[ltdh chuyên đề 1]tổ hợp

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi kimxakiem2507, 2 Tháng sáu 2010.

Lượt xem: 6,090

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    MỞ ĐẦU:TỔ HỢP lá một phần tự chọn trong đề thi đại học nhiều năm qua,là một phần có thể nói là dễ đối với những bạn đã nắm được nguyên lý hình thành của nó nhưng cũng thực sự quá khó khăn nếu như bạn không nắm được bản chất của nó mặc dù đã giải qua rất nhiều bài tập nhưng đó chỉ là nắm được cái ngọn còn gốc thì chưa biết đang nằm ở đâu nên rất dễ mất tự tin khi gặp loại bài này.hocmaihocmai!
    Phần I: Các công thức cơ bản:
    1) Hoán vị [TEX]:p_n=n![/TEX]
    2)Chỉnh hợp:[TEX]A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}[/TEX]
    3) Tổ hợp:[TEX]C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}[/TEX]
    4)[TEX]C_n^0=C_n^n=A_n^0=1[/TEX] [TEX]A_n^n=n![/TEX]
    5)[TEX]C_n^k=C_n^{n-k}[/TEX]
    6)[TEX]n,k\in{Z^*},k\le{n}[/TEX]
    7)Nhị thức newton:[TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k{a^{n-k}b^k[/TEX]


    Phần 2 :CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

    A)Dạng 1:Tìm hệ số của khai triển

    1) khi biểu thức khai triển chỉ có 2 phần tử

    +trong khai triển nhị thức newton phần tử của khai triển thứ [TEX]n[/TEX]ứng với [TEX]k=n-1 [/TEX]ví dụ phần từ thứ 1 ứng với k=0,thứ 2 ứng với k=1....

    +Đưa các số a,b về dạng [TEX] x^i[/TEX] (nếu có chứa x) nhớ [TEX]\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}[/TEX]) nếu số mũ nằm dưới mẫu thì đưa lên tử thêm dấu - trước mũ

    +Áp dụng nhị thức newton ,gom tất cà các phần tử có chứa [TEX]x[/TEX] về [TEX]x^{t}[/TEX],muốn tìm hệ số của phần tử [TEX]x^z[/TEX] ta cho tương ứng [TEX] t=z [/TEX] (nếu tìm hệ số khộng chứa [TEX] x [/TEX] ,không phụ thuộc[TEX] x [/TEX] thì ta cho [TEX] t=0[/TEX])

    +giải ra [TEX]k[/TEX],cái đứng trước [TEX] x^t[/TEX] sẽ là hệ số của nó cần tìm

    2) khi biểu thức có nhiều hơn 2 phần tử (mà thường gặp là 3 phần tử)

    +Nhóm các phần tử lại và xem như chỉ có 2 phần tử rồi áp dụng khai triển newton ,lại tiếp tục khai triển newton cho các phần tử trong đó nữa để cuối cùng ta đưa tất cả về [TEX]x^t[/TEX] và lại làm như trên(tuy nhiên sẽ từ điều kiện ràng buộc biểu thức có nghĩa để tìm ra các đại lượng [TEX]k,i...[/TEX],theo dõi các ví dụ bên dưới)

    VÍ DỤ 1 .Tìm hệ số của số hạng chứa [TEX]x^{43}[/TEX] trong kha triển sau:[TEX]\huge{(\sqrt{x^5}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^{21}[/TEX]
    [TEX]\huge{(\sqrt{x^5}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^{21}=(x^{\frac{5}{2}}+x^{\frac{-2}{3}})^{21}=\sum_{k=0}^{21} C_{21}^k(x^{\frac{5}{2}})^{21-k}.(x^{\frac{-2}{3}})^k[/TEX][TEX]=\sum_{k=0}^{21} C_{21}^kx^{\frac{5}{2}(21-k).+\frac{-2}{3}k[/TEX]
    Hệ số của [TEX]x^{43} [/TEX] tương ứng với [TEX]\frac{5}{2}(21-k).+\frac{-2}{3}k=43\Leftrightarrow{k=3[/TEX]Vậy hệ số cần tìm là [TEX]C_{21}^3[/TEX]



