[Toán 12] Topic toán cao cấp (dành cho sinh viên)

* Từ ý tưởng của hai thành viên vivetnam và phamduyquoc0906 trong một vài bài giới hạn ,thiết nghĩ sao chúng ta không có riêng một pic để trao đổi các kiến thức thuộc chương trình đại học?

*Một phần lớn các thành viên hocmai đang trong giai đoạn đại cương của bậc đại học,giai đoạn này tuy không ứng dụng nhiều vào ngành nghề sau này nhưng lại là giai đoạn bắt buộc phải vượt qua và có thể nói nói toán cao cấp là môn học khó nhất ở bậc đại học.

*Những thành viên cũ của diễn đàn giờ này quay trở lại giúp các bạn phổ thông trong khi họ cũng có những môn học riêng của mình và cũng có những khó khăn nhất định trong việc học.

*Nay anh xin lập topic này để các sinh viên chúng ta cùng nhau trao đổi về môn toán cao cấp đồng thời cũng để mở rộng thêm hocmai không chỉ nằm ở mức độ phổ thông.Các thế hệ sau này sẽ được kế thừa những gì mà chúng ta trao đổi ngày hôm nay.

*Toán cao cấp gồm 4 tập theo chương trình ngày trước:
tập 1: Hàm một biến (giới hạn ,tích phân,ứng dụng tích phân..)
tập 2: Đại số tuyến tính (Ma trận ,số phức)
tập 3:Hàm nhiều biến,tích phân bội hai,bội ba,đường ,mặt và ứng dụng của chúng
tập 4:Chuỗi số và vi phân
Ngoài ra còn tập xác suất thống kê nhưng anh không xếp vào đây vì phần xác suất gần giống phổ thông còn phần thống kê thì chỉ đơn giản học là biết làm.Trong 4 tập thì tập 3 phải nói là khó nhất vả trừu tượng nhất

*Ở đây chúng ta chỉ dừng ở mức độ trao đổi phù hợp với chương trình học và thi ở bậc đại học nên do đó sẽ tránh những bài tập đi quá xa chương trình.Các em nên sưu tập sẵn những đề thi ở trường mình những năm học trước để đưa lên cùng nhau giải quyết.Anh nhận thấy không cần biết mình học như thế nào chỉ cần đến kỳ thi đạt là được nên đừng học lung tung làm gì cho mệt.

*Các em phổ thông khi vào đọc thì đừng ý kiến nhiều nha vì ở đây sử dụng kiến thức ở bậc đại học nên sẽ không áp dụng được vào bài thi đại học được đâu,riêng phần giới hạn thì các em tham khảo để khảo sát hàm cũng được.

*Do mạng ở nhà chưa sử dụng được nên anh chưa hệ thống những phương pháp chính ,các em cứ đưa đề thi lên trước rồi từ từ giải quyết sau

*Rất mong sự tham gia của các em vào pic này ,anh nhận thấy rất hiệu quả khi các em bước vào thi học kỳ đấy.(Nghiêm cấm tham gia với tư cách thách đố thành viên)

*Rất mong sự tham gia của tất cả giáo viên và các thành viên có kiến thức toán cao cấp ,hãy cùng nhau giảm bớt chút khó khăn cho các sinh viên của chúng ta nhé
Thân!

 

Hay quá :khi (197):
Em ủng hộ ông anh cả hai tay 2 chân luôn. Em cũng rất thích học toán, cả sơ cấp lẫn cao cấp. Thực ra em thấy ở VN bây giờ toán cao cấp không được chú trọng cho lắm. Học sinh phổ thông được giải Olympic (toán sơ cấp) thì được quý như cục vàng. Từ chủ tịch nước, đến bộ trưởng đến, các ban ngành đoàn thể... thi nhau tung hô, thưởng nọ thưởng kia. Rồi được đi du học toàn phần, học bổng cỡ vài chục nghìn đô một năm chứ chả ít. Trong khi các sinh viên được giải OLP (toán cao cấp) thì chẳng ai biết đấy là đâu. May ra chỉ có trường đấy, khoa đấy biết. Rồi thưởng được dăm ba trăm nghìn. Đi uống trà đá với bạn bè có khi phải bù lỗ. Trong khi đó chính toán học cao cấp mới thể hiện bộ mặt thực sự của toán học. Tất cả những lý thuyết đẹp đẽ nhất, những công cụ hiệu quả nhất, và những ứng dụng lớn lao nhất là ở toán cao cấp. Em không có ý hạ thấp vai trò của toán sơ cấp đâu, nhưng em muốn đòi lại chút công bằng cho toán cao cấp :khi (181): Haizzz ... Nghĩ mà sầu :khi (186):
Em thì cũng là kẻ ham hố tiền bạc ở mức bình thường nên không coi trọng chuyện đó lắm, chỉ hơi có tý gọi là "bức xúc" chút xíu thôi. Em rất mong pic này phát triển mạnh để anh em có chỗ giao lưu học hỏi nhau. Em sẽ tham gia nhiệt tình. :khi (60): Mà ông anh đang học năm mấy vậy ?

>-
From Rocky

 

Về đại số, Rocky xin được mạn phép đóng góp thế này. Bây giờ có rất nhiều loại đại số. Nếu để học chỉ để chiêm ngưỡng vẻ đẹp của nó thôi thì hơi bất cập vì ... lĩnh vực nào cũng đẹp ví như lý thuyết tập hợp, lý thuyết trường Galois, topo, đại số tuyến tính, quy hoạch tuyến tính... tuy nhiên, Rocky nghĩ, đối với thực trạng hiện nay thì chưa nên đi sâu vào toán học thuần lý thuyết, nên hướng vào toán học ứng dụng. Vì như thế chúng ta có thể làm được nhiều việc hơn sau này, như ứng dụng trong kinh tế, tin học hoặc các ngành liên quan đến toán ứng dụng khác. Rocky là người theo trường phái "toán học vị nhân sinh" chứ không phải "toán học vị toán học". Vì vậy mình đề xuất chúng ta sẽ khai thác một cách có hệ thống theo trình tự sau:
1. Lý thuyết logic: Cái này chúng ta sẽ không đi sâu, chủ yếu nắm được các khái niệm cơ bản về đại số logic như:

• Mệnh đề là gì, các phép toán trên mệnh đề (hội, tuyển, phủ định, kéo theo, tương đương), giá trị chân lý.
• Vị từ (hàm mệnh đề, hay mệnh đề chứa biến)
• Lượng từ (phổ biến và tồn tại) và phủ định của một phát biểu lượng hóa.
• Một số quy tắc suy luận logic (tauto logic): tam đoạn luận, phủ định của phủ định, ...

Những lý thuyết này, theo kinh ngiệm của mình, rất có ích khi trình bày bài toán hay các phát biểu một cách có khoa học. Ví dụ định hợp của 2 tập:
[TEX]A \bigcup B = \left {x| (x\in A) \vee (x\in B) \right }[/TEX]​

2. Lý thuyết về tập hợp: Cái này chúng ta cũng không đi sâu. Chủ yếu là về các vấn đề sau:

• Thừa nhận khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ nguyên thuỷ, không định nghĩa (theo quan điểm của lý thuyết tập hợp ngay thơ mà Cantor đề xướng)
• Khái niệm bao hàm , tập con.
• Các phép toán trên tập: hợp, giao, hiệu, hiệu đối xứng, phần bù.
• Luật De Morgan
• Phủ và phân hoạch.

3. Quan hệ: cái này theo mình rất quan trọng, nó là nền tảng để tiếp thu tốt các kiến thức về ánh xạ, lý thuyết nhóm - vành - trường phục vụ cho một phần lý thuyết trừu tượng rất quan trọng sau này là không gian vector. Nên nắm được các phần sau:

• Khái niệm cơ bản về quan hệ, quan hệ hai ngôi.
• Hợp của các quan hệ, quan hệ ngược, các tính chất có thể có của 1 quan hệ (đối xứng, phản xạ, phản xứng, bắc cầu)
• Quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, quan hệ thứ tự toàn phần.

