Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

Nữ Thần Tự Do · 5 Tháng một 2020

Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

shorlochomevn@gmail.com · 5 Tháng một 2020

Nữ Thần Tự Do said:
Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

đặt VT=A
xét [tex]B=\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\\\\ => A-B=....=0 => A=B\\\\ => 2A=\frac{(a+b).(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c).(b^2-bc+c^2)}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a).(c^2-ca+a^2)}{c^2+ca+a^2}\\\\ +, \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\\\\ <=> 3a^2-3ab+3b^2-a^2-ab+b^2\geq 0\\\\ <=> 2.(a^2-2ab+b^2)\geq 0\\\\ =>....[/tex]

7 1 2 5 · 5 Tháng một 2020

Dễ chứng minh BĐT phụ:[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}\Leftrightarrow 3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)\Leftrightarrow 3a^3-(2a-b)(a^2+ab+b^2)\geq 0\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0[/tex].
Áp dụng BĐT trên cho 2 đa thức còn lại ta có:[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}+\frac{2b-c}{3}+\frac{2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}[/tex](đpcm)
*Bài này mình sử dụng phương pháp U.C.T(hệ số bất định)

Nữ Thần Tự Do · 5 Tháng một 2020

Mộc Nhãn said:
Dễ chứng minh BĐT phụ:[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}\Leftrightarrow 3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)\Leftrightarrow 3a^3-(2a-b)(a^2+ab+b^2)\geq 0\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0[/tex].
Áp dụng BĐT trên cho 2 đa thức còn lại ta có:[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}+\frac{2b-c}{3}+\frac{2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}[/tex](đpcm)
*Bài này mình sử dụng phương pháp U.C.T(hệ số bất định)

làm sao tìm ra được [tex]\frac{2a-b}{3 }[/tex] ạ?

7 1 2 5 · 5 Tháng một 2020

Bạn tham khảo

mbappe2k5 · 5 Tháng một 2020

Nữ Thần Tự Do said:
Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

Có phải bạn định Cauchy ở mẫu nhưng không thành công đúng không?
Để khắc phục thì phải tìm cách làm sao để các phân thức ở vế trái mang dấu trừ, như thế mới Cauchy được.
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a-\frac{a^2b+ab^2}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}[/tex].
Tương tự xong cộng lại ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX].

Nữ Thần Tự Do · 6 Tháng một 2020

mbappe2k5 said:
Có phải bạn định Cauchy ở mẫu nhưng không thành công đúng không?
Để khắc phục thì phải tìm cách làm sao để các phân thức ở vế trái mang dấu trừ, như thế mới Cauchy được.
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a-\frac{a^2b+ab^2}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}[/tex].
Tương tự xong cộng lại ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX].

ồ, mình không nghĩ đến cái này luôn đó, thật tuyệt vời, cảm ơn bạn nhiều.
mình không áp dụng co si cho toàn mẫu mà chỉ áp dụng cho ab, bc, ca thôi, nhưng kết quả không được gì cả

có bài này mình cũng muốn hỏi mọi người
Với a,b >0 chứng minh: [tex]\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{8}\geq 64ab\left ( a +b\right )^{2}[/tex]
bài này mình thử nhiều cách rồi nhưng vẫn chưa làm được, mong mọi người giúp nha

Nguyễn Ngọc Trà My said:
cho hình bình hành ABCD có AB=8cm, AD = 12cm góc ABC nhọn và diện tích tam giác ABC bằng 27cm^2. Tính cos (
$gif.latex$
,
$gif.latex$
)

Bạn dùng công thức định lí hàm cos nhé

bạn

Tư mã tương như said:
Bạn dùng công thức định lí hàm cos nhé

bạn làm được chưa vậy

7 1 2 5 · 6 Tháng một 2020

Nữ Thần Tự Do said:
có bài này mình cũng muốn hỏi mọi người
Với a,b >0 chứng minh: [tex]\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{8}\geq 64ab\left ( a +b\right )^{2}[/tex]
bài này mình thử nhiều cách rồi nhưng vẫn chưa làm được, mong mọi người giúp nha

[tex](\sqrt{a}+\sqrt{b})^8=(a+b+2\sqrt{ab})^4\geq [2\sqrt{(a+b).2\sqrt{ab}}]^4=64(a+b)^2.ab(đpcm)[/tex]

Tungtom · 7 Tháng một 2020

Nữ Thần Tự Do said:
Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

Liệu mình làm thế này có sai không ạ?
Ta có: [tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a^{3}.\frac{1}{a}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}=\frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}=\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}};\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}}[/tex]
Cộng theo tưng̀ vế: VT= [tex] \frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}+\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}}+\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}} [/tex][tex]\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )+\frac{abc\left ( a+b+c \right )}{abc}}=\frac{a+b+c}{3}[/tex]

Nữ Thần Tự Do · 7 Tháng một 2020

Cộng theo tưng̀ vế: VT= [tex] \frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}+\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}}+\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}} [/tex][tex]\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )+\frac{abc\left ( a+b+c \right )}{abc}}=\frac{a+b+c}{3}[/tex][/QUOTE]
đoạn này bạn lý giải giúp mình được không, mình không hiểu lắm

mbappe2k5 · 7 Tháng một 2020

Tungtom said:
Liệu mình làm thế này có sai không ạ?
Ta có: [tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a^{3}.\frac{1}{a}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}=\frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}=\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}};\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}}[/tex]
Cộng theo tưng̀ vế: VT= [tex] \frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}+\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}}+\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}} [/tex][tex]\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )+\frac{abc\left ( a+b+c \right )}{abc}}=\frac{a+b+c}{3}[/tex]

Mình thấy sai sai ở chỗ [tex]\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}=\frac{abc(a+b+c)}{abc}[/tex], chỗ đấy bạn quy đồng sai nhé.

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

Nữ Thần Tự Do

Học sinh chăm học

shorlochomevn@gmail.com

Học sinh tiến bộ

7 1 2 5

Cựu TMod Toán

Nữ Thần Tự Do

Học sinh chăm học

7 1 2 5

Cựu TMod Toán

mbappe2k5

Học sinh gương mẫu

Nữ Thần Tự Do

Học sinh chăm học

7 1 2 5

Cựu TMod Toán

Tungtom

King of Mathematics

Nữ Thần Tự Do

Học sinh chăm học

mbappe2k5

Học sinh gương mẫu