Toán 12 Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tạo bình phương

Lê Thị Hàn said:

em hỏi một chút ạ, ở ví dụ số 3, để tìm a, mình đặt g(x) = a.x nhưng
ở ví dụ số 3 cái dữ liệu ở phần biến đối là f'(x) khác vs các vd trc là f(x)
cái chỗ =2/3 ý ạ
nên vì nó là f'(x) thì g(x) vẫn là x trong đó ạ??

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Tiến Phùng said:

* Lý thuyết:
+ Với hàm f(x) bất kì liên tục trên [a;b] ( [a;b] là đoạn mà ta sẽ lấy tích phân ), ta có [tex]f^2(x)\geq 0[/tex], với mọi x thuộc [a;b] nên [tex]\int_{a}^{b}f^2(x)dx\geq 0[/tex]. Dấu "=" khi và chỉ khi f(x)=0.

+ Vận dụng: từ lý thuyết trên, ta cố gắng biến đổi giả thiết đề cho, về dạng: [tex]\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))^2dx=0[/tex] , với [TEX]g(x)[/TEX] là một hàm tường minh. Từ đó ta suy ra f(x) = g(x). Ta sẽ có f(x) tường minh để tính nguyên hàm.

* Bài tập :
1. Cho hàm f(x) liên tục, có đạo hàm trên [3;6], thỏa mãn: [tex]\int_{3}^{6}f^2(x)dx=63,\int_{3}^{6}xf(x)dx=63[/tex] . Tính [tex]I=\int_{3}^{6}f(x)dx[/tex]

Giải: ta kì vọng biến đổi về dạng: [tex]\int_{3}^{6}(f(x)-g(x))^2dx=0<=>\int_{3}^{6}f^2(x)dx-\int_{3}^{6}2f(x)g(x)dx+\int_{3}^{6}g^2(x)dx=0[/tex]

Ở đề ta đã có [TEX]\int_{3}^{6}xf(x)dx=63<=>\int_{3}^{6}2xf(x)dx=126[/TEX]., như vậy ta dự đoán [TEX]g(x)=x[/TEX], vậy ta có : [tex]\int_{3}^{6}g^2(x)dx=[/tex] [tex]\int_{3}^{6}x^2dx[/tex]

+ Tính được : [tex]\int_{3}^{6}x^2dx=63[/tex]
=>[tex]\int_{3}^{6}f^2(x)-2\int_{3}^{6}xf(x)dx+\int_{3}^{6}x^2dx=63-126+63=0[/tex]
<=>[tex]\int_{3}^{6}(f(x)-x)^2dx=0<=>f(x)=x[/tex]

Vậy [tex]I=\int_{3}^{6}f(x)dx=\int_{3}^{6}xdx=27/2[/tex]

2. Cho hàm f(x) liên tục, có đạo hàm trên [3,4] thỏa mãn [tex]\int_{3}^{4}f^2(x)dx=\frac{7029}{5}[/tex],
[tex]\int_{3}^{4}f(x)x^2dx=\frac{2343}{5}[/tex]. Tính [tex]I=\int_{3}^{4}f(x)dx[/tex] .

Giải: tương tự với suy nghĩ ở bài 1, ta đoán là [TEX]f(x)=x^2[/TEX], do đó ta tính:
[tex]\int_{3}^{4}g^2(x)dx=\int_{3}^{4}x^4dx=\frac{781}{5}[/tex]

Tuy nhiên khi cộng vào thì lại không hợp bằng 0:
[tex]\int_{3}^{4}f^2(x)dx-2\int_{3}^{4}f(x)x^2dx+\int_{3}^{4}x^4dx=\frac{7029}{5}-2.\frac{2343}{5}+\frac{781}{5}\neq 0[/tex]

Vậy ta cần phải nghĩ lại, [TEX]f(x)=ax^2[/TEX], với hệ số a tùy ý và cần tìm ra nó, chứ không nhất thiết a=1.

+ Tìm a: [tex]\int_{3}^{4}(f(x)-ax^2)^2dx=0<=>\int_{3}^{4}f^2(x)dx-2a\int_{3}^{4}f(x)x^2dx+\int_{3}^{4}a^2x^4dx=0[/tex]

<=>[tex]\frac{7029}{5}-2a.\frac{2343}{5}+a^2.\frac{781}{5}=0<=>a^2-6a+9=0<=>a=3[/tex]

=> [TEX]f(x)=3x^2[/TEX].

+ Chú ý: nếu trong 1 bài toán tự luận, ta không viết bước tìm a, mà tìm ra nháp. Còn khi viết vào thì chỉ viết thẳng: [tex]\int_{3}^{4}(f^2(x)-6f(x)x^2+9x^2)dx=0<=>f(x)=3x^2[/tex]

Vậy [tex]I=\int_{3}^{4}3x^2dx=37[/tex]

3. Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn: [tex]\int_{0}^{1}[f'(x)]^2dx=\frac{4}{3}[/tex] , [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}[/tex] , f(1)=1. Tính [tex]I=\int_{0}^{1}f^3(x)dx[/tex]

Giải: ở bài này ta có biểu thức bình phương là : [tex][f'(x)]^2[/tex] , nhưng lại không có [tex]\int_{0}^{1}f'(x).g(x)dx[/tex] trong dữ kiện, do đó ta nghĩ đến sử dụng tích phân từng phần để làm xuất hiện [TEX]f'(x)[/TEX]

+ Đặt u=f(x)=>u'=f'(x)
v'=1 chọn v = x
=>[tex]\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}<=>xf(x)|^1_0-\int_{0}^{1}xf'(x)=\frac{1}{3}<=>\int_{0}^{1}xf'(x)=\frac{2}{3}[/tex]

( Ở trên đã dùng đến dữ kiện f(1)=1 thay vào để tính)

Vậy đến đây sử dụng phương pháp tìm a như bài 2, ta có a=2: [tex]\int_{0}^{1}[f'(x)]^2-4\int_{0}^{1}xf'(x)dx+\int_{0}^{1}4x^2dx=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0[/tex]

<=>[TEX]f'(x)=2x<=>f(x)=x^2+C[/TEX]
Do f(1)=1 nên C=0 => [TEX]f(x)=x^2[/TEX]

Vậy [tex]I=\int_{0}^{1}x^6dx=\frac{1}{7}[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...