Toán 9 Chứng minh

Ko Rachel said:

Bài 1: Tìm số tự nhiên gồm 4 chữ số [tex]\overline{abcd}[/tex] biết rằng nó là 1 số chính phương; chia hết cho 9 và d là 1 số nguyên tố.
Bài 2: Giải pt:[tex]\sqrt{17-x^{2}}=(3-\sqrt{x})^{2}[/tex].
Bài 3: Giải pt nghiệm nguyên :[tex]2x^{2}+3y^{3}+4x=19[/tex].
Bài 4: Cho a,b,c>0. CMR:
[tex]\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geqslant28[/tex]
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của pt :
xy+yz+zx=xyz+2.9
Bài 6: Tính x+y biết
[tex](x+\sqrt{x^{2}+2019})(y+\sqrt{y^{2}+2019})=2019[/tex] .

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài 1
Vì abcd là một số chính phương nên d ∉ { 2 ; 3 ; 7 ; 8 }
Mặt khác, d là một số nguyên tố có một chữ số, suy ra d = 5.
⇒ abcd ⋮ 25
kết hợp với giả thiết abcd ⋮ 9
⇒ abcd ⋮ 225
Đặt abcd = 225 x^2 Vì abcd là số tư nhiên có 4 chữ sỗ
⇒ 5 ≤ x^2 ≤ 44
⇒ 3 ≤ x ≤ 6
Thử lần lượt các giá trị trong khoảng trên và tìm được abcd thoả mãn là 2025 và 5625.
Có đoạn nào ko hiểu thì bạn có thể hỏi nha
Bài 5 mình từng làm nhưng hình như nó không có số 9
Bài 6
Bạn nhân liên hợp với [tex](x-\sqrt{x^{2}+2019}) và (y-\sqrt{y^{2}+2019}) rồi sẽ ra[/tex]

Ko Rachel said:

Bài 5 mình gõ dư số 9

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài 1
5 ≤ x^2 ≤ 44
Vì x^2 thay vào phải thỏa mãn kiều kiện là abcd là 4 chữ số nên x^2 nằm trong khoảng số đó ( cái này phải thay vào )
⇒ 3 ≤ x ≤ 6
Trong khoảng 5 ≤ x^2 ≤ 44 thì chỉ có khoảng từ 3 đến 6 bình lên mới nằm trong đó thui
Bài 5
Tìm nghiệm nguyên dương của pt : xy+yz+zx=xyz+2.(1)
Do vai trò của x,y,z bình đẳng , nên ko mất tính tổng quát
Giả sử [tex]x\geq y\geq z\geq 1[/tex]
=> xy+yz+zx [tex]\leq[/tex] xy+xy+xy =3xy (2)
(1)(2)=> 3xyz[tex]\geq[/tex] xyz+2
Hay 3xy [tex]\geq xyz[/tex]
=> z<3
Do z là số nguyên
=> z=1 , z=2
Khi z=1 , do x,y nguyên dương=>x=y=1
Khi z =2 => (x-2)(y-2)=2
Do [tex]x\geq y\geq z\geq 1 \rightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=2 \\ y-2=1 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}x=4 \\ y=3 \end{matrix}\right.[/tex]
Vậy (x,y,z)=(1,1,1) ; (4,3,2)

Ko Rachel said:

Bài 4: Cho a,b,c>0. CMR:
[tex]\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geqslant28[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài 4
Đặt [tex]A=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}[/tex]
[TEX]A=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+(a+b+c)^{2}\frac{(a+b+c)}{abc}[/TEX]
[tex]A=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+(a^2+b^2+c^2)( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2(ab+bc+ca)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})[/tex]
Áp dụng cauchy ta có
[tex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}[/tex]
[tex]\Rightarrow (\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})(ab+bc+ca)\geq 9[/tex]
mà[tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A\geq \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+([tex] \Leftrightarrow A\geq (\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})+\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+18[/tex] )\frac{9}{ab+bc+ca}+2.9[/tex]
[tex]\Rightarrow A\geq 2+8+18=28[/tex]

Ko Rachel said:

Bài 3: Giải pt nghiệm nguyên :[tex]2x^{2}+3y^{3}+4x=19[/tex].

