Toán 9 tìm GTNN pp điểm rơi

[tex]A = x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{9}{x+y+z}=\frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{9}{8(x+y+z)}+\frac{9}{8(x+y+z)}+\frac{27}{4(x+y+z)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{27}{64}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{27}{4}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi: [tex]x=y=z=\frac{1}{2}[/tex]

manh huy said:

ơ khoan bác dấu lớn hơn bằng đầu tiên suy ra từ đâu đấy ạ

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Do $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{9}{a+b+c}$
Cái này chứng minh bằng biến đổi tương đương được bạn nhé

[tex]A=x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\\ =x^2+\frac{1}{4}+y^2+\frac{1}{4}+z^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{3}{4}\\ \geq 2\sqrt{x^2.\frac{1}{4}}+2\sqrt{y^2.\frac{1}{4}}+2\sqrt{z^2.\frac{1}{4}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{3}{4}\\ =x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{3}{4}\\ =4x+\frac{1}{x}+4y+\frac{1}{y}+4z+\frac{1}{z}-3(x+y+z)-\frac{3}{4}\\ \geq 2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{4y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{4z.\frac{1}{z}}-3.\frac{3}{2}-\frac{3}{4}\\ =2.2+2.2+2.2-\frac{9}{2}-\frac{3}{4}\\ =\frac{27}{4}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]x=y=z=\frac{1}{2}[/tex]