    VÍ DỤ 2:Cho biểu thức [TEX](\sqrt{x^3}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}})^n[/TEX] .Biết tổng hệ số của ba phần tử đầu tiên chứa x trong khai triển là [TEX]631[/TEX] hãy tìm hệ số của [TEX]x^5 [/TEX] trong khai triển trên

    [TEX]\huge{(\sqrt{x^3}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}})^n=(x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{-2}{3}})^n=\sum_{k=0}^n C_n^k(x^{\frac{3}{2}})^{n-k}.(3x^{\frac{-2}{3}})^k=\sum_{k=0}^n C_n^k3^kx^{\frac{3}{2}(n-k)-\frac{2k}{3}}[/TEX]
    Hệ số chứa x là [TEX] C_n^k3^k[/TEX] ba phần tử đầu tiên ứng với [TEX]k=0,1,2[/TEX] nên ta có [TEX]\huge{C_n^03^0+C_n^13^1+C_n^23^2=631\Leftrightarrow{n=12[/TEX]
    Hệ số của [TEX]x^5[/TEX] tương ứng với [TEX]\huge{\frac{3}{2}(12-k)-\frac{2k}{3}=5\Leftrightarrow{k=6[/TEX] Vậy hệ số cần tìm là [TEX]C_{12}^63^6[/TEX]

    VÍ DỤ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9[/TEX]
    [TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9=[1-(2x+x^{-2}]^9=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k(2x+x^{-2})^k=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i(2x)^{k-i}(x^{-2})^i][/TEX][TEX]\huge{=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i2^{k-i}x^{k-3i}][/TEX]
    Số hạng không chứa x tương ứng với [TEX]\left{k-3i=0\\0\le{i}\le{k}\le{9}\\i,k\in{Z^*}[/TEX][TEX]\Rightarrow{0\le{3i}\le9\Leftrightarrow{0\le{i}\le3[/TEX] vậy ta có các cặp [TEX](k,i) : (0,0)(3,1)(6,2)(9,3)[/TEX]
    Vậy số hạng cần tìm là tổng của :[TEX]C_9^k(-1)^kC_k^i2^{k-i}[/TEX]với các cặp như trên
    Nhận xét :thường thi loại này ít gặp trường hợp (k,i) là (0,0) nên đa số chúng ta nghĩ rằng không chọn cặp này vì ít thấy[TEX] C_0^0[/TEX] nhưng điều kiện tồn tại cùa [TEX]C_n^k[/TEX] đã chỉ ra rằng [TEX]n=0[/TEX] vẫn ok

    Các bài luyện tập :
    1)Tìm các giá trị của x sao cho trong tổng khai triển của [TEX]\huge{(\sqrt{2^x}+\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^n[/TEX] có tổng số hạng thứ [TEX]3[/TEX] và thứ [TEX]5[/TEX] là [TEX]135[/TEX] còn các hệ số của 3 số hạng cuối trong khai triển đó có tổng là [TEX]22[/TEX] (n nguyên đương)

    2)Với giá trị nào của x thì số hạng thứ [TEX]6[/TEX] trong khai triển nhị thức là [TEX]84[/TEX]
    [TEX]\huge{(2^{log_2\sqrt{9^{x-1}-7}}+2^{\frac{1}{5}log_2(3^{x-1}+1)})^7[/TEX]
    3)Trong khai triển của nhị thức sau [TEX]\huge{(x\sqrt[3]x+x^{\frac{-28}{15}})^n[/TEX] hãy tìm số hạng không chứa[TEX]x[/TEX] biết rằng [TEX]\huge{C_n^n+C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=79[/TEX]

    4) Hãy tìm hệ số của [TEX]x^8[/TEX] trong khai triển:[TEX]\huge{(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5})^n [/TEX] biết rằng :[TEX]C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3) (khoi A 2003)[/TEX]

    5)Tìm hệ số của [TEX]x^8[/TEX]trong khai triển [TEX][1+x^2(1-x)]^8 (\mathrm{\blue{khoiA-2004)[/TEX]

    6) Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển[TEX] (\sqrt3+\sqrt[3]2)^{19}[/TEX]

    7)Tìm hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] trong khai triển [TEX]\mathrm{ (1 + x- x^2)^{20} [/TEX]

    Các bạn hãy ủng hộ thật nhiều bài tập dạng này nhé,mình sẽ lần lượt trình bày tất cả các dạng còn lại(với những gì mình biết),chúc tất cả các bạn vui nhé!
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng sáu 2010
  2. lamanhnt

    lamanhnt Guest

    thử một bài trước đã.
    Xét:
    [tex]C_n^n+C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=79[/tex]

    [tex]1+n+\frac{n(n-1)}{2}=79[/tex]

    [tex]n^2-n-156=0[/tex]

    [tex]n=12(TM), n=-13(loai)[/tex]

    xét biểu thức:

    [tex](x.\sqrt[3]{x}+x^{\frac{-28}{15}})^n[/tex]

    [TEX]=\sum_{k=0}^{n}.C_n^k.(x.\sqrt[3]{x})^{n-k}.(x^{\frac{-28}{15}})^k[/tex]

    [TEX]=\sum_{k=0}^{n}.C_n^k.x^{\frac{4}{3}.n-\frac{16}{5}.k}[/tex]

    Số hạng không chứa x nên
    [tex]\frac{4}{3}.n-\frac{16}{5}.k=0[/tex]

    [tex]16-\frac{16}{5}.k=0[/tex]

    -->[tex]k=5[/tex]
    Vậy số hang không chứâ x là : [tex]C_{12}^5[/tex]
     
  3. rooney_cool

    rooney_cool Guest

    [​IMG]

    Vậy n = 12

    Khai triển:

    [​IMG]

    Theo bài ra [TEX]\Rightarrow (-3)(12-k)+\frac{5}{2}k = 8[/TEX]

    Giải ra ta được k = 8. Vậy hệ số của [TEX]x^8[/TEX] là [TEX]C_{12}^{8}[/TEX] :-SS:-SS:-SS:-SS
     
  4. lamanhnt

    lamanhnt Guest

    [tex][1+x^2(1-x)]^8[/tex][tex]=C_8^0+[/tex][tex]C_8^1.x^2(1-x)+C_8^2.x^4.(1-x)^2+[/tex]
    [tex]C_8^3.x^6.(1-x)^3+C_8^4.x^8.(1-x)^4+C_8^5.x^10.(1-x)^5+C_8^6.x^12.(1-x)^6+[/tex]
    [tex]C_8^7.x^14.(1-x)^7+C_8^8.x^16.(1-x)^8[/tex]
    [tex]a_8=C_8^3.C_3^2+C_8^4.C_4^0=238[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng sáu 2010
  5. lamanhnt

    lamanhnt Guest

    [tex]C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)[/tex]

    [tex](C_{n+3}^{n+1}+C_{n+3}^n)-C_{n+3}^n=7(n+3)[/tex]

    [tex]C_{n+3}^{n+1}=7(n+3)[/tex]

    [tex] C_{n+3}^2=7(n+3)[/tex]

    [tex] \frac{(n+2)(n+3)}{2!}=7(n+3) [/tex]

    [tex] n=12[/tex]

    Số hạng tổng quát của khai triển:

    [tex] C_12^k.(x^{-3})^k.(x^{\frac{5}{2})^{12-k}=C_12^k.x^{\frac{60-11k}{2}}[/tex]

