1 bài bdt đơn giản nhưng làm ko ra ???

L

lengfenglasaingay

duongvituan said:
x,y,z>0
[TEX]x^2 + y^2 + z^2 =3[/TEX]
cmr : [TEX]\frac{x}{3-x} + \frac{y}{3-y} + \frac{z}{3-z} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

mọi người làm thử đi :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]\frac{3}{2}-\sum_{cyc}\frac{x}{3-x}=\sum_{cyc}\frac{3(1-x)}{2(3-x)}=\sum_{cyc}\frac{3(1-x)^2}{2(3-x)}+\sum_{cyc}\frac{3(1-x}{4}[/tex]
[tex]=\sum_{cyc}\frac{3(x-1)^2}{2(3-x)}+-\frac{3}{4}(x+y+z)+\frac{9}{4}\geq 0(dpcm)[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac{x}{3-x}<=\frac{3}{2}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
K

kitty286

Hình như là sai đề thì phải, mình thay số vào thì thấy ko thỏa tẹo nào. :p
Lẽ ra phải là: x/(3-x) + y/(3-y) + z/ (3-z) \leq 3/2
Cách giải của mình nè:
(1)\Leftrightarrow x/(3-x) +1 + y/(3-y) +1 + z/ (3-z) +1 \leq 9/2
\Leftrightarrow 1/(3-x) + 1/(3-y) + 1/(3-z) \leq 3/2
Ta chứng minh đc : 1/(3-n) \leq n^2/2
\Leftrightarrow (n-1)^2. (n+2)\geq0 ( đúng;) )
Hihi, giải như zậy ko bik đúng ko nữa, có gì mọi người chỉ với nhé!
 
Last edited by a moderator:
D

duongvituan

kitty286 said:
Hình như là sai đề thì phải, mình thay số vào thì thấy ko thỏa tẹo nào. :p
Lẽ ra phải là: x/(3-x) + y/(3-y) + z/ (3-z) \leq 3/2
Cách giải của mình nè:
(1)\Leftrightarrow x/(3-x) +1 + y/(3-y) +1 + z/ (3-z) +1 \leq 9/2
\Leftrightarrow 1/(3-x) + 1/(3-y) + 1/(3-z) \leq 3/2 (OK)
Ta chứng minh đc : 1/(3-n) \leq n^2/2 (....................)
\Leftrightarrow (n-1)^2. (n+2)\geq0 ( đúng;) ) ( ****************************?????? @-))
Hihi, giải như zậy ko bik đúng ko nữa, có gì mọi người chỉ với nhé!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Banj kiểm tra lại thử :D ..............................:-SS
 
T

tvht_2607

bạn bị nhầm dấu oy ở cái chỗ ta chứng minh được
.bạn nhân lên đi là biết.
 
T

tvht_2607

(1) x/(3-x) +1 + y/(3-y) +1 + z/ (3-z) +1\geq 9/2
1/(3-x) + 1/(3-y) + 1/(3-z) \geq 3/2
Ta chứng minh đc 1/(3-x)\geq(x^2)/2 cái kia tương tự
 
K

kitty286

tvht_2607 said:
(1) x/(3-x) +1 + y/(3-y) +1 + z/ (3-z) +1\geq 9/2
1/(3-x) + 1/(3-y) + 1/(3-z) \geq 3/2
Ta chứng minh đc 1/(3-x)\geq(x^2)/2 cái kia tương tự
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Hehe, bạn giải vẫn sai! Vì 1/(3-x) ko \geq(x^2)/2.
Tóm lại là nếu đi theo hướng đó thì sẽ ko ra đáp án. Mình mới có cách khác nè, mọi người cho ý kiến nhé!
x/(3-x) + y/(3-y) +z/ (3-z) \geq 3/2
\Leftrightarrow15(x+y+z)-7(xy+yz+zx)+3xyz-27\leq0 (quy đồng)
Ta luôn tìm đc nghiệm (x;y;z) sao cho x^2+y^2+z^2=3 và thỏa xy+yz+zx=m, xyz=n (m, n là số thực bất kì >0)
Xét hàm số f(x+y+z)=15(x+y+z)-7(xy+yz+zx)+3xyz-27
f'(x+y+z)=15>0 \Rightarrow Hàm số đồng biến trên (0;+\infty)
\Rightarrow max f=0 \Leftrightarrow (x+y+z) max
Mà (x+y+z)^2\leq3(x^2+y^2+z^2)=9 (BĐT Bunhiacopxki)
\Rightarrow(x+y+z) max = 3
Dấu = xáy ra khi x=y=z=1
Thay vào f (3)= 15.3-7.3+3.1-27 = 0 = max f : đúng!
\Rightarrowđpcm.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom