Cho hàm số [TEX]y= x^3 + (1-2m)x^2 + (2-m)x + m + 2[/TEX]
Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc [TEX]\alpha[/TEX] biết [TEX] cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}[/TEX]
[TEX]y'= 3x^2 + 2(1-2m)x + (2-m)[/TEX]
Gọi [TEX]\vec{n} = ( a; b) ( a^2 + b^2 \not=0 ) [/TEX] là vecto pháp tuyến của đường thẳng [TEX](\Delta) [/TEX] tạo với đường thẳng [TEX](d)[/TEX] một góc [TEX]\alpha[/TEX] có [TEX]cos \al = \frac{1}{\sqrt{26}} [/TEX]. Ta có :
[TEX]cos \al = \frac{| a. 1 + b.1 | }{\sqrt{2} . \sqrt{a^2+b^2} } \\ \Leftrightarrow a^2 + b^2 = 13(a+b)^2 \\ \Leftrightarrow \left[ 2a+ 3b = 0 \\ 3a + 2b = 0 [/TEX]
[TEX]TH1: 2a + 3b=0 . \Rightarrow k_1 = \frac{-a}{b} = \frac32 [/TEX]
[TEX]TH2: 3a + 2b = 0 \Rightarrow k_2 = \frac{-a}{b} = \frac23 [/TEX]
Đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường thẳng [TEX]d: x + y + 7 = 0[/TEX] góc [TEX]\alpha [/TEX] khi và chỉ khi
[TEX]\left[ k_1= 3x^2 + 2(1-2m) x + (2-m) \ co\ nghiem \ (1) \\ k_2 = 3x^2 + 2(1-2m) x + (2-m) \ co\ nghiem\ (2) \right. (*)[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow (1-2m)^2 - 3( 2-m-\frac32) \ge 0 \\ \Leftrightarrow 4m^2 -m - \frac12 \ge 0 \\ \Leftrightarrow \left[ m \ge \frac12 \\ m \le - \frac14 \right. \ \ \ \ (I) [/TEX]
[TEX](2) \Leftrightarrow (1-2m)^2 - 3 ( 2-m - \frac23) \ge 0 \\ \Leftrightarrow 4m^2 - m - 3 \ge 0 \\ \Leftrightarrow \left[ m \ge 1 \\ m \le - \frac34 \right. \ \ \ \ (II)[/TEX]
Kết hợp (I) và (II) ta có :
[TEX](*) \Leftrightarrow \left[ m \ge \frac12 \\ m \le - \frac14 [/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn