Toán 10 Bất đẳng thức

Dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=c, ta sẽ chứng minh [tex]M \leq \frac{2}{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sum \left ( \dfrac{1}{a^2+b^2+3}-\dfrac{1}{3} \right )\leq -\dfrac{1}{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+3}\geq 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{\left ( \sum \sqrt{a^2+b^2} \right )^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}\geq 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq 9[/tex]
Mà [tex]\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq \sum \sqrt{(a^2+bc)^2}=\sum (a^2+bc)=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca[/tex]
Nên ta chỉ cần chứng minh:
[tex]2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) \geq 9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2\geq 9[/tex]
Hiển nhiên đúng do [tex]a^2+b^2+c^2 \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2[/tex]