Toán [Chuyên đề 4] Tổ hợp, dãy số!!

Chuyên đề 4: :Mloa_loa::Mloa_loa::Mloa_loa::Mloa_loa:


Tổ hợp, chỉnh hợp
Nhị thức Newton


:khi (197): Nội dung của chuyên đề :

- Giải phương trình liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp
- Chứng minh các hệ thức tổ hợp
- Các bài toán về phép đếm
- Các bài toán liên quan đến hệ số trong khai triển Newton
- Các bài toán tính tổng có sử dụng đến nhị thức Newton

Người quản lý chuyên đề :

- duynhan1 :khi (61):
- jerusalem:Mhi:

Topic sẽ không nhắc lại lý thuyết mà sẽ làm thẳng bài tập nên không hỏi lý thuyết ở đây. Lý thuyết được anh kimxakiem2507 tổng hợp ở đây :

:khi (152): - [LTDH chuyên đề 1]Tổ hợp (phần 1)

:khi (152): - [LTDH chuyên đề 1]Tổ hợp (phần 2)

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo sách giáo khoa, chỗ nào không hiểu có thể liên hệ :khi (17): jerusalem :khi (59): để được giải đáp

Nghiêm cấm spam dưới mọi hình thức :Mnotforgiven:
Ai spam thì sẽ bị phạt thẻ :M051: và nếu spam nhiều lần thì sẽ :M030: bị cấm post bài trong topic :khi (133):


:khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4):

 

Một số bài đầu tiên :

1/
Cho n, k nguyên thỏa [TEX]0\le k \le n [/TEX]
Chứng minh hệ thức sau :


Đề tuyển sinh đại học khối B - năm 2008

2/
Chứng minh với mọi số tự nhiên [TEX]n \ge 2[/TEX], ta có :


Đề tuyển sinh đại học Hùng Vương năm 2006

3/
Cho [TEX]k,n[/TEX] là các số nguyên và [TEX] 4 \le k \le n [/TEX]. Chứng minh :

 

[tex]\frac{n+1}{n+2}(\frac{ C_{n+1}^{k+1} + C_{n+1}^k }{C_{n+1}^k . C_{n+1}^{k+1}})=\frac{ 1 }{C_n^k}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\frac{n+1}{n+2}(\frac{ C_{n+2}^{k+1}}{C_{n+1}^k . C_{n+1}^{k+1}})=\frac{ 1 }{C_n^k}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\frac{n+1}{n+2} .(\frac{(n+2)!k!(k+1)!(n-k)!}{(k+1)!(n+1)!(n+1)!}=\frac{ 1 }{C_n^k}[/tex]
rút gon :
[tex]\Leftrightarrow\frac{ k!(n-k)!}{n!}=\frac{ 1 }{C_n^k}[/tex]

đpcm

[tex]\Leftrightarrow\frac{1}{2!C_2^2 }+\frac{1}{2!C_3^2 }+\frac{1}{2!C_4^2 }+......+\frac{1}{2!C_n^2 }=\frac{n-1}{n }[/tex]

[tex]=C_n^k + C_n^{k-1} + 3(C_n^{k-2 }+ C_n^{k-3}) + C_n^{k-3 }+ 3(C_n^{k-1} + C_n^{k-2}) + C_n^{k-4}[/TEX]

[tex]=C_{n+1}^k + C_{n+1}^{k-1} + 2(C_{n+1}^{k-1 }+ C_{n+1}^{k-2}) + C_{n+1}^{k-2 }+ C_{n+1}^{k-3}[/TEX]

[tex]=C_{n+2}^k + C_{n+2}^{k-2 }+ C_{n+2}^{k-1} + C_{n+2}^{k-1}[/TEX]

[tex]=C_{n+3}^{k-1} + C_{n+3}^k[/TEX]

[tex]=C_{n+4}^k[/tex]


@duynhan1: thêm câu : " thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học" vào tiêu đề thì mới kéo pic lên được )

 

post mấy bài dễ để các bạn vào làm :
1)tìm tất cả các số tự nhiên x,y sao cho
[tex]A_x^{y-1} :A_{x-1}^y:C_{x-1}^y=21:60:10[/tex]

nhìn bài này nhớ đến hồi lớp 3 :|

2)giải hệ pt :
[tex]\left{\begin{2A_y^x+5C_y^x=90}\\{5A_y^x-2C_y^x=80} [/tex]

