Nhưng lưu ý là bạn này học lớp 8 nên hoàn toàn không được dùng công thức của bạn đâu.
Toán 8 Tam giác vuông
- Thread starter Nguyễn Thành Nghĩa
- Ngày gửi
- Replies 40
- Views 1,717
Nếu chứng minh theo cách sử dụng ∆ đồng dạng hoặc ct diện tích đều không được, thì bạn thử nêu cách của đi!
- 20 Tháng chín 2013
- 5,014
- 7,479
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM
Nghe bảo topic đang bàn về $S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC \iff S_{ABC}$ vuông nhỉ
Nếu là lớp 9 thì dễ dàng thấy $\dfrac12 AB \cdot AC \cdot \sin A = S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC \iff \sin A = 1 \iff A = 90^\circ$ (do $0 < A < 180^\circ$)
Nếu là các lớp dưới thì... cũng làm như vậy nhưng khác xíu thôi
Gọi $BK$ là đường cao thì $\dfrac12 BK \cdot AC = S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC$ hay $BK = AB$. Mà theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên thì $BK \leqslant AB$
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $A$ trùng $K$ hay $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$
Nếu là lớp 9 thì dễ dàng thấy $\dfrac12 AB \cdot AC \cdot \sin A = S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC \iff \sin A = 1 \iff A = 90^\circ$ (do $0 < A < 180^\circ$)
Nếu là các lớp dưới thì... cũng làm như vậy nhưng khác xíu thôi
Gọi $BK$ là đường cao thì $\dfrac12 BK \cdot AC = S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC$ hay $BK = AB$. Mà theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên thì $BK \leqslant AB$
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $A$ trùng $K$ hay $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$
Còn một câu nữa mọi người giúp mình luôn nha
Nếu [tex]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}[/tex] thì[tex]\Delta ABC[/tex] vuông
@iceghost ; @who am i? ; @Quân (Chắc thế)
Nếu [tex]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}[/tex] thì[tex]\Delta ABC[/tex] vuông
@iceghost ; @who am i? ; @Quân (Chắc thế)
[tex]VP=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}[/tex]
Đẳng thức[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{AB^2+AC^2}=\frac{AH^2}{AB^2.AC^2}=\frac{sin^2B}{AC^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow AC^2=AB^2.sin^2B+AC^2.sin^2B\Leftrightarrow AC^2(1-sin^2B)=AC^2.sin^2B\Leftrightarrow AC^2.cos^2B=AB^2.sin^2B[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{cos^2B}{sin^2B}=cot^2B[/tex]
=> ∆ABC vuông tại A
- 7 Tháng sáu 2019
- 507
- 1,460
- 146
- Thanh Hóa
- Trường THPT Nông Cống 2
Bạn ơi, mình hỏi chút là bạn có cách nào không dùng tỉ số lượng giác gì không, mấy cái này hơi phức tạp
- 18 Tháng chín 2017
- 1,266
- 2,329
- 261
- 19
- Hà Nội
- Trường Mần Non
Ta có:
[tex]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{BC^{2}}{(AB.AC)^{2}}[/tex]
Bỏ bình phương đi
=>[tex]\frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.CA}[/tex]
Như đã CM AB.AC=BC.AH (ở trên)
=>[tex]\frac{1}{AH}=\frac{BC}{BC.AH}[/tex]
=> đúng
=> đpcm
Tam giác ABC đã vuông đâu mà có AB^2+AC^2=BC^2 bạn ơi? CM hoàn toàn không chặt chẽ nhé, tự nhiên đi dùng cái cần CM để CM là thế nào?
- 18 Tháng chín 2017
- 1,266
- 2,329
- 261
- 19
- Hà Nội
- Trường Mần Non
Ừ nhỉ mới để ý
[TEX]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}[/TEX]
Nhân chéo lên
=>[tex](AB.AC)^{2}=AH^{2}(AB^{2}+AC^{2})[/tex]
mà [TEX]AB.AC=AH.BC[/TEX]
=>[tex]AH^{2}.BC^{2}=AH^{2}(AB^{2}+AC^{2})[/tex]
=>[TEX]BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}[/TEX]
=> ABC vuông tại A
Còn j sai hông nè ^^
Last edited:
Không có ý làm loãng topic này đâu, nhưng AB.AC=AH.BC là bạn tự thừa nhận hay ở đau ra vậy? Tam giác ABC đã vuông đâu???
Không, nhưng yêu cầu đề của bạn chỉ có [TEX]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}[/TEX] thôi, làm gì có AB.AC=AH.BC đâu. 2 yêu cầu đề đó là 2 yêu cầu riêng biệt.
Nếu ∆ABC mà có AH.BC=AB.AC thì nó vuông rồi khỏi cần thêm gt để chứng minh
Đây là 2 phần riêng biệt nhé!
- 18 Tháng chín 2017
- 1,266
- 2,329
- 261
- 19
- Hà Nội
- Trường Mần Non
Ta có:
[tex]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}-2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}-\frac{2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
Chuyển vế
=> [tex]\frac{1}{AH^{2}}+\frac{2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
=> [tex]\frac{AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}}{AB^{2}.AC^{2}.AH^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}.AH^{2}}{AH^{2}.AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}=(AB+AC)^{2}.AH^{2}[/TEX]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}=AH^{2}.AB^{2}+AC^{2}.AH^{2}+2.AB.AC.AH^{2}[/TEX]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}=AH^{2}.AB^{2}+AC^{2}.AH^{2}[/TEX]
[tex]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}-2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}-\frac{2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
Chuyển vế
=> [tex]\frac{1}{AH^{2}}+\frac{2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
=> [tex]\frac{AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}}{AB^{2}.AC^{2}.AH^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}.AH^{2}}{AH^{2}.AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}=(AB+AC)^{2}.AH^{2}[/TEX]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}=AH^{2}.AB^{2}+AC^{2}.AH^{2}+2.AB.AC.AH^{2}[/TEX]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}=AH^{2}.AB^{2}+AC^{2}.AH^{2}[/TEX]
[tex]\Delta ABC[/tex] vuông tại A có đường cao AH
=> [TEX]AB.AC=AH.BC[/TEX]
Ta có:[tex]\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{BC^2}{AH^2.BC^2}=\frac{1}{AH^2}[/tex] [tex]\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{BC^2}{AH^2.BC^2}=\frac{1}{AH^2}[/tex] (đpcm)
Hé hé [TEX]AB^2+AC^2=BC^2[/TEX] là đúng rồi nha
Thế thì chẳng khác gì: cho ∆ABC vuông tại A, bắt cm [tex]\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}[/tex] à!Chắc CM theo cách quy nạpTa có:
[tex]\frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}-2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}-\frac{2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
Chuyển vế
=> [tex]\frac{1}{AH^{2}}+\frac{2.AB.AC}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
=> [tex]\frac{AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}}{AB^{2}.AC^{2}.AH^{2}}=\frac{(AB+AC)^{2}.AH^{2}}{AH^{2}.AB^{2}.AC^{2}}[/tex]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}=(AB+AC)^{2}.AH^{2}[/TEX]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}+2AB.AC.AH^{2}=AH^{2}.AB^{2}+AC^{2}.AH^{2}+2.AB.AC.AH^{2}[/TEX]
=> [TEX]AB^{2}.AC^{2}=AH^{2}.AB^{2}+AC^{2}.AH^{2}[/TEX]
=> [tex]\frac{AB^{2}.AC^{2}}{AB^{2}+AC^{2}}=AH^{2}[/tex]
[tex]\Delta ABC[/tex] vuông tại A có đường cao AH
=> [TEX]AB.AC=AH.BC[/TEX]
Ta có:[tex]\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{BC^2}{AH^2.BC^2}=\frac{1}{AH^2}[/tex] [tex]\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{BC^2}{AH^2.BC^2}=\frac{1}{AH^2}[/tex] (đpcm)
Hé hé [TEX]AB^2+AC^2=BC^2[/TEX] là đúng rồi nha
- 18 Tháng chín 2017
- 1,266
- 2,329
- 261
- 19
- Hà Nội
- Trường Mần Non
Em tưởng CM quy nạp thế này vẫn đc chứ nhỉ
Bởi vì [tex]\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow \Delta ABC[/tex] vuông (mũi tên 2 chiều)
Mà nếu ko đc CM = cách nào thì How to CM đây ?
Mũi tên 2 chiều thì phải chứng minh cả chiều xuôi lẫn chiều ngược chứ!
Cách sử dung tam giác đồng dạng vers 2:[tex]\frac{AH^{2}}{BH^{2}}=\frac{CH^{2}}{AH^{2}}=\frac{AH^{2}+CH^{2}}{BH^{2}+AH^{2}}=\frac{AC^{2}}{AB^{2}}[/tex] =>[tex]\frac{AH}{BH}=\frac{AC}{AB}[/tex]
Mà góc B chung =>tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA =>AHB=BAC=90 =>Tam giác ABC vuông tại A