4. Ánh xạ: phần này cũng rất quan trọng. Nó là một sự tổng quát và trừu tượng hóa rất cao. Theo mình nó là khái niệm tuyệt vời, giúp ta nhóm lại được các đối tượng khác nhau có chung bản chất vào chung một tên gọi. Hàm số, phép biến hình hay những phép chiếu trên mặt phẳng afin Euclide hoặc trong không gian đều là những TH riêng của ánh xạ. Những vấn đề cần khảo sát sẽ bao gồm:

• Khái niệm cơ sở về ánh xạ: ánh xạ là gì, tập đích, tập nguồn, ảnh, nghịch ảnh
• Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
• Hợp các ánh xạ, ánh xạ ngược của song ánh.
• Một số ánh xạ đặc biệt: ánh xạ đồng nhất, ax hằng, ax nhúng ...
• Sơ sơ một ít về phép đếm và lực lượng các tập sử dụng công cụ là ax

5. Các cấu trúc đại số (lý thuyết nhóm - vành - trường)

• Luật hợp thành trong.
• Nhóm, vành, trường. chú ý thêm về nhóm Abel, vành ngyên, vành có đơn vị.
• Một ít lý thuyết về đa thức và phân thức hữu tỷ. Đặc biệt là định lý cơ bản của đại số (cái này hình như là D'Alambert đưa ra thì phải, mình không nhớ rõ lắm nhưng nó là định lý rất quan trọng).

6. Số phức: đây cũng là một phần nền tảng tương đối cần thiết, khi mà các đối tượng của chúng ta không chỉ bó hẹp trong tập các số thực nữa. nay mai còn học về giải tích phức nữa, nên vững kiến thức phần này sẽ rất thuận lợi cho sau này. Chúng ta tập trung vào:

• Định nghĩa và các dạng biểu diễn số phức: chính tắc, hình học, lượng giác (công thức Moivre).
• Các phép biến đổi và phép toán trên tập các số phức: cộng , trừ, nhân, chia, nâng lũy thừa và khai căn.
• Nghiệm của đa thức (thực và phức).

7. Ma trận và định thức: cái này thì khỏi phải nói, ai cũng biết ứng dụng của nó rất lớn lao. Các bạn phổ thông hay THCS chơi Sudoku, đó cũng là một dạng của ma trận, những người thợ làm biển quản cáo bằng đi-ốt nhấp nháy cũng sử dụng kiến thức ma trận, rồi lập trình tìm đường đi .... chúng ta sẽ tìm hiểu về:

• Ma trận và những khái niệm cơ bản: MT vuông, tam giác, chéo, đơn vị, MT chuyển vị ...
• Các phép toán trên ma trận: cộng trừ, nhân ma trận với số thực, nhân 2 ma trận với nhau (không có phép chia)
• Định thức của ma trận vuông
• Ma trận nghịch đảo
• Hạng của một ma trận
• Hệ phương trình tuyến tính. Định lý Kramer, Kronecker - Capelli.
• Phương pháp Gauss -Jordan

8. Không gian vec tor - Ánh xạ tuyến tinh
Tạm thời mình cứ post đến đây đã, các bạn tham khảo rồi cho ý kiến. Mình nghĩ cấu trúc như trên là hướng tiếp cận tương đối hợp lý. nếu bạn nào có suy nghĩ khác thì đống góp nhé

>-
From Rocky

 

cảm ơn các anh đã lập ra 1 topic hữu ích cho môn học này.Em hiện đang là sinh viên năm 1 của trường Xây Dựng và thực sự bị choáng bởi môn Toán cao cấp vì nó quá khó .Hầu hết các định lí đọc chứng minh em ko thể hiểu nổi,khác xa với toán cấp 3.
Các anh biết có tài liệu về toán cao cấp nào hay và dễ hiểu ko ạ?Cụ thể như sách tham khảo về toán cao cấp mà bao gồm các dạng bài hay gặp,cách giải... Vaf học Toán cao cấp thì nên học giáo trình nào ạ? Em học theo giáo trình trường Xây dựng thấy khó quá.
Em cảm ơn

Em cảm ơn anh.Đọc những tâm sự của anh em có cảm tình với môn Toán cao cấp hơn rồi .Em tự nhận thấy mình ko có năng khiếu với môn Toán lắm nên em cũng cố gắng để học phục vụ cho việc thi học kì chứ ko dám nghĩ đến việc học chuyên sâu như anh.Nhưng chắc chắn là học ko thừa,ko phải là để qua kì thi mà học là để ứng dụng vào những cái cần thiết sau này,cũng giống như là chế tạo rô bốt như anh nói hay tính toán sao cho rút vật liêu công trình để nó ko bị đổ như ngành xây dựng của em ).
Mong các anh giúp đỡ Có vấn đề khó cần hỏi em xin phép viết bài lên đây . Hôm nay em vừa học về ko gian tuyến tính,mai học giới hạn hàm ) đều là những cái khó hiểu .
P/s: à em muốn hỏi thêm là có quyển sách nào phân dạng và hướng dẫn làm Toán cao cấp ko ? .Em muốn mua để đọc thêm.

 

Toán cấp 3 trở xuống người ta gọi là toán sơ cấp, còn trên đại học là toán cao cấp. Mà đã là "hàng cao cấp" thì nó phải thể hiện sự cao cấp của nó chứ ) Thực ra toán cao cấp không phải tách biệt với toán sơ cấp. Em học xây dựng hử ? Khoa học không giống ngành xây dựng của em đâu . Để xây một cái nhà việc đầu tiên là người ta xây nền móng trước sau đó mới dựng tòa nhà, nhưng khoa học thì ngược lại. Hôm nay người ta xây cái cửa sổ, ngày mai người ta xây cái tường, rồi vài hôm sau người ta lợp mái.... cứ chắp vá linh tinh như thê. Rồi một ngày người ta nhìn lại thấy chúng có quá nhiều thứ lộn xộn, cần phải hệ thống hóa chúng lại. Đưa ra một sự thống nhất chung. Và thế là các nhà khoa học mới xúm lại bắt tay xây "nền móng" cho chúng. Tức là khoa học xây nhà trước khi xây nền
Lên trên đại học chúng ta học những khái niệm trừu tượng và tổng quát chứ không phải những cái rời rạc cụ thể nữa. Ví dụ lớp 8 lớp 9 em được học hàm số với định nghĩa: hàm số f là một quy tắc cho tương ứng với mỗi x thuộc Y ta được duy nhất một y thuộc Y, đại loại thế. Rồi lên 11 em học hình học có phép biến hình. Ví dụ phép đối xứng trục được định nghĩa: Phép đối xứng trục d biến M thành M' sao cho d là trung trục của MM'. Rõ ràng có rất nhiều điểm tương đồng giữa hai khái niệm này.Đều là từ một phần tử nào đó của một tập X, theo một quy tắc nào đó sẽ cho tương ứng một phần tử khác thuộc Y (X, Y có thể trùng nhau cũng chẳng sao). Từ đó người ta mới nghĩ đến việc thống nhất chúng lại và đưa chúng dưới một cái tên chung là ánh xạ. Nhà toán học vĩ đại Henri Poincare đã từng nói : "Mathematics is the art of giving the same name to different things". Đó chính là bản chất của toán cao cấp. Trong toán cao cấp. người ta còn nói đùa rằng "Đối với một nhà topo học thì không có sự khác nhau giữa một bánh quy và một cốc cà phê , cả hai chúng đều có "lỗ thủng" (khái niệm này hơi phức tạp, nó được đề cập trong giả thuyết Poincare-Poincaré Conjecture - được Poincare đưa năm 1904, đây là giả thuyết trung tâm của topo học. Lý thuyết của nó "cao siêu" quá nên Rocky cũng chưa lĩnh hội được tý gì hờ hờ, cũng chẳng trách được, Poincare được mệnh danh là Mozart của toán học , ông ấy với Hilbert được coi là 2 "cụ trột" à quên trụ cột của toán học thế kỷ 20 cơ mà :-s nên tránh voi chả xấu mặt nào ))
Nói tóm lại là lên ĐH thì em phải nhìn nhận vấn đề một cách tổng quát và thống nhất. Những khái niệm em được học như ánh xạ , ma trận, hay quan hệ ... đều là sự tổng hợp và xây dựng có hệ thống của những phát minh rời rạc trước đó. Nhờ đó chúng ta có một bộ công cụ rõ ràng và hiệu quả trong giải quyết nhiều bài toán thực tế, thuộc nhiều lĩnh vực. Ví dụ: bây giờ ai đó giao cho em lập trình tìm đường đi cho một con robot trên một cái sân hình chữ nhật thì em có thể thưởng tượng như sau:

• Coi cái sân như một ma trận cỡ mxn. Trên đó mỗi phần tử là một ô, ô là một bước đi nhỏ nhất của con robot
• Để tìm được đường đi thì con robot phải "cảm nhận" được những điều kiện ngoại cảnh thông qua bộ cảm biến ( giá trị input) rồi từ đó "phản xạ" lại (giá trị output). Rõ ràng em phải động đến ánh xạ. Ứng với mỗi giá trị input thì em phải xây dựng một giá trị output tương ứng nào đó để đáp trả, cái chương trình thực hiện nhận giá trị đầu vào, tính toán, rồi trả lại giá trị đầu ra đó hoạt động không khác gì một ánh xạ.....