 

Ko ai làm á
[TEX]DK : \left{ x,y \in N \\ x-1 \ge y [/TEX]
[TEX]A_{x-1}^y:C_{x-1}^y = 60 : 10 = 6[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y! = 6 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y = 3 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow A_x^{2} : A_{x-1}^3 = 21:60 = 7 : 20 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x!.(x-4)! }{ ( x-2)! . ( x -1)! } = \frac{7}{20} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 20x = 7( x - 2) ( x- 3) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x = 7 [/TEX](thỏa điều kiện )

[TEX]\huge \left{ x = 7 \\ y= 3 [/TEX]

[TEX]DK : \left{ x,y \in N \\ y \ge x [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ A_y^x = 20 \\ C_y^x = 10 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ x! = 2 \\ \frac{y!}{(y-x)! } = 20 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ x= 2 \\ y^2 - y - 20 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ x = 2 \\ y = 5 [/TEX] ( thỏa điều kiện )

 

Eo ơi các bạn học lí thuyết nhanh vậy,bọn tớ mới học đến quy tắc đếm và hoán vị,đọc các bài của các bạn chẳng hiểu lắm
Nhưng tớ post một bài lên cho tất cả cùng tham khảo nha
Chứng minh rằng:
[TEX]1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<3[/TEX]

Mà cho một bài nữa nha
Sắp xếp 9 người vào 1 dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a. Có 4 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau
b. Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau
Cả nhà giải chi tiết vào nha,tại dạng toán này chủ yếu và quang trọng là ở khâu biện luận mà
Càng nhiều cách càng tốt

 

Ta nhóm 4 người đó vào 1 nhóm. Cần sắp chỗ ngồi cho nhóm đó và 5 người còn lại có [TEX]\huge 6! [/TEX] cách.
Sắp xếp vị trí của 4 người đó trong nhóm có [TEX]\huge 4! [/TEX] cách.
Vậy tổng cộng có : [TEX] \huge 6!. 4! = 17 280[/TEX] cách.

b) Sắp xếp 9 người đó ngồi tùy ý thì có :

[TEX]\huge 9![/TEX] cách.

Sắp 2 người đó ngồi cùng với nhau thì tương tự câu a ta có :

[TEX]\huge 8!.2![/TEX] cách.

Vậy số cách xếp sao cho 2 người đó ko ngồi cùng với nhau là : [TEX]\huge 282240[/TEX] cách.

 

Ta có nhận xét sau, với [TEX]k> 2[/TEX] ta có :

[TEX] \frac{2}{n!} < \frac{1}{(n-1)!}[/TEX]

[TEX]\huge A <1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+ \frac{2}{n!} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow A < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{2}{2!} = 3 [/TEX]( điều phải chứng minh)

 

Tìm hệ số của trong phép khai triển :



hihi, màu xanh đẹp quá

 

Số cách sắp xếp 9 người ngồi thành 1 hàng tùy ý là: [TEX]9![/TEX] cách
Coi 2 người A và B trong số 9 người phải ngồi cạnh nhau là 1 nhóm
Khi đó số cách sắp xếp 9 người ngồi thành 1 hàng sao cho A và B ngồi cạnh nhau là:
[TEX]8!.2![/TEX] cách
\RightarrowSố cách sắp xếp 9 người ngồi thành 1 hàng sao cho A và B không ngồi cạnh nhau là:
[TEX]9!-(8!.2!)=282240[/TEX] cách
Duynhan1 ơi,xem hộ tớ giải thế này đúng không,tớ nghĩ là đúng

 

Số hạng tổng quát trong khai triển trên :

[TEX] T_{k+1} : C_10^k x^k( 2 + 3x)^k [/TEX]

Để tìm hệ số của [TEX]x^3[/TEX] ta suy ra [TEX]\left[ k= 3 \\ k = 2 [/TEX]

[TEX]k=2 [/TEX] ta có :

[TEX]C_10^2 x^2( 9x^2 + 12 x + 4) [/TEX]

Hệ số của [TEX]x^3[/TEX] là [TEX] C_10^2 . 12 [/TEX]

[TEX]k=3 [/TEX] ta có :

[TEX]C_10^3 x^3(2+ 3x)^3 [/TEX]

