Toán 9 BĐT với biến bị chặn

ankhongu said:

1. Cho các số thực [tex]1 \leq a, b \leq 2[/tex]. Tìm max : [tex]P = (a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})[/tex]
Thầy mình bảo bài này có 2 cách, ai biết có thể giúp mình cả 2 cách với được không vậy ? Mình nghĩ chưa ra

2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3
Tìm max của : [tex]P = ab^2 + bc^2 + ca^2[/tex] (Mình làm được rồi, nhưng muốn đối chiếu đáp án)

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

2. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=0, b=1, c=2[/TEX] và các hoán vị nhé.
KMTTQ, giả sử [TEX]b[/TEX] nằm giữa [TEX]a[/TEX] và [TEX]c[/TEX].
Khi đó [TEX]a(b-a)(b-c)\leq 0 <=> a(b^2-bc-ba+ac)\leq 0 <=> ab^2+ca^2\leq a^2b+abc <=> ab^2+bc^2+ca^2\leq a^2b+abc+bc^2=b(a^2+ac+c^2)\leq b(a^2+2ac+c^2)=b(a+c)^2=b(3-b)^2[/TEX].
Ta chứng minh [TEX]b(3-b)^2\leq 4[/TEX]. Thật vậy BĐT tương đương với [TEX]b^3-6b^2+9b-4\leq 0 <=> (b-1)^2(b-4)\leq 0[/TEX] (luôn đúng).
Vậy [TEX]maxP=4[/TEX].

[tex]P=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2[/tex]
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]1\leq a\leq b\leq 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}\geq 1>\frac{1}{2} & \\ \frac{b}{a}\leq 2 & \end{matrix}\right.[/tex]
Đặt [tex]\frac{b}{a}=x\Rightarrow \frac{1}{2}<x\leq 2\Leftrightarrow (2x-1)(x-2)\leq 0\Leftrightarrow 2x^2+2\leq 5x\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow P=x+\frac{1}{x}+2\leq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex](a;b)=(1;2)[/tex] hoặc [tex](2;1)[/tex]

ankhongu said:

1. Cho các số thực [tex]1 \leq a, b \leq 2[/tex]. Tìm max : [tex]P = (a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})[/tex]
Thầy mình bảo bài này có 2 cách, ai biết có thể giúp mình cả 2 cách với được không vậy ? Mình nghĩ chưa ra

2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3
Tìm max của : [tex]P = ab^2 + bc^2 + ca^2[/tex] (Mình làm được rồi, nhưng muốn đối chiếu đáp án)

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Câu 1
Cả 2 cách luôn :v
Vừa đọc hôm qua luôn