Đó, em thấy nó có vẻ khô khan, nhưng tư duy tóan học của nó rất hữu ích. Nó không chỉ cung cấp công cụ một cách trọn vẹn, mà còn cung cấp một lối tư duy có hệ thống.

Các thế hệ học toán nhà ta có câu của miệng là "Toán Trí, Lý Bình". Tức là toán thì cứ sách cụ Nguyễn Đình Trí mà "múc" còn lý thì đọc sách Lương Duyên Bình. Sách toán cụ Trí có 3 tập, cũ lắm rồi. Có thể gọi là "lên lão, mọc râu" rồi nhưng cụ trình bày rất có hệ thống, hơn nữa thì tri thưc chẳng bao giờ là cũ cả . Anh thấy quyển Đại số trình bày hay nhất. Giải tích em có thể mua sách của Trần Bình. trước anh học thầy được vài buổi, sau đó lại phân công thầy khác. Thầy già rồi nhưng mà đẹp lão (xì pam PR cho thầy tý ). Nói chung là không nên mua quá nhiều sách cùng loại, đọc lan man, vừa mất thời gian, vừa không hiệu quả. Tốt nhất là học theo một quyển thôi để thống nhất một cách trình bày và hướng tiếp cận. Ví dụ một số sách trình bày "quan hệ " trước. Sau đó dựa vào "quan hệ " để xây dựng "ánh xạ". Một số sách thì lại ngược lại , tức trình bày "ánh xạ" trước. Sau đó dựa vào "ánh xạ" để xây dựng "quan hệ", coi quan hệ từ E -> F như là một ánh xạ.... Thực ra hai khái niệm này độc lập nhau nên trình bày thế nòa cũng được. vấn đề là chúng ta nên thống nhất cách học.
Đó là một vài suy nghĩ của Rocky. Hy vọng giúp ích cho các bạn

>-
From Rocky

 

mình cũng là Sv năm thứ nhất của hv tài chính
giúp mình làm mấy bài này đc ko
sử dụng định nghĩa giới hạn để chứng minh:

[tex] \lim_{x\to \infty} \frac{cos x}{x}[/tex] =0

[tex] \lim_{x\to \infty} \frac{3.x^2 + 1}{5.x^2-1}[/tex] = 3/5

[tex] \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^2} sin x^2}{x+1}[/tex] =0

[tex] \lim_{x\to \infty} \frac{2^x+5.6^x}{3^x+6^x}[/tex] =5

 

Nói chung cái thể loại tính bằng định nghĩa này chỉ để chứng minh một số định lý ban đầu nhằm xây dựng nền tảng công cụ ban đầu cho lý thuyết giới hạn thôi. Không nên quá sa lầy vào nó. Còn sau đó ta dùng những định lý kết quả để làm, sẽ nhanh và hiệu quả hơn.
Hầu hết các giới hạn là ở dạng vô định. Có 5 dạng cơ bản sau [TEX]\infty - \infty[/TEX], [TEX]0.\infty[/TEX], [TEX]\frac{\infty}{\infty}[/TEX], [TEX]\frac{0}{0}[/TEX] và [TEX]1^{\infty}[/TEX]

• Dạng [TEX]\frac{\infty}{\infty}[/TEX], [TEX]\frac{0}{0}[/TEX] và [TEX]0.\infty[/TEX] (thực ra [TEX]0.\infty[/TEX] chính là [TEX]\frac{0}{0}[/TEX] )thì hay áp dụng L'Hospital. Dạng [TEX]\frac{\infty}{\infty}[/TEX] có thể dùng phương pháp chia cho lũy thừa cao nhất để khử vô cùng bé bậc cao.
• Dạng [TEX]\infty - \infty[/TEX] thường giải quyết bằng cách nhân với biểu thức liên hợp. Đôi khi phải sử dụng một số giới hạn đặc biệt như [TEX]\lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x} =1}[/TEX]...
• Dạng [TEX]1^\infty[/TEX] thì phải dùng đến biến đổi sau đây [TEX]u^v=e^{vlnu}[/TEX] (ngoài ra dạng [TEX]0^0, {\infty}^0[/TEX] cũng thế). Ví sau cho dễ hiểu:

Đại loại là như thế.
>-
From Rocky

 

CHƯƠNG 1 :GIỚI HẠN -LIÊN TỤC -KHẢ VI

[TEX]1/\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[5]{1+3x}\sqrt[4]{1+2x}-1}{xcos2x-x^2}[/TEX]

[TEX]2/\lim_{x\to 0}(\frac{1}{arctgx-\frac{1}{x})[/TEX]

[TEX]3/\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+tgx}-\sqrt{1-tgx}}{x}[/TEX]

[TEX]4/\lim_{x\to 0}\frac{cos(x^2)-xsinx-e^{-x^2}}{x^2sin^2x}[/TEX]

[TEX]5/\lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}[/TEX]

[TEX]6/\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{cosx}}{tg^2{\frac{x}{2}}[/TEX]

[TEX]7/\lim_{x\to 0}[\frac{(1+4x)^{\frac{1}{x}}}{e^4}]^{\frac{1}{x}[/TEX]

[TEX]8/\lim_{x\to 0}[\sqrt[3]{1+x}-\frac{x}{3}]^{\frac{1}{x^2}}[/TEX]

[TEX]9/\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^{x+1}(x+2)^{x+2}(x+4)^{x+4}}{(x+5)^{3x+7[/TEX]

[TEX]10/\lim_{x\to 0}\frac{sinh^2xln(1+x)}{tgx-x}[/TEX]

[TEX]11/\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-cosh2x-2x}{tg2x-2sinx}[/TEX]

[TEX]12/\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^x-1}{x^2}[/TEX]

[TEX]13/\lim_{x\to +\infty}(\pi-2arctg{\sqrt{x}})\sqrt{x}[/TEX]

[TEX]14/\lim_{x\to 0}\frac{x^3+sin^23x+3arcsin^2x}{ln(cosx)+sin^2x}[/TEX]

[TEX]15/\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3sinx}+\sqrt{1+2sinx}-2}{tg2x}[/TEX]

[TEX]16/\lim_{x\to 0}(\frac{arcsinx}{x})^{\frac{1}{sin^2x}}[/TEX]

[TEX]17/\lim_{x\to 0}(\frac{1}{xarctgx}-\frac{1}{x^2})[/TEX]
[TEX]18/\lim_{x\to 0}\frac{cosx-\sqrt{1-x^2}}{sinx-x}[/TEX]

* Trên đây là một số bài giới hạn để luyện tập Các em cố gắng làm hết những dạng bài tập này.Sau đó hãy tự tin đưa những bài tập chưa giải được và bài đã giải lên để các bạn cùng tham khảo ,có sai thì chúng ta cùng nhau sửa để có thêm kinh nghiệm.

