Và y/c bạn nhanh chóng post bài tiếp theo ;)
     
  20. quynhnhung81

    quynhnhung81 Guest

    -Nếu A chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì ta chọn:
    [TEX]B=\overline{2A}=2.10^n+A=2^{n+1}.5^n+A[/TEX]
    [TEX]2^{n+1}.5^n \vdots 2^{n+1}[/TEX]
    [TEX]A \vdots 2^{n+1}[/TEX] (theo giả thiết đã cho)
    -Nếu A không chia hết cho [TEX]2^{n+1}[/TEX] thì ta chọn:
    [TEX]B= \overline{1A}=10^n+A=2^n[5^n+c ][/TEX] Với c là một số lẻ
    giải thích tí: Ta có [TEX]A \vdots 2^n[/TEX](giả thiết quy nạp) và A không chia hết cho[TEX]2^{n+1}[/TEX] nên khi chia A cho [TEX]2^n[/TEX] được thương là một số lẻ.
    Mặt khác ta có [TEX]5^n[/TEX] cũng là số lẻ. Lẻ+Lẻ=chẵn \Rightarrow [TEX][5^n+c] \vdots 2[/TEX] \Rightarrow [TEX]2^n[5^n+c] \vdots 2^{n+1}[/TEX]
    \Rightarrow dpcm
    p/s: Tuyết ơi cho một lời để còn ra đề. hjhj

    ok come on ;) +20đ
     
    Last edited by a moderator: 10 Tháng ba 2011
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->