Toán 9 PT nghiệm nguyên

tutuyet2018@gmail.com said:

CMR PT [tex]x^2+5=y^3[/tex] không có nghiệm nguyên.
Mọi người dùng bổ đề [tex](a^2+b^2) \vdots p => a \vdots p, b\vdots p[/tex] với [tex]p=4k+3[/tex] được không nhỉ?

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bạn nhầm bổ đề rồi nha... p=4k+1 nha
và bổ đề 2 nên dùng ở bải này là:
với a;b nguyên tố cùng nhau thì ước nguyên tố lẻ của a^2+b^2 là 4k+1, không có ước là 4k+3
pt <=> x^2+4= (y-1).(y^2+y+1)
giờ quay về bài toán chứng minh VP có ước nguyên tố là 4k+3 thì phương trình vô nghiệm
+, với y lẻ => VP chia hết cho 2 => x chẵn => VT chia hết cho 4 => VP chia hết cho 4
mà y^2+y+1 lẻ => y-1 chia hết cho 4 => y=4m+1
=> y^2+y+1 đồng dư 3 (mod 3) tức y^2+y+1= 4n+3
suy ra VP phải có ước nguyên tố là 4k+3 vì nếu chỉ có 4k+1 thì (4k+1).(4e+1)=...=4q+1
suy ra vô nghiệm theo bổ đề
+, với y=4k => y-1 đồng dư 3 => vô nghiệm
với y=4k+2 => y^2+y+1=(4k+2)^2+4k+2+1=...=4l+3
=> vô nghiệm
vậy pt đã cho vô nghiệm

Đọc phương trình Mordell hay PT Diophante dạng $ y^2=x^3+k$ trong đó $ k$ là một số nguyên khác 0