    [tex] x^{\frac{60-11k}{2}}=x^8 [/tex]
    [tex] -->k=4 [/tex]
    Hệ số của số hạng chứa [tex] x^8[/tex]
    [tex] C_{12}^4=[/tex][tex]\frac{12!}{4!(12-4)!}=495[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng sáu 2010
  6. lamanhnt

    lamanhnt Guest

    Mình làm mọi người xem sai sót chỗ nào.
    [tex]

    [tex](2^{\frac{x}{2}+2^{1-x}{2})^n=\sum_{k=0}^{n}.C_n^k.(2^{\frac{x}{2}})^{n-k}.(2^{\frac{1-x}{2}})^k[/tex]

    [tex]=\sum_{k=0}^{n}.C_n^k.2^{\frac{nx}{2}-kx}[/tex]

    Số hạng thứ 3 là:

    [tex]C_n^2.2^{\frac{nx}{2}-2x}[/tex]

    Số hạng thứ 5 là:

    [tex]C_n^4.2^{\frac{nx}{2}-5x}[/tex]

    --->>>[tex]C_n^2.2^{\frac{nx}{2}-2x}+C_n^4.2^{\frac{nx}{2}-5x}=135[/tex](1)
    ****
    3 Số hạng cuối ứng với [tex]k=n-1, k=n-2, k=n-3[/tex]

    Tổng hệ số 3 số hạng cuối là 22--->>[tex]x(\frac{3n}{2}+6)=22[/tex](2)

    từ (1), (2)---> x.(Anh giải giùm)

    [/tex]
    [tex][/tex]
    [tex][/tex]
     
  7. bài log mình trích trên đề khác về nên bị lỗi ,cái đó là -7
     
  8. [TEX]3[/TEX] số hạn cuối trong khai triển sẽ ứng với [TEX]k=n,k=n-1,k=n-2[/TEX]
     
  9. lamanhnt

    lamanhnt Guest

    Anh trình bày hộ em cái bài đấy với:D:D:D. Giải ra cụ thể hộ em với:D
     
  10. (Ở đây đề bài đã cho khá lừa đảo và sẽ có nhiều ý kiến trái ngược về đề bài này tuy nhiên hệ số trong khai triển của [TEX](a+b)^n[/TEX] hoàn toàn chính xác là [TEX]C_n^k[/TEX] chỉ vì chúng ta thường làm với hệ số của[TEX] x [/TEX]nên đâm ra lo lắng và vội vàng khẳng định đề bài sai)

    Hệ số của các số hạng trong khai triển là [TEX]C_n^k[/TEX] hệ số ba số hạng cuối ứng với [TEX]k=n,k=n-1,k=n-2[/TEX]
    ta sẽ có :[TEX]C_n^n+C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=22[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{n=6[/TEX]
    Số hạng thứ [TEX]3[/TEX] và thứ [TEX]5[/TEX] sẽ ứng với [TEX]k=2,k=4[/TEX] đến nay thì đã dễ dàng rồi phả không các bạn!
    Chúc các bạn vui nhé và hãy cố gắng làm nhiều bài tập ,đừng nghĩ cứ thấy quen quen thì nghĩ là làm được vì đã biết dạng rồi nhưng thực tế thì đôi khi không phải vậy,thi đại học mà ít người ra đề nào lương thiện như chúng ta lắm hehehehehehehe:D:D
     
  11. thuy11b10_mk

    thuy11b10_mk Guest

    Giúp t bài này với!thanks!

    Cho[TEX] (\frac{nx}{4}+\frac{2}{x^3})^n [/TEX]có tổng các hệ số là 81 .tìm hệ số của [TEX]x^4[/TEX]
     
  12. Bạn cho lại đề cho rõ ràng xíu nha bạn,tổng hệ số của các số hạng trong khai triển hay tổng hệ số của các số hạng chứa x(lúc này sẽ rắc rối vì sẽ loại trừ những trường hợp không chứa x ,mình nhận thấy đề bài này hoàn toàn không chặt chẽ,thường thì dạng này phải cho luôn khai triển cho rõ ràng ví dụ như :[TEX]a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n[/TEX]
     
