Toán 9 Cho ba số a,b,c thỏa mãn $-1\le a,b,c\le 1$ và $a+b+c=0$

Vanhau1988
Từ gt ta có: [imath]|a|\le 1; |b|\le 1; |c|\le 1[/imath]
[imath]\Rightarrow b^6\le b^2; c^{2022}\le c^2[/imath]
Mà [imath]-1\le b\le 1\Rightarrow b^7\le b^2[/imath]
Ta có: [imath](a+1)(b+1)(c+1)\ge 0; (a-1)(b-1)(c-1)\le 0[/imath]
[imath]\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)-(a-1)(b-1)(c-1)\ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2ab+2bc+2ca+2\ge 0\Rightarrow -(2ab+2bc+2ca)\le 2[/imath]
[imath]a+b+c=0\Rightarrow (a+b+c)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-(2ab+2bc+2ca)[/imath]
Ta có: [imath]a^2+b^7+c^{2022}\le a^2+b^2+c^2=-(2ab+2bc+2ca)\le 2[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

Một bất đẳng thức khá hiệu quả trong dạng biến bị giới hạn giữa [imath]-1[/imath] và [imath]1[/imath]:
Với [imath]-1 \leq x \leq 1[/imath] ta có BĐT sau: [imath]x^{2k} \geq x^{m} \forall m,k \in \mathbb{N}: m>2k[/imath]
Chứng minh: BĐT trên tương đương với [imath]x^{2k}(1-x^{m-2k}) \leq 0[/imath]
Vì [imath]x^{2k} \geq 0, -1 \leq x \leq 1 \Rightarrow x^{m-2k} \leq 1[/imath] nên ta có đpcm.
Quay lại với bài toán. Ta thấy [imath]b^7 \leq b^2, c^{2022} \leq c^2[/imath] nên [imath]a^2+b^7+c^{2022} \leq a^2+b^2+c^2[/imath]
Trong [imath]3[/imath] số [imath]a,b,c[/imath] luôn tồn tại [imath]2[/imath] số có tích không âm, giả sử đó là [imath]b,c[/imath].
Khi đó [imath]bc \geq 0[/imath] nên [imath]a^2+b^2+c^2=(b+c)^2+b^2+c^2=2(b^2+bc+c^2) \leq 2(b^2+2bc+c^2)=2(b+c)^2=2a^2 \leq 2[/imath]
[imath]\Rightarrow a^2+b^7+c^{2022} \leq 2[/imath]
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi [imath]a=1,b=0,c=-1[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức