Toán 9 Tìm GTNN

lòng non ngon hơn lòng gà said:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm GTNN của biểu thức [tex]P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]x^2+5=x^2+xy+yz+zx=(x+y).(x+z)\\\\ => 6.(x^2+5)=(3x+3y).(2x+2z) \leq \frac{(3x+3y+2x+2z)^2}{4}\\\\ => \sqrt{6.(x^2+5)}\leq \frac{5x+3y+2z}{2}\\\\ CMTT: \sqrt{6.(y^2+5)}\leq \frac{5y+3x+2z}{2}\\\\ \sqrt{z^2+5}=\sqrt{(x+z).(y+z)}\leq \frac{x+y+2z}{2}\\\\ => \sqrt{6.(x^2+5)}+\sqrt{6.(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}\leq \frac{9x+9y+6z}{2}\\\\ => P\geq \frac{3x+3y+2z}{\frac{3}{2}.(3x+3y+2z)}=\frac{2}{3}[/tex]
dấu "=" <=> ..... <=> x=y=1 và z=2
vậy...