Toán 12 Tính: $\displaystyle \int\limits x^2\sqrt{x^2-1}\, \mathrm{d}x$

Raumdeuter said:

Giúp em 3 câu này vs ạ
View attachment 195111

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1. Đặt $x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$
$\Rightarrow dx=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}dt$
Ta có $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2-1}=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$
$\displaystyle \int x^2\sqrt{x^2-1}dx=\displaystyle \int \left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2.\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}.\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}dt$
$=\displaystyle \int \left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2.\left(\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2dt$
$=\dfrac{1}{16}\displaystyle \int (e^{2t}-e^{-2t})^2 dt=\dfrac{1}{16}\displaystyle \int (e^{4t}-2+e^{-4t})dt$
$=\dfrac{1}{64}(e^{4t}-8t+e^{-4t})$
Ta có: $x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}=\dfrac{e^{2t}+1}{2e^t}\Rightarrow e^{2t}-2xe^t+x^2=x^2-1$
$\Rightarrow e^t=\sqrt{x^2-1}+x\Rightarrow t=ln(\sqrt{x^2-1}+x)$
Em thay t vô biểu thức trên là ra r nhé <3

Raumdeuter said:

chị ơi cho e hỏi bài này có làm theo cách đặt ẩn lượng giác đc k ạ. Cách này là cách đặt ẩn j ạ và sao lại đặt và biến đổi đc như thế ạ

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Lúc đầu c cũng làm lượng giác mà biến đổi có vẻ là không ra được, và sau khi làm cách trên thì e cũng thấy kết quả r đấy, có lẽ cái bài này không làm lượng giác hóa được đâu.
c cũng tham khảo cách này từ một người khác, c cũng k rõ tên gọi của nó là gì nữa ^ ^
biến đổi thì là theo như trên thoi e cứ biến đổi từ từ là ra nhé

Raumdeuter said:

Giúp em 3 câu này vs ạ
View attachment 195111

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Câu 2: $I=\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}dx$

Đặt $t=\sqrt{x^2-4}+x\Rightarrow(t-x)^2=x^2-4\Leftrightarrow t^2-2tx+4=0\Leftrightarrow x=\dfrac{t^2+4}{2t}\Rightarrow dx=\dfrac{t^2-4}{2t^2}dt$

$I=\displaystyle\int\dfrac{\left(\frac{t^2+4}{2t}\right)^2}{t-\frac{t^2+4}{2t}}\cdot\frac{t^2-4}{2t^2}dt=\displaystyle\int\dfrac{(t^2+4)^2}{4t^3}dt=\displaystyle\int\dfrac{t^4+8t^2+16}{4t^3}dt=\dfrac14\cdot\displaystyle\int tdt+2\cdot\displaystyle\int\dfrac1tdt+4\cdot\displaystyle\int\dfrac{1}{t^3}dt$

$=\dfrac{1}{8}t^2+2\ln{|t|}-\dfrac{2}{t^2}+C=\dfrac{1}{8}(\sqrt{x^2-4}+x)^2+2\ln{|\sqrt{x^2-4}+x|}-\dfrac{2}{(\sqrt{x^2-4}+x)^2}+C$

Mình gửi bạn câu 2 nha, chúc bạn học tốt