Toán 9 Bất đẳng thức

phong nguyen1234 said:

Mọi người cho em hỏi bài này với ạ:
Cho a,b,c,k>=0.CMR:
ab/b+2kc+k^2a +bc/c+2ka+k^2b +ca/a+2kb+k^2c <=a+b+c/(k+1)^2

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Có [tex]\frac{ab}{b+2kc+k^2a}=\frac{ab}{(2k+\frac{1-2k}{3}+\frac{k^2-2k}{3})^2}.\frac{(2k+\frac{1-2k}{3}+\frac{k^2-2k}{3})^2}{2k(a+b+c)+(1-2k)b+(k^2-2k)a}\leq \frac{ab}{(2k+\frac{1-2k}{3}+\frac{k^2-2k}{3})^2}.(\frac{2k}{(a+b+c)}+\frac{\frac{1-2k}{9}}{b}+\frac{\frac{k^2-2k}{9}}{a})[/tex]
[tex]\Rightarrow (2k+\frac{1-2k}{3}+\frac{k^2-2k}{3})^2.LHS=\frac{(k+1)^4}{9}.LHS\leq \sum (\frac{2k.ab}{(a+b+c)}+\frac{\frac{1-2k}{9}.ab}{b}+\frac{\frac{k^2-2k}{9}.ab}{a})[/tex]
$=\frac{2k}{a+b+c}(ab+bc+ca)+\frac{(1-2k)}{9}(a+b+c)+\frac{(k^2-2k)}{9}(a+b+c)$
$\leq \frac{2k}{a+b+c}\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{(a+b+c)}{9}(k^2-4k+1)=(a+b+c)(\frac{2k}{3}+\frac{k^2-4k+1}{9})=(a+b+c)(\frac{(k+1)^2}{9})$
[tex]\Rightarrow LHS\leq \frac{a+b+c}{(k+1)^2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi a=b=c

Bạn có thể tham khảo thêm bài tập về phần BĐT tại đây nhé:https://diendan.hocmai.vn/threads/bat-dang-thuc.740292/

Nếu không hiểu phần nào bảo mình nhé . Chúc bạn học tốt ^^