Toán 12 Tìm nguyên hàm

Ý tưởng của mình giống như tách hữu tỉ thôi

24. $\int \dfrac{1 - x^2}{x + x^3} \, \mathrm{d}x$
$= \int \dfrac{(1 + x^2) - 2x^2}{x(1 + x^2)} \, \mathrm{d}x$
$= \int \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x - \int \dfrac{2x}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x$
$= \ln | x | - \int \dfrac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}(x^2)$
$= \ln |x| - \ln |1+ x^2| + C$

25. $\int \dfrac{1 + x^2}{1 + x^4} \, \mathrm{d}x$
$= \int \dfrac{1 + x^2}{(1 - \sqrt{2} x + x^2)(1 + \sqrt{2} x + x^2)} \, \mathrm{d}x$ (do $1 + x^4 = 1 + 2x^2 + x^4 - 2x^2 = (1 + x^2)^2 - 2x^2 = \ldots$)
$= \int \dfrac12 \cdot \dfrac{(1 - \sqrt{2}x + x^2) + (1 + \sqrt{2}x + x^2)}{(1 - \sqrt{2} x + x^2)(1 + \sqrt{2} x + x^2)} \, \mathrm{d}x$
$= \int \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{1 + \sqrt{2} x + x^2} \, \mathrm{d}x + \int \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{1 - \sqrt{2} x + x^2} \, \mathrm{d}x$
Tới đây bạn tự làm tiếp nhé (dùng phép thế lượng giác hay $\int \dfrac{1}{x^2 + a} \, \mathrm{d}x = \dfrac1{\sqrt{a}} \arctan (\dfrac{x}{\sqrt{a}}) + C$)