Toán 11 Chứng minh $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$

boywwalkman said:

Mọi người giúp em làm câu này với ạ:
Chứng minh nếu |q|<1 thì lim [tex]q^n[/tex] =0 với định lí sau:
Cho hai dãy số [tex](u_{n})[/tex] và [tex](v_{n})[/tex]
nếu [tex]|u_{n}|\leq v_{n}[/tex] với mọi n thì [tex]limu_{n}[/tex] = [tex]limv_{n}[/tex]
Em cảm ơn.

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Xét: $0<q<1$
Đặt $\dfrac{1}{q^n}=(1+p)^n\ge 1+pn\: (p>0)$ (BĐT Bernoulli)
$\Rightarrow 0<q^n\le \dfrac{1}{1+pn}$
Ta có: $\lim \dfrac{1}{1+pn}=0$
Suy ra $\lim q^n=0$
$\Rightarrow \lim |q^n| =0$
$\Rightarrow \lim q^n=0$ đúng cho cả trường hợp $-1<q<0$
Câu sau em có nhầm gì không nhỉ
nếu $u_n=\dfrac{1}{n}\quad v_n=n$
thì $|u_n|\le v_n\: \forall n\in \mathbb{N}$
Mà $\lim u_n=0;\: \lim v_n=+\infty$

boywwalkman said:

Chị ơi sgk họ ghi chứng minh được cái em ghi bằng định lí trên ạ

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

nó ở trang bao nhiêu thế em

boywwalkman said:

Dạ trang 129 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao ạ

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

$\lim v_n=0$ thì $\lim u_n=0$ nó không có nghĩa là $\lim v_n=\lim u_n$ nha em
định lí phát biểu sao mình chỉ được làm i chang v không có được xuyên tạc nha.
ở khúc này nếu là áp dụng định lí đó thì là
$\Rightarrow |q^n|\le \dfrac{1}{1+pn}$
Mà $\lim \dfrac{1}{1+pn}=0$
nên $\lim q_n=0$
Không biết em biết chưa nhưng chị muốn giới thiệu em thêm Nguyên lí kẹp, định lí trên chỉ là một trường hợp thôi.
Cho các dãy số $(x_n),(y_n),(z_n)$ thỏa
$y_n\le x_n\le z_n\: \forall x\ge k\: $ ($k$ là một số tự nhiên cho trước)
nếu $\lim y_n=\lim z_n=a$ thì $\lim x_n=a$