*Tính giới hạn bằng định nghĩa thì rất cơ bản .Sau khi học đủ kiến thức thì sẽ xài những công cụ mạnh hơn chứ không dùng định nghĩa nữa.Thi sẽ giải bài tập bằng cách kết hợp những công cụ này (kẹp,nhân liên hơp,VCB,VCL,maclaurin,L'hopital)

*Nay mai có mạng anh sẽ giải chi tiết toàn bộ các bài tập này, hệ thống lại những phương pháp chính ,những sai lầm chúng ta hay mắc phải và một số đề thi kiểm tra (trắc nghiệm và tự luận) để cùng nhau giải quyết.Đừng quá vội vã ,trên lớp học đến phần nào thì mình sẽ ôn đến phần đó.Các em nên tham gia nhiệt tình thì mới có kết quả tốt được



Một số đề thi giữa học kỳ tham khảo,thời gian làm bài 45 phút :

ĐỀ 1

[TEX]1/[/TEX] Tính giới hạn : [TEX]\lim_{x\to 0^{+}}lnx.ln(x+1)[/TEX]

[TEX]a/1 \ \ \ \ \ b/0 \ \ \ \ \ c/-1 \ \ \ \ \ [/TEX] [TEX] d/ [/TEX] các câu khác sai

[TEX]2/[/TEX] Tìm [TEX]a[/TEX] để cho [TEX]2\ VCB[/TEX] sau cùng bậc
[TEX]\alpha(x)=2^{x^2}-1\ \ \ ,\ \ \ \beta{x}=x^a[/TEX]

[TEX]a/2 \ \ \ \ b/1\ \ \ \ \ [/TEX] [TEX]c/ [/TEX] không rồn tại [TEX]d/[/TEX] các câu khác sai

[TEX]3/ [/TEX] Tìm bậc của [TEX]VCB \ \ \ \ \alpha(x)=sin(e^{ax^2+1}-e)[/TEX] so với [TEX]x[/TEX] (khi [TEX]x [/TEX]tiến về [TEX]0[/TEX] )

[TEX]a/1\ \ \ \ \ b/3 \ \ \ c/2 \ \ \ \ [/TEX] [TEX]d/[/TEX] không tìm được

[TEX]4/ [/TEX]Tính [TEX]y^{(10)}[/TEX] nếu [TEX]y=(2x^2-1)cosx[/TEX]

[TEX]a/ (-2x^2-1)cosx-40xsinx[/TEX] [TEX] \ \ \ \ \ \ \ b/(2x^2-1)cosx+40xsinx[/TEX]
[TEX]c/(2x62-181)cosx+40xsinx \ \ \ \ \ \ d/(-2x^2+81)cosx-40xsinx[/TEX]

[TEX]5/ [/TEX] Tính [TEX]dy[/TEX] tại [TEX]t=1[/TEX] nếu [TEX]\left{x=2t-t^2\\y=3t-t^3[/TEX]

[TEX]a/\frac{3}{2}dx \ \ \ \ \ \ \ b/2dx \ \ \ \ \ c/3dx \ \ \ \ \ d/dx[/TEX]

[TEX]6/[/TEX] Cho[TEX] \left{x=sint\\y=e^{1+x^2}[/TEX] tìm câu sai

[TEX]a/d^2y=e^{1+x^2}[(2+4x^2)dx^2+2xd^2x)][/TEX]

[TEX]b/d^2y=e^{1+sin^2t}(2cos2t+sin^22t)dt^2[/TEX]

[TEX]c/d^2y=e^{1+x^2}(2+4x^2)dx^2+2sint.e^{1+sin^2t}dt^2[/TEX]

[TEX]d/d^2y=e^{1+x^2}(2+4x^2)dx^2-2sin^2t.e^{1+sin^2r}dt^2[/TEX]

[TEX]7/[/TEX] Tính giới hạn [TEX] \lim_{x\to 0}(cotgx)^{\frac{1}{lnx}}[/TEX]

[TEX]a/\frac{1}{e} \ \ \ \ \ b/e \ \ \ \ \ \ c/-1 \ \ \ \ \ d/1[/TEX]

[TEX]8/[/TEX] Tính giới hạn[TEX] \lim_{x\to {2^{-}}}a^{\frac{1}{x-2}} (a>0)[/TEX]

[TEX]a/+\infty \ \ \ \ b/0 \ \ \ \ \ \ c/-\infty\ \ \ \ \ \ [/TEX] [TEX]d/ [/TEX] các câu khác sai

[TEX]9/ [/TEX] Tính giới hạn [TEX]\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^x-1}{xln(x+1)}[/TEX]

[TEX]a/-1 \ \ \ \ \ b/0 \ \ \ \ \ \ c/ 2 \ \ \ \ \ \ \ d/1[/TEX]

[TEX]10/ [/TEX]Tính [TEX]y^'[/TEX] nếu [TEX]y=lnf(e^x)[/TEX]

[TEX]a/y^'[/TEX][TEX]=\frac{f^'}{f}[/TEX] [TEX]b/y^'=\frac{e^x}{f} [/TEX] [TEX]\ \ \ \ \ \ \ c/ y^'[/TEX][TEX]=\frac{e^xf^'}{f} [/TEX][TEX]\ \ \ \ \ \ \ d/y^'=e^x[/TEX]

[TEX]11/ [/TEX] Tính [TEX]d^2y [/TEX] nếu [TEX]y=e^{u+v}[/TEX] trong đó [TEX]u(x),v(x)[/TEX] là hai hàm khả vi đến bậc [TEX] 2[/TEX]

[TEX]a/d^2y=e^{u+v}(du^2+d^2u+dv^2+d^2v+2dudv)[/TEX]

[TEX]b/d^2y=e^{u+v}(du^2+d^2u+dv^2+d^2v)[/TEX]

[TEX]c/d^2y=e^{u+v}(du^2+dv^2+2dudv)[/TEX]

[TEX]d/[/TEX] các câu khác đều sai

[TEX]12/[/TEX] Tính giới hạn[TEX] \lim_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{ln(1+x})[/TEX]

[TEX]a/-\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ b/\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ c/0 \ \ \ \ \ \ d/1[/TEX]

[TEX]13/ [/TEX]Tính[TEX] y^{''} [/TEX] nếu[TEX] \left{x=cos2t\\y=sin^2t+t[/TEX]

[TEX]a/y^{''}=-2cotg2t \ \ \ \ \ \ b/y^{''}=-\frac{cos2t}{sin^32t} \ \ \ \ \ \ c/y^{''}=-\frac{cotg2t}{2sin^22t}\ \ \ \ \ \ [/TEX] [TEX]d/[/TEX] Các câu khác sai

[TEX]14/[/TEX] cho [TEX]f(x)=\left{xsin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0 [/TEX] Tìm khẳng định đúng

[TEX]a/f^'(\frac{2}{\pi})[/TEX] [TEX]=1,f^'(0)=0[/TEX] [TEX]\ \ \ \ \ \ \ b/f^'(\frac{2}{\pi})=1[/TEX][TEX],f^'(0)[/TEX] không tồn tại [TEX]c/f^'(\frac{\pi}{2})[/TEX][TEX]=1,f^'(0)=0 [/TEX][TEX]\ \ \ \ \ \ \ d/f^'(\frac{\pi}{2})=1[/TEX][TEX],f^'(0)[/TEX] không tồn tại

[TEX]15/[/TEX] Cho phương trình [TEX]x^n+px+q=0,n\in{N}[/TEX] tìm khằng định đúng nhất

[TEX]a/ [/TEX]Phương trình có ít nhất [TEX]4 [/TEX]nghiệm thực phân biệt với mọi[TEX] n [/TEX]

[TEX]b/ [/TEX] Phương trình có nhiều nhất [TEX]3[/TEX] nghiệm thực phân biệt với mọi [TEX]n[/TEX]

[TEX]c/ [/TEX] Phương trình có ít nhất [TEX]3[/TEX] nghiệm thực phân biệt với [TEX]n[/TEX] chẵn

[TEX]d/[/TEX] Các câu khác sai

[TEX]16/ [/TEX] Cho [TEX]f(x)=xe^x [/TEX] .Tính [TEX] \Delta{f(0)[/TEX] và [TEX] df(0)[/TEX]

[TEX]a/ \Delta{f(0)= \Delta{x}.e^{ \Delta{x}},df(0)= \Delta{x}[/TEX]

[TEX]b/ \Delta{f(0)= \Delta{x},df(0)= \Delta{x}[/TEX]