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]2x^2+3y^3+4x=19[/tex] [tex]\Leftrightarrow 2x^2+4x+2=21-3y^3\Leftrightarrow 2(x+1)^2=3(7-y^3)[/tex]
Vễ trái lớn hớn hoặc bằng 0 ên vế phải lớn hơn hoặc bằng 0=> [tex]y^3\leq 7\Rightarrow y\epsilon {1,0}[/tex]
Rùi thay y vào thử thôi, theo mình nghĩ là vậy
P/s: sorry mình tưởng y nguyên dương

Tungtom said:

[tex]2x^2+3y^3+4x=19[/tex] [tex]\Leftrightarrow 2x^2+4x+2=21-3y^3\Leftrightarrow 2(x+1)^2=3(7-y^3)[/tex]
Vễ trái lớn hớn hoặc bằng 0 ên vế phải lớn hơn hoặc bằng 0=> [tex]y^3\leq 7\Rightarrow y\epsilon {1,-1,0}[/tex]
Rùi thay y vào thử thôi, theo mình nghĩ là vậy

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Nhưng y đâu có dương nhỉ? Thế thì chỉ suy ra được [TEX]y\leq 1[/TEX] thôi.

Ko Rachel said:

Bài 1: Tìm số tự nhiên gồm 4 chữ số [tex]\overline{abcd}[/tex] biết rằng nó là 1 số chính phương; chia hết cho 9 và d là 1 số nguyên tố.
Bài 2: Giải pt:[tex]\sqrt{17-x^{2}}=(3-\sqrt{x})^{2}[/tex].
Bài 3: Giải pt nghiệm nguyên :[tex]2x^{2}+3y^{3}+4x=19[/tex].
Bài 4: Cho a,b,c>0. CMR:
[tex]\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geqslant28[/tex]
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của pt :
xy+yz+zx=xyz+2.9
Bài 6: Tính x+y biết
[tex](x+\sqrt{x^{2}+2019})(y+\sqrt{y^{2}+2019})=2019[/tex] .

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bài 2: ĐKXĐ: 0<= x <= căn 17
[tex]\sqrt{17-x^{2}}=(3-\sqrt{x})^{2}\\\\ <=> \sqrt{17-x^{2}}-1=(3-\sqrt{x})^{2}-1\\\\ <=> \frac{16-x^2}{\sqrt{17-x^2}+1}=(3-\sqrt{x}-1).(3-\sqrt{x}+1)\\\\ <=> \frac{(4-x).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}=(4-\sqrt{x}).(2-\sqrt{x})\\\\ <=> \frac{(2-\sqrt{x}).(2+\sqrt{x}).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}=(2-\sqrt{x}).(4-\sqrt{x})\\\\ <=> (2-\sqrt{x}).(\frac{(2+\sqrt{x}).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}+\sqrt{x}-4)=0 (1)\\\\ *, 0\leq x<1\\\\ => +,2+\sqrt{x}< 3; 4+x < 5 => (2+\sqrt{x}).(4+x)<15\\\\ +, \sqrt{17-x^2}>\sqrt{17-1}=4\\\\ => \frac{(2+\sqrt{x}).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}<3\\\\ => \frac{(2+\sqrt{x}).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}+\sqrt{x}-4 < 3+1-4=0\\\\ *, x=1 => \frac{(2+\sqrt{x}).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}+\sqrt{x}-4=0\\\\ *, x>1 => 2+\sqrt{x} > 3; 4+x > 5 => (2+\sqrt{x}).(4+x) > 15\\\\ +, \sqrt{17-x^2}<\sqrt{17-1}=4\\\\ => \frac{(2+\sqrt{x}).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}>3\\\\ => \frac{(2+\sqrt{x}).(4+x)}{\sqrt{17-x^2}+1}+\sqrt{x}-4 > 3+1-4=0\\\\[/tex]
suy ra pt (1) <=> x thuộc {1;4}
bạn xem lại hộ mình bài 3 @@