  13. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    Dạng bài này chúng ta cứ tùy tiện thay x=1
    Như vậy [tex]{(\frac{n}{4}+2) }^{n}=81={3}^{4}[/tex]
    Vì n nguyên dương nên n=2 hoặc n=4
    Thay vào ta được n=4
    Không cần thay cũng được vì [tex]\frac{n}{4} [/tex] phải là số nguyên
    Việc còn lại là tìm [tex]{x}^{4}[/tex]
    Ta viết lại biểu thức là [tex]{(x+\frac{2}{{x}^{3}}) }^{4}[/tex]
    Khai triển ra ta có hệ số cần tìm là 1
     
    Last edited by a moderator: 6 Tháng sáu 2010
  14. Như mình đã nói đề bài đã không rõ ràng .
    +hệ số của khai triển [TEX](a+b)^n [/TEX]sẽ là [TEX]C_n^k[/TEX] do đó nếu bài toán cho là tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển thì sẽ có [TEX]\sum_{k=0}^nC_n^k=(1+1)^n=81[/TEX] (vô lý vì [TEX]n[/TEX] nguyên dương)
    +Nếu là tổng của các số hạng chứa[TEX] x [/TEX]thì lúc đó buộc phải xét đến trường hợp có các số hạng không chứa [TEX]x[/TEX]để loạ trừ ra.
     
  15. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    không đâu anh ơi đề cho quá rõ ràng là tổng các hệ số.
    Biểu thức trên khi khai triển sẽ được
    [​IMG]
    mà a(o)+a(1)+a(2)+...+a(n)=81 (2)
    khi cho x=1 thì (1)=(2)=biểu thức
     
  16. thuy11b10_mk

    thuy11b10_mk Guest

    cái đề trên là đề của trường CĐGT 2005 t trích nguyên đề rồi đó, t ko biết làm
    các Mod đọc xong xoá giùm t bài này
     
  17. +Do đó mình mới cảm thấy đề bài không rõ ràng ,tổng các hệ số là sao?tổng các hệ số của khai triển ,tổng hệ số của các số hạng chứa x,còn như bạn làm là tổng hệ số của các số hạng sau khi đã khai triển theo x.Mình biết ý của đề là như bạn làm nhưng như vậy là hoàn toàn không rõ ràng,chúng ta đâu có cơ sở nào để khẳng định tổng các hệ số ở trên là sau khi đã khai triển theo x?nếu đề cho rõ ràng như vậy thì không có gì phải bàn cải.
    +Không quan trọng đề đó ở đâu ra ,chúng ta hoàn toàn có thể đánh giá đề bài,đề đại học chẳng phải năm nào cũng có sai sót đó sao.
    +Theo quan điểm của mình là như vậy,kết thúc bài này ở đây ,chúng ta sẽ nghiên cứu những đề bài khác đi
     
  18. lamanhnt

    lamanhnt Guest

    [tex]C_{2n+1}^1-2.2.C_{2n+1}^2+3.2^2.C_{2n+1}^3-4.2^3.C_{2n+1}^4+....+(2n+1).2^{2n}.C_{2n+1}^{2n+1}=2005.[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 15 Tháng sáu 2010
  19. [TEX](1+x)^{2n+1}=\sum_{k=0}^{2n+1}C_{2n+1}^kx^k[/TEX]
    Lấy đạo hàm hai vế
    [TEX]:(2n+1)(1+x)^{2n}=\sum_{k=1}^{2n+1}C_{2n+1}^kkx^{k-1}[/TEX]
    Thay [TEX]x=-2[/TEX] vào hai vế ta được :[TEX]2n+1=2005\Leftrightarrow{x=1002[/TEX]
     
  20. lamanhnt

    lamanhnt Guest

    tính tổng:
    [tex]S=(\frac{C_n^0}{1})^2+(\frac{C_n^1}{2})^2+...+( \frac{C_n^n}{n+1} )^2[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng sáu 2010
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->