Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a. SD= a và AC giáo BD tại O. Mp (SAC) vuông góc với mp (ABCD). Góc giữa SC và mp (ABCD) bằng 30 độ. Biết [tex]SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]. Tính thể tích S.ABCD và góc giữa SO và AD
Mọi người giúp mình bài này với ạ. Mình cảm ơn nhiều.
ta có: $ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow BD\bot AC$
Mà $(SAC)\cap (ABCD)=AC$
Suy ra $BD\bot (SAC)\Rightarrow BD\bot SO$
$\Rightarrow OD=\sqrt{SD^2-SO^2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}\Rightarrow BD=a\sqrt2$
$\Rightarrow BC^2+CD^2=BD^2$
Suy ra $\Delta ACD$ vuông cân tại $C\Rightarrow ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC=a\sqrt2$
Ta có: $SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$
Kẻ $SE\bot AC\Rightarrow SA\bot(ABCD)$
$\Rightarrow (SC,(ABCD))=\widehat{SCA}=30^\circ$
$\cos \widehat{SCA}=\dfrac{SC}{AC}\Rightarrow SC=\dfrac{a\sqrt6}{2}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{a\sqrt2}{2}\Rightarrow SE=\dfrac{a\sqrt6}{4}$
$S_{SABCD}=\dfrac13SE.S_{ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt6}{12}$
Ta có :$AE=\sqrt{SA^2-SE^2}=\dfrac{a\sqrt2}{4}\Rightarrow E$ là trung điểm của $AO$
Gọi $F$ là trung điểm của $CD$
Kẻ $EG\bot CD$
$EG=\dfrac{3}{4}AD=\dfrac34a;\: GF=\dfrac{1}{2}DF=\dfrac{1}{4}DC=\dfrac14a$
$\Rightarrow EF=\sqrt{EG^2+GF^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$
$\Rightarrow SF=\sqrt{SE^2+SF^2}=1$
$\cos \widehat{SOF}=\dfrac{SO^2+OF^2-SF^2}{2SO.OF}=\dfrac{-\sqrt2}{4}$
$\Rightarrow (SO,AD)=(SO,OF)=\arccos \dfrac{\sqrt2}{4}$
Có gì khúc mắc bạn hỏi lại nhé <3
Ngoài ra bạn có thể xem thêm tài liệu
tại đây nha. Chúc bạn học tốt!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