Hệ số của [TEX]x^3[/TEX] là [TEX] C_10^3 . 2^3 [/TEX]

Cộng lại ta có hệ số của [TEX]x^3[/TEX] trong khai triển là [TEX] C_10^3 . 2^3 + C_10^2 . 12=1500 [/TEX]

P/s: Chỉ dùng màu đỏ trong box mình quản lý thôi nhá !!!^^

 

Còn câu a này nữa,kết quả theo tớ là đúng,nhưng tớ còn 1 cách nữa,tớ nghĩ cũng đúng,nhưng ra kết quả thì lại khác(
Tớ post cách làm theo ý của tớ nha,rồi cả nhà chỉ cho tớ chỗ sai,rồi tớ sẽ rút kinh nghiệm
Giả sử 4 người trong nhóm 9 người muốn ngồi kề nhau là [tex] \overline{ABCD}[/tex]
Khi đó để xếp 9 người thành 1 hàng sao cho [tex] \overline{ABCD}[/tex] luôn ngồi cạnh nhau
Xếp A có 6 cách
B có 3 cách
C có 2 cách
D có 1 cách
Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí còn lại có [TEX]P_5=5![/TEX] cách
Theo quy tắc nhân ta có : [TEX]6.3.2.1.5!=4320[/TEX]
Ai chỉ được tớ sai ở đâu tớ thanks

 

Chỗ chọn B, C, D ko có căn cứ

 

Ý cậu là sao? Tớ không hiểu,nhưng "duynhan1" này,chỗ chọn A đấy có phải có 6 cách không? Hay là có 9 cách? Theo mình là 6,nhưng thực ra bài này tớ sai ở đâu?

Giờ đọc lại mới hiểu,hồi chiều tớ đọc nhầm
Sao lại không có căn cứ, [tex] \overline{ABCD}[/TEX]
Thì mình cứ giả sử cho dễ hiểu gồm có 1 ô là 1,2,3,4
Khi A ta xếp vào 1 ô,thì chỉ còn 3 ô,nó không thể trùng vs ô mà ta xếp A,vì đây là 4 người riêng biêt,không trùng nhau,khó diễn đạt quá....
Nhưng đúng là B có 3 cách,tớ nói thế này chắc cậu hiểu chứ?

.

 

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau )Tính tổng các số đó )

 

[TEX]( 5;6;7;8;9)[/TEX]

[TEX] A_5^5 [/TEX] cách.

Mỗi 1 vị trí thì các số [TEX]5;6;7;8;9[/TEX] lặp lại [TEX]A_4^4 [/TEX] lần nên ta có :

Tổng các số đó là :

[TEX] A_4^4 ( 5 + 6 + 7+ 8 + 9 ) ( 10^0 + .. + 10^4 ) [/TEX]

. .

 

Cho [TEX]A={(1;2)}[/TEX]. Có bao nhiêu số tự nhiên có [TEX]n[/TEX] chữ số mà có ít nhất [TEX]k[/TEX] số liên tiếp giống nhau được lập nên từ [TEX]A[/TEX]

 

tớ xin đố các bạn nha. Bài toán là thế này:Có 100 cái kẹo chia cho 5 cháu.hỏi có bao nhiêu cách chia thoả mãn cháu nào cũng có kẹo(100 cái đều phải chia hết)?

 

UH .
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát.

Số tập con 0 phần tử của A là ( tức tập rỗng) : [TEX]C_n^0[/TEX]

Số tập con 1 phần tử của A là : [TEX]C_n^1[/TEX]

........

Số tập con n phần tử của A là : [TEX]C_n^n [/TEX]

Tổng số tập con của A là : [TEX]C_n^0 + C_n^1 + ....+ C_n^n [/TEX](*)

Xét khai triển [TEX](1+x)^n = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1} +.....+ C_n^n[/TEX]

Với [TEX]x=1[/TEX] ta có :

[TEX]2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n [/TEX](*)(*)

Từ (*) và (*)(*) ta có :

Số tập con của A gồm n phần tử là [TEX]2^n [/TEX]

 

sai rồi bạn ơi.có thể hứơng của cậu đúng nhưng cậu lấy tập con của 95 kẹo là hoàn toàn sai do 95 cái nay phải chia hết cho 3 em mà.