[TEX]c/ \Delta{f(0)=0, \Delta{f(0)= \Delta{x}[/TEX]

[TEX]d/ \Delta{f(0)= \Delta{x},df(0)=0[/TEX]

[TEX]17/ [/TEX] Tìm[TEX] a,b[/TEX] để hàm [TEX]f(x)=\left{x^2-x,x\ge0\\ax-2b,x<0[/TEX] liên tục và khả vi với mọi [TEX]x[/TEX]

a[TEX]/a=1,b=0 \ \ \ \ \ \ \ b/a=-1,b=1\ \ \ \ \ \ \ c/a=1,b=-1 \ \ \ \ \ \ \ \ d/a=-1,b=0[/TEX]

[TEX]18/ [/TEX] Tính [TEX]y^{''}[/TEX] nếu [TEX]ln(x+y)=1-x+y[/TEX]

[TEX]a/y^{''}=-\frac{4(x+y)}{(x+y+1)^3}[/TEX]

[TEX]b/y^{''}=-\frac{4(x+y)}{(x+y+1)^2}[/TEX]

[TEX]c/y^{''}=\frac{4}{(x+y+1)^3}[/TEX]

[TEX]d/y^{''}=\frac{4}{(x+y+1)^2}[/TEX]

 

ĐỀ 2
[TEX]1/[/TEX] Tính [TEX]\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{x^2}{2}-cosx}{x^4+4x^5}[/TEX]

[TEX]a/-\frac{1}{24}\ \ \ \ \ b/-\frac{1}{4}\ \ \ \ \ c/\frac{1}{16}\ \ \ \ \ \ \ d/\frac{1}{24}[/TEX]

[TEX]2/[/TEX] Đạo hàm cấp [TEX]4[/TEX] của hàm số [TEX]f(x)=e^{-x^2}[/TEX] tại [TEX]x=0[/TEX] là

[TEX]a/f^{(4)}(0)=-12\ \ \ \ \ \ b/f^{(4)}(0)=8\ \ \ \ \ \ f^{(4)}(0)=-4\ \ \ \ \ \ \ d/f^{(4)}(0)=12[/TEX]

[TEX]3/[/TEX] Cho hàm số[TEX] f0,3)\Rightarrow{R[/TEX] liên tục trong khoảng [TEX](0,3) [/TEX].Khẳng định nào đúng

[TEX]a/ f[/TEX] đạt [TEX]GTLN,GTNN[/TEX] trên khoảng [TEX](0,3)[/TEX]

[TEX]b/ f[/TEX] đạt [TEX]GTLN,GTNN[/TEX] trên đoạn[TEX] [1,2][/TEX]

[TEX]c/ f[/TEX] bị chặn trong khoảng [TEX](0,3)[/TEX]

[TEX]d/ f[/TEX] khả vi trong khoảng [TEX](0,3)[/TEX]

[TEX]4/ [/TEX]Tính giới hạn [TEX]I=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}(e^{x-sinx}-1)[/TEX]
[TEX]a/I=0\ \ \ \ \ \ b/I=-1\ \ \ \ \ \ \ c/I=\frac{1}{6}\ \ \ \ \ \ \ d/I=1[/TEX]

[TEX]5/[/TEX] Cho hai vô cùng bé[TEX] \alpha(x)=x-sinx\ \ ,\ \ \beta(x)=mx^3\ ,\ m\in{R}\ ,\ m\neq0[/TEX] Khẳng định nào đúng

[TEX]a/ \alpha(x) \ \ ,\ \ \beta(x)[/TEX] là hai vô cùng bé tương đương nhau khi [TEX]m=1[/TEX]

[TEX]b/ \alpha(x)[/TEX] và [TEX] \beta(x)[/TEX] là hai vô cùng bé cùng bậc

[TEX]c/\alpha(x)[/TEX] là vô cùng bé bậc thấp hơn [TEX]\beta(x) [/TEX]

[TEX]d/\alpha(x)[/TEX] là vô cùng bé bậc cao hơn [TEX]\beta(x)[/TEX] nếu [TEX]m[/TEX] đủ nhỏ


[TEX]6/[/TEX] Vi phân của hàm số [TEX]f(x)=ln(1+x^2)[/TEX] tại [TEX]x=1[/TEX] là

[TEX]a/df(1)=dx\ \ \ \ b/df(1)=0\ \ \ \ \ c/df(1)=(ln2)dx\ \ \ \ \ df(1)=2dx[/TEX]

[TEX]7/[/TEX] Hàm số nào sau đây thỏa điều kiện định lý [TEX]Rolle[/TEX] trên [TEX][0,3][/TEX]

[TEX]a/ \sqrt{x(3-x)}\ \ \ \ b/\sqrt{\|x^2-1\|}\ \ \ \ \ \ \ c/ \sqrt{\|x-1\|}\ \ \ \ \ d/\frac{x}{(x-2)^2}[/TEX]

[TEX]8/ [/TEX]Tính giới hạn[TEX] I=\lim_{x\to +\infty}(1+\frac{2}{n})^n[/TEX]

[TEX]a/I=2\ \ \ \ \ \ b/I=\sqrt{e}\ \ \ \ \ \ c/I=+\infty\ \ \ \ \ d/I=e^2[/TEX]

[TEX]9/ [/TEX]Cho dãy số [TEX]x_{n}=\frac{sin{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}[/TEX] .Tính [TEX]I=\lim_{\infty}x_{n}[/TEX]

[TEX]a/I=1\ \ \ \ \ b/I=0\ \ \ \ \ \ \ c/I=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ d/ [/TEX] không tồn tại

[TEX]10/[/TEX] Tính giới hạn [TEX] I=\lim_{x\to 0}(1+4x^2e^{2x})^{\frac{1}{x^2}[/TEX]

[TEX]a/I=\sqrt[4]{e}\ \ \ \ \ b/I=1\ \ \ \ \ \ c/I=e^4\ \ \ \ \ \ \ d/I=0[/TEX]

[TEX]11/[/TEX] Cho hàm số [TEX]y=y(x) [/TEX]xác định bởi [TEX] \left{x=e^t+t^3\\y=tsint [/TEX]Tính [TEX]y^'(x)[/TEX]

[TEX]a/y^'(x)=\frac{e^t+3t^2}{sint+tcost}[/TEX]
[TEX]b/y^'(x)=(e^t+3t^2)(sint+tcost)[/TEX]

[TEX]c/y^'(x)=sint+tcost[/TEX]

[TEX]d/y^'(x)=\frac{sint+tcost}{e^t+3t^2}[/TEX]

[TEX]12/ [/TEX]Cho hàm số [TEX]f(x)=\left{x^2,x\ge0\\x^2+1,x<0[/TEX] khi đó

a[TEX]/ f^'(0)=0[/TEX] [TEX]\ \ \ \ \ b/f [/TEX]liên tục tại [TEX]x=0 [/TEX] [TEX]\ \ \ \ \ c/f^'(0)=2x,\forall{x}\in{R} [/TEX] [TEX]d/ f[/TEX] liên tục phải tại [TEX]x=0[/TEX]

[TEX]13/[/TEX] Tính gần đúng [TEX]A=\sqrt[3]{8,0048}[/TEX] nhờ vi phân cấp [TEX]1[/TEX] tại [TEX]x_0=8[/TEX]

[TEX]a/2,0008\ \ \ \ \ \ \ \ b/2,0016\ \ \ \ \ \ c/2,0004\ \ \ \ \ \ d/1,9996[/TEX]

[TEX]14/[/TEX] Cho dãy số [TEX]x_{n}=\sqrt[n]{2^n+3^n}[/TEX] Tính [TEX]I=\lim_{x\to \infty}x_{n}[/TEX]

[TEX]a/I=1\ \ \ \ \ \ b/I=3\ \ \ \ \ \ c/I=2\ \ \ \ \ \ \ \ d/[/TEX] không tồn tại

[TEX]15/ [/TEX]Tìm khai triển [TEX]Maclaurin[/TEX] của [TEX]f(x)=shx[/TEX] đến cấp [TEX]3[/TEX]

[TEX]a/f(x)=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/TEX]

[TEX]b/f(x)=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)[/TEX]

[TEX]c/f(x)=x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)[/TEX]

[TEX]d/[/TEX] Các câu kia sai

16/ Tìm khai triển [TEX]Maclaurin[/TEX] của [TEX]f(x)=ln^2(1+x) [/TEX]đến cấp [TEX]3[/TEX]

[TEX]a/f(x)=x^2+x^3+o(x^3)[/TEX]

[TEX]b/f(x)=x^2-x^3+o(x^3)[/TEX]

[TEX]c/f(x)=2x^2-3x^3+o(x^3)[/TEX]

[TEX]d/f(x)=2x^2+3x^3+o(x^3)[/TEX]

[TEX]17/[/TEX] Cho [TEX]f(x)=x+(x-1)arcsin{\sqrt{\frac{x}{x+1}}}[/TEX] Tính[TEX] f^'(1)[/TEX]

[TEX]a/f^'(1)=1+\frac{\pi}{4}[/TEX]

[TEX]b/f^'(1)=1[/TEX][TEX]\ \ \ \ \ c/f^'(1)=-1[/TEX][TEX]\ \ \ \ \ d/f^'(1)=0[/TEX]

[TEX]18/[/TEX] Gía trị của [TEX]I= ch^2(x)-sh^2(x)[/TEX] là

[TEX]a/I=0\ \ \ \ \ \ \ b/I=1\ \ \ \ \ \ c/I=sh(2x)\ \ \ \ \ \ \ d/I=ch(4x)[/TEX]

[TEX]19/ [/TEX]Gía trị của [TEX]I=cos(arcsin(-\frac{1}{2}))[/TEX] là

[TEX]a/I=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ \ b/I=-\frac{1}{2}\ \ \ \ c/I=-\frac{\pi}{3}\ \ \ \ \ d/I=\frac{2\pi}{3}[/TEX]

[TEX]20/ [/TEX]Cho hàm số [TEX]f(x)=x^2ln(1+\sqrt{x})[/TEX] khi đó

[TEX]a/ [/TEX]Các câu kia sai

[TEX]b/ f^'(0)=0[/TEX]

[TEX]c/f^'(0)[/TEX] không tồn tại

[TEX]d/ f^'(x)=2xln(1+\sqrt{x})\ \ ,\ \ \forall{x\ge0}[/TEX]

 

đánh công thức tê hết tay mà ko gửi được
mất công quá
em đành viết mình đáp án thui
hjx
câu 1=11/10
câu 2=0
câu 3=1
câu 4 không làm được
câu 5=0
câu 6=3
câu 7=1
câu 8 không làm dc
câu 9 =4^5/5^7
câu 10,11,13,14 không làm dc
câu 12=1
câu 15 =5/4
câu 16,17 chịu
câu 18=0

anh kimxakiem cho em cách làm các bài
4,8,10,11,13,14,16,17 đi ạ
phần đề ôn ấy ạ
còn anh giải thích luôn hộ em cái kí hiệu sinh nữa

[TEX]\left{\frac{1}{1+t}=(1+t)^{-1}=1-t+t^2-t^3+t^4+o(t^4)\\t=\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+ \frac{x^3}{4!}+\frac{x^4}{5!}+o(x^4),t\to 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{f(x)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+o(x^4)[/TEX](khai triển đến [TEX]x^4 [/TEX])

[TEX] f(x)=\frac{(1+x+x^2)(1+x)}{(1-x+x^2)(1+x)}=(1+2x+2x^2)\frac{1}{1+x^3}[/TEX]




em không hiểu chỗ này
anh giải thích rõ hơn được không ạ

*Đánh nhanh quá không kiểm tra bị lỗi tex,ghi thiếu,anh sữa lại rồi
*Cái đặt t để khai triển cho nhanh,cứ khai triển bình thường thôi rồi ráp vô rút lại cho gọn là được nhưng phải kiên nhẫn,thường bài đó chỉ yêu cầu khai triển đến x^2 cho đơn giản lại

 

KHAI TRIỂN MACLAURINT


[TEX]*[/TEX] Đây là khai triển một hàm số khi [TEX]x\to 0[/TEX] .Khi [TEX]x=\to x_0[/TEX] là khai triển [TEX]Taylor[/TEX] nhưng không thuận lợi nên ta chuyển về [TEX] Maclaurint[/TEX] bằng cách đặt [TEX]t=x-x_0[/TEX] khi đó [TEX]t\to 0[/TEX]
Lưu ý : [TEX]x[/TEX] ở đây là bất kỳ ,có thể là [TEX] f(x)[/TEX] miễn sao [TEX]f(x)\to 0[/TEX] là dùng được.

[TEX]1/ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+....+ \frac{x^n}{n!}+o(x^n)[/TEX]

[TEX]2/ ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+.....+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+0(x^n)[/TEX]

[TEX]3/ (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+..+o(x^n)[/TEX]

[TEX]4/ sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-.........+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})[/TEX]

[TEX]6/ arctgx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})[/TEX]
[TEX]7/ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})[/TEX]

[TEX]8/ tgx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)[/TEX]

[TEX]9/sinhx=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^6)[/TEX]

[TEX]10/ coshx=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^7)[/TEX]

[TEX]*sinhx[/TEX] giống [TEX]sinx[/TEX] [TEX],coshx[/TEX] giống [TEX]cosx[/TEX] nhưng toàn bộ là dấu [TEX]+[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Tuỳ theo chúng ta muốn khai triển đến [TEX] x[/TEX] mũ bao nhiêu thì [TEX] n[/TEX] sẽ dừng tại đó,không nhất thiết phải viết ở dạng tổng quát,thường thì [TEX]n\le5[/TEX]

[TEX]*o(x^n)+o(x^m)=o(x^n)[/TEX] nếu [TEX]n\le{m}[/TEX]
[TEX]o(x^m)[/TEX] có thể thay bằng [TEX]o(x^n) [/TEX]nếu[TEX] m\ge{n}[/TEX]


Ví du 1/: [TEX]f(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+o(x^5)[/TEX]
Nếu ta muốn dừng ở [TEX]x^2 [/TEX] thì ta viết [TEX]f(x)=x+x^2+o(x^2)[/TEX] vì lúc đó [TEX]x^3+x^4+x^5+o(x^5)[/TEX] đều là[TEX] VCB[/TEX] bậc cao hơn [TEX]x^2[/TEX] (ta chỉ cần quan tâm đến số mũ lớn nhất mà ta muốn dừng lại)

[TEX]*[/TEX] Khi ta dừng lại tại [TEX]x[/TEX] thì đó chính là những [TEX]VCB[/TEX] tương đương cơ bản mà ta thường dùng do đó chỉ là trường hợp rất đặc biệt của [TEX]MACLAURINT [/TEX]chưa chắc đã đúng nếu ta muốn dừng ở bậc cao hơn [TEX] ln(1+x) \Leftrightarrow{x}[/TEX]

[TEX]*\lim_{x\to 0}\frac{o(x^n)}{x^n}=0[/TEX]


[TEX]* [/TEX]Trong một tổng hiệu nếu muốn dừng lại tại[TEX] x^n[/TEX] thì phải nhớ rằng hàm ta khai triển phải còn [TEX]x^n[/TEX] sau khi rút gọn

Ví dụ đúng: [TEX]\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)+x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x+x}{x}=2[/TEX] do ta muốn dừng tử số ở [TEX]x[/TEX],có khai triển [TEX]Mac[/TEX] thì cái đám phía sau cũng viết được thành [TEX]o(x)[/TEX](do nó còn chứa [TEX]x[/TEX])

Ví dụ sai:[TEX]\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)-x+x^2}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x+x^2}{x^2}=1[/TEX]

Sai do ta sử dụng [TEX]VCB[/TEX] tương đương nên dừng lại tại [TEX]x[/TEX] nhưng hàm ta khai triển không có [TEX]x [/TEX]do đã bị rút gọn
Bài giải đúng :[TEX]=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}+0(x^2)-x+x^2}{x^2}=\frac{1}{2}[/TEX]

Các hàm hyperpolic:

[TEX]sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/TEX]
[TEX]cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/TEX]
[TEX]tgh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}[/TEX]
[TEX]cotgh(x)=\frac{coshx}{sinh(x)}[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Từ các công thức lượng giác cơ bản khi ta thay [TEX]cosx[/TEX] bằng [TEX]cosh(x)[/TEX] và [TEX]sinx[/TEX] bằng [TEX]isinh(x)[/TEX] thì sẽ được các công thức theo [TEX]hyperpolic[/TEX] với [TEX]i^2=-1[/TEX]

ví dụ :[TEX]sin^2x+cos^2x=1\Rightarrow{(isinh(x))^2+(cosh(x))^2=1\Leftrightarrow{cos^2h(x)-isin^2h(x)=1[/TEX]

Giải bài ví dụ số 4

[TEX]4/I=\lim_{x\to 0}\frac{cos(x^2)-xsinx-e^{-x^2}}{x^2sin^2x}[/TEX]
[TEX]* [/TEX]Quan sát tử số để xem ta sẽ khai triển nó và dừng ở [TEX]x [/TEX]mũ mấy bằng [TEX]Maclaurint[/TEX]

[TEX]cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\Rightarrow{cos(x^2)=1-\frac{x^4}{2!}+\frac{x^8}{4!}[/TEX]

[TEX]sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\Rightarrow{xsinx=x^2-\frac{x^4}{3!}+\frac{x^6}{5!}[/TEX]

[TEX]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\Rightarrow{e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}+...[/TEX]

Khi ráp vô ta sẽ thấy[TEX] x^2[/TEX] biến mất do đó phải khai triển đến số mũ tiếp theo là [TEX]x^4[/TEX] .vậy tất cả sẽ dừng lại tại [TEX]x^4[/TEX] cái đám phía sau viết thành [TEX]o(x^4)[/TEX]

mẫu số chỉ cần sử dụng [TEX]VCB[/TEX] tương đương [TEX]sinx\Leftrightarrow{x}[/TEX] vẫn còn đó không bị biến mất(cứ tích thì chỉ cần sử dụng [TEX]VCB[/TEX])

Giải:
[TEX]I=\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{x^4}{2!}-x(x-\frac{x^3}{3!})-(1-x^2+\frac{x^4}{2!})+o(x^4)}{x^4}[/TEX][TEX]=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{5}{6}x^4+o(x^4)}{x^4}=-\frac{5}{6}[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Khi có dạng vô định chúng ta có thể dùng máy tính để bấm nhưng phải nhớ là khi bí quá và trắc nghiệm mới dùng do nó rất là chậm so với tính bằng tay,thay [TEX]x[/TEX] bằng số gần nó,ví dụ [TEX]x\to 0[/TEX] ta thay bằng [TEX]0,00001[/TEX] chẳng hạn rồi bấm máy

[TEX]*[/TEX] Các em phải tập làm và post bài giải cho quen.làm xong anh sẽ post thêm bài,dạo này anh bận quá nên chưa thể viết nhiều được

 

NGUYÊN TẮC KHAI TRIỂN MACLAURINT

[TEX]*[/TEX] Dựa vào những khai triển cơ bản đã biết

[TEX]*[/TEX] cộng trừ,Nhân,chia hai khai triển [TEX]maclaurint[/TEX]

[TEX]* f^'(x)=g(x)\Rightarrow{f(x)=\int{g(x)dx[/TEX] lúc đó ta khai triển [TEX]maclaurint[/TEX] hàm [TEX]g(x)[/TEX] sau đó lấy nguyên hàm

Các ví dụ :

[TEX]1/f(x)=ln(1+x)=\int\frac{1}{1+x}dx[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}=1+(-1.x)+\frac{(-1)(-2)}{2!}x^2+\frac{-1(-2)(-3)}{3!}x^3...=1-x+x^2-x^3+...[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{ln(1+x)=\int{1-x+x^2-x^3+...}dx=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}....[/TEX]

[TEX]2/ f(x)=\frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)-1}[/TEX][TEX]=\frac{1}{1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+\frac{x^4}{5!}+o(x^4)}[/TEX][TEX]\ \ \ \ =\frac{1}{1+t}[/TEX]

[TEX]\left{\frac{1}{1+t}=(1+t)^{-1}=1-t+t^2-t^3+t^4+o(t^4)\\t=\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+ \frac{x^3}{4!}+ \frac{x^4}{5!}+o(x^4),t\to 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{f(x)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+o(x^4)[/TEX](khai triển đến [TEX]x^4 [/TEX])

[TEX]3/f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}\Rightarrow{f(x)=\frac{(1+x+x^2)(1+x)}{(1-x+x^2)(1+x)}=(1+2x+2x^2+x^3)\frac{1}{1+x^3}[/TEX]

[TEX]=(1+2x+2x^2+x^3)(1+x^3)^{-1}=(1+2x+2x^2+x^3)(1-x^3+o(x^4)=1+2x+2x^2-2x^4+o(x^4)[/TEX]

[TEX]4/f(x)=tgx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^6)}{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)}[/TEX]

Đến đây tiến hành chia đa thức :lấy bậc nhỏ nhất của tử chia cho bậc nhỏ nhất của mẩu rồi làm giống chia đa thức bình thường,muốn dừng lại chỗ nào tuỳ yêu cầu cần khai triển

[TEX]\Rightarrow{tgx=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+o(x^5)[/TEX]

[TEX]5/f(x)=arcsinx=\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx[/TEX]

[TEX]\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}[/TEX][TEX]=1+(-\frac{1}{2})(-x^2)+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}(-x^2)^2+o(x^4)=1+\frac{x^2}{2}+\frac{3}{8}x^4+o(x^4)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+o(x^5)[/TEX]

GIẢI ĐỀ ÔN

[TEX]8/I=\lim_{x\to 0}[\sqrt[3]{1+x}-\frac{x}{3}]^{\frac{1}{x^2}}[/TEX]

đây có dạng [TEX]1^{\infty}=e^{\infty.ln1}=e^{\infty.0}=e^{\frac{0}{0}}[/TEX]

xuất hiện dạng vô định [TEX]\frac{0}{0}[/TEX] ta có thể sử dụng
[TEX]VCB,Mac,L'hopital[/TEX]

[TEX]I=\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x^2}.ln(\sqrt[3]{1+x}-\frac{x}{3})}[/TEX]

[TEX]ln(\sqrt[3]{1+x}-\frac{x}{3})=ln(1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o(x^2)-\frac{x}{3})[/TEX][TEX]=ln(1-\frac{1}{9}x^2+o(x^2))=-\frac{1}{9}x^2+o(x^2)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{I=\lim_{x\to 0}e^{\frac{-\frac{1}{9}x^2+o(x^2)}{x^2}}=e^{-\frac{1}{9}[/TEX]

[TEX]10/I= \lim_{x\to 0}\frac{sinh^2xln(1+x)}{tgx-x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2.x+o(x^3)}{x+\frac{x^3}{3}-x+o(x^3)}=3[/TEX]


[TEX]11/I=\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-cosh2x-2x}{tg2x-2sinx}[/TEX]
[TEX]I=\lim_{x\to 0}\frac{1+2x+\frac{(2x)^2}{2}+\frac{(2x)^3}{3!}-(1+\frac{(2x)^2}{2})-2x+o(x^3)}{2x+\frac{(2x)^3}{3}-2(x-\frac{x^3}{3!})+o(x^3)}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{4}{3}x^3+o(x^3)}{3x^3+o(x^3)}=\frac{4}{9}[/TEX]

[TEX]13/I=\lim_{x\to +\infty}(\pi-2arctg{\sqrt{x}})\sqrt{x}[/TEX]

Đây là dạng [TEX]0^{+\infty}=e^{+\infty.ln0}=e^{+\infty.(-\infty)}=e^{-\infty}=0[/TEX]

[TEX]14/I=\lim_{x\to 0}\frac{x^3+sin^23x+3arc^2sinx}{ln(cosx)+sin^2x}[/TEX]

[TEX]*ts\ =x^3+(3x)^2+3(x+\frac{x^3}{6})^2+o(x^3)=12x^2+o(x^2)[/TEX]

[TEX](VCB:arcsinx\Leftrightarrow{arctgx}\Leftrightarrow{sinx}\Leftrightarrow{tgx}\Leftrightarrow{x})[/TEX]

[TEX]*ms\ =ln(1+cosx-1)+x^2+o(x^2)=cosx-1+x^2+o(x^2)=1-\frac{x^2}{2}-1+x^2+o(x^2)=\frac{1}{2}x^2+o(x^2)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{I=24[/TEX]

[TEX]16/I=\lim_{x\to 0}(\frac{arcsinx}{x})^{\frac{1}{sin^2x}}[/TEX]

[TEX]I=e^{\lim_{x\to 0}\frac{ln\frac{arcsinx}{x}}{sin^2x}}=e^J[/TEX]

[TEX]J=\lim_{x\to 0}\frac{ln\frac{x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x}}{x^2}=\lim_{x\to 0}=\frac{ln(1+\frac{x^2}{6}+o(x^2)}{x^2}= \lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^2}{6}+o(x^2)}{x^2}=\frac{1}{6}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{I=e^{\frac{1}{6}}[/TEX]



[TEX]17/I=\lim_{x\to 0}(\frac{1}{xarctgx}-\frac{1}{x^2})[/TEX]

[TEX]I=\lim_{x\to 0}\frac{x-arctgx}{x^2.arxtgx}=\lim_{x\to 0}\frac{x-(x-\frac{x^3}{3})+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{3}[/TEX]

 

ĐỀ ÔN 2

1/ Tìm khai triển [TEX]taylor[/TEX] đến cấp [TEX]3[/TEX] của hàm sau tại [TEX]x_0=2[/TEX]

[TEX]f(x)=\frac{x-1}{x^2-5x+6)[/TEX]

[TEX]2/ I=\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x^3)-2sinx+2xcos(x^2)}{x^2tgx}[/TEX]

[TEX]3/I=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2tgx}-e^x+x^2}{arcsinx-sinx}[/TEX]


[TEX]4/[/TEX] Khai triển [TEX]Maclaurint[/TEX] của hàm đến cấp[TEX] 5[/TEX]

[TEX]f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}[/TEX]

[TEX]5/I=\lim_{x\to 0}\frac{ln(x+\sqrt{1+x^2}-x+\frac{x^3}{3}}{x-tgh(x)}[/TEX]

[TEX]6/I=\lim_{x\to 0}\frac{arctgx-arcsinx}{tgx-sinx}[/TEX]

[TEX]7/I=\lim_{x\to 0}\frac{1+xcosx-\sqrt{1+2x}}{ln(1+x)-x}[/TEX]

[TEX]8/I=\lim_{x\to 0}\frac{e^{arctgx}+ln(1-x)-1}{2-\sqrt{4+x^3}[/TEX]

[TEX]9/I=\lim_{x\to 0}\frac{e^sinx+ln(1-x)-1}{arcsinx-sinx}[/TEX]

[TEX]10/I=\lim_{x\to 0}\frac{x.e^{tgx}-sin^2x-x}{x+x^3-tgx}[/TEX]

[TEX]11/ I=\lim_{x\to 0}\frac{x^2e^x-ln(1+x^2)-arc^3sinx}{xsinx-x^2}[/TEX]

[TEX]12/ I=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x^3}-cos(x^4)}{tgx-x}[/TEX]

[TEX]13/ I=\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{x}{1-x}}-sinh(x)-cosx}{\sqrt[6]{1+x}+\sqrt[6]{1-x}-2}[/TEX]

[TEX]14/ I=\lim_{x\to 0}\frac{cosh(2x)-(1+3x)^{-\frac{1}{3}}-x}{\frac{x^2}{2}+ln(1+tgx)-arcsinx}[/TEX]

[TEX]15/ I=\lim_{x\to 0}\frac{e^{sinx}-\sqrt{1+x^2}-arcsinx}{sinh(x-x^2)-ln{\sqrt{1+2x}}}[/TEX]

[TEX]16/ I=\lim_{x\to 0}\frac{sin(arctgx)-tgx}{e^{sinh(x)}-(1+2x)^{\frac{1}{2}}}[/TEX]

[TEX]17/ I=\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx-xe^x}{x\sqrt{1-x^2}-tgx}[/TEX]

[TEX]18/ I=\lim_{x\to 0}\frac{tgx-ln(x+\sqrt{1+x^2})}{sinx-xcosx}[/TEX]

[TEX]19/ I=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-\sqrt{1+2x+2x^2}}{x+tgx-sin2x}[/TEX]

[TEX]20/ I=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x\sqrt{1+x}-1}{sinx.cosh(x)-sinh(x)}[/TEX]

[TEX]21/ I=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+ln(1-sinx)-1}{\sqrt[3]{8-x^4}-2}[/TEX]

[TEX]22/ I=\lim_{x\to 0}\frac{sin{\sqrt{1+x^3}}-sin1}{\sqrt[5]{1-2xln(cosx)}-1[/TEX]

[TEX]23/ I=\lim_{x\to 0}\frac{e^{cosx}-e\sqrt[3]{1-4x^2}}{\frac{arcsin2x}{x}-2cosh(x^2)}[/TEX]

[TEX]24/ [/TEX] Khai triển [TEX]Maclaurint[/TEX] đến cấp[TEX] 6[/TEX]

[TEX]f(x)=\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{1+\sqrt{1+x^2}[/TEX]

[TEX]f(x)=\frac{x^4+1}{x^2+1} \ \ \ (cap\ \ \ 4)[/TEX]

[TEX]f(x)=\frac{x^2+5x-5}{x^2+x-2}\ \ \ \ \ (cap\ \ \ \3)[/TEX]

 

Anh đưa cả phần ôn tập đại số nữa đi ạ
phần giải tích anh tiếp tục với các phần khác nữa đi ạ

 

anh có phần tài liệu về hàm 2 biến và vi phân cấp 2 ko ạ? send cho em với! em chả hiểu chữ gì hết!

Kimxakiem2507ạo này anh bận quá với lại ít thành viên tham gia nên anh không gửi bài lên nữa.Em nào muốn có tài liệu toán cao cấp hãy để lại địa chỉ email anh gửi qua cho,các file này đều là powerpoint nên anh không đưa trực tiếp lên đây được,gửi đường link thì không hợp với nội quy

 

Anh Kimxakiem2507 giúp em giải thích tại sao với ạ.
có bài làm với 2 cách làm sau ạ

[TEX] I=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}.e^x - 1}{x^2}[/TEX]

[TEX] I=\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{x+1/3.ln(1-3x)}-1}{x^2}[/TEX]

[TEX] I=3\lim_{x\to 0}\frac{3x+ln(1-3x)}{(3x)^2}[/TEX]

[TEX] I=3\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)-x}{x^2}[/TEX]

Theo công thức [TEX] ln(1+x)=x-{(x)^2}/{2}[/TEX]

=> [TEX] I=3\lim_{x\to 0}\frac{-{(x)^2}/{2} + o(x^3)}{x^2}=-{3}/{2}[/TEX]

còn cách khác

[TEX] I=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}.e^x - 1}{x^2}[/TEX]

theo khai triển
[TEX]\sqrt[3]{1-3x}= 1-x[/TEX]

[TEX] e^x=1+x [/TEX]


[TEX] I=\lim_{x\to 0}\frac{(1-x)(1+x)-1 + o(x^2)}{x^2}[/TEX]

[TEX] I=\lim_{x\to 0}\frac{-(x)^2 + o(x^2)}{x^2}=-1[/TEX]


anh ơi thế cách nào em làm sai ạ
anh có thể nói rõ hơn cho em cách sử dụng công thức maclaurint một cách chính xác ko ạ

 

chỗ này sai
vì điều kiện của ln là 1-3x>0 còn
căn bậc 3 thì không cần điều kiện

đây cũng sai
bạn thử quy đồng lên là thấy 2 cái không bằng nhau

 

còn chỗ này xin hỏi làm thế nào mà bạn được 2 cái bằng nhau
mong bạn viết rõ hơn

 

mình sửa lại lỗi rồi.Mình đánh thiếu
mình cũng biết lỗi sai của cach2 rồi vì mình thay

[TEX]\sqrt[3]{1-3x}= 1-x[/TEX]

[TEX] e^x=1+x [/TEX]

là các vô cùng bé tương đương.nên kq sai