Toán 8 Chứng minh lớn hơn hoặc bằng khi cho [tex]a,b,c>0; a+b+c=6[/tex]

Junery N said:

Cho [tex]a,b,c>0; a+b+c=6[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geq 6[/tex]
Thanks

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Dùng BĐT bunhiacopxki cho a^2; b^2 ; 1 ;1 là ổn thôi

Junery N said:

Cho [tex]a,b,c>0; a+b+c=6[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geq 6[/tex]
Thanks

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Xét bất đẳng thức sau: [tex]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}[/tex] ( x , y>0)
Chứng minh bất đẳng thức trên:
[tex]\Leftrightarrow a^2y(x+y)+b^2x(x+y)\geq xy(a+b)^2\Leftrightarrow xy(a^2+b^2)+a^2y^2+b^2x^2\geq xy(a^2+b^2)+2xyab\Leftrightarrow (ay - bx)^2\geq 0[/tex]
( luôn đúng)
Do đó:
[tex]\frac{a^2+b^2}{a+b}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{a^2}{a+b}\geq \frac{(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{a+b}{2}[/tex]
Tương tự : [tex]\frac{b^2+c^2}{b+c}\geq \frac{b+c}{2}; \frac{c^2+a^2}{a+c}\geq \frac{a+c}{2}[/tex]
Thay vào bài ta có:
[tex]\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{c^2+b^2}{c+b}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\geq \frac{2(a+b+c)}{2}= 6[/tex] ( bài toán được chứng minh)