Cho: [TEX]I_n=\int_{0}^{1} \frac{x^n}{\sqrt{1-x}}.dx ( n \in N*)[/TEX]
Chứng minh [TEX] (2n+1)I_n+2nI_{n-1}=2\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]I_n=-2\sqrt{1-x}x^n|_0^1+\int_{0}^{1}2\sqrt{1-x}.nx^{n-1}dx[/TEX]
[TEX]\to I_n=2n\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{\sqrt{1-x}.(1-x)dx[/TEX]
[TEX]\to I_n=2n\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{\sqrt{1-x}dx[/TEX]
[tex]-2n\int_{0}^{1}\frac{x^n}{\sqrt{1-x}}dx[/tex]
[TEX]\to I_n=2nI_{n-1}-2nI_n[/TEX]
[TEX]\to(2n+1)I_n=2nI_{n-1}[/TEX]
Suy ra ta cần chứng minh:
[TEX]I_n=\frac{\sqrt{2}}{2n+1}[/TEX]
Đặt: [TEX]x=sin^2t \to dx=2costsintdt[/TEX]
[TEX]\to I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^{2n}t2sintcostdt}{cost}[/TEX]
[TEX]=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n+1}tdt[/TEX]
Mà hàm trên ta đã biết kết quả là
[TEX]J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nt[/TEX]
[TEX]J_{2k}=\frac{1.3.5...(2k-1)}{2.4.6...2k}.\frac{\pi}{2}[/TEX]
[TEX]J_{2k+1}=\frac{2.4.6...2k}{3.5.7...(2k+1}}[/TEX]
:-??
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn