Toán 9 Tính giá trị biểu thức

kaede-kun said:

Tính giá trị biểu thức [tex]x^{2} + y^{2}[/tex] biết rằng :
[tex]x\sqrt{1-y^{2}} + y\sqrt{1-x^{2}} =1[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

x^2+y^2 = 1

ĐK: [tex]-1\leq x,y \leq1[/tex]
Ta có: [tex]x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\\ \Leftrightarrow 2x\sqrt{1-y^2}+2y\sqrt{1-x^2}=2\\ \Leftrightarrow 2-2x\sqrt{1-y^2}-2y\sqrt{1-x^2}=0\\ \Leftrightarrow (x^2-2x\sqrt{1-y^2}+1-y^2)+(y^2-2y\sqrt{1-x^2}+1-x^2)=0\\ \Leftrightarrow (x-\sqrt{1-y^2})^2+(y-\sqrt{1-x^2})^2=0[/tex]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} (x-\sqrt{1-y^2})^2\geq 0\\ (y-\sqrt{1-x^2})^2\geq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow (x-\sqrt{1-y^2})^2+(y+\sqrt{1-x^2})^2\geq0[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi: [tex]\left\{\begin{matrix} -1\leq x,y\leq 1\\ x-\sqrt{1-y^2}=0\\ y-\sqrt{1-x^2}=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow x^{2}+y^{2}=1[/tex]
Kết luận: ...

Cách khác weeeeeeeeeeeee...
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng $ab \le \frac{a^2+b^2}{2}$, ta có:
[tex]x\sqrt{1-y^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2}, y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{y^2+1-x^2}{2}[/tex]
$\Rightarrow x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2} \le \frac{x^2+1-y^2+y^2+1-x^2}{2}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $x= \sqrt{1-y^2}, y= \sqrt{1-x^2}$
$\Leftrightarrow x^2=1-y^2, y^2=1-x^2 \Leftrightarrow x^2+y^2=1$