Chứng minh rằng [tex]\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}[/tex] là số vô tỉ.
Giả sử $a = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ là số hữu tỉ
$\implies a^3 = 12 + 9a$
$\implies a^3 - 9a - 12 = 0$
Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$
Mà theo định lý về nghiệm hữu tỉ thì $a$ chỉ có thể là $\pm 12$, $\pm 6$, $\pm 4$, $\pm 3$, $\pm 2$, $\pm 1$. Thử lại thì không có nghiệm nào thỏa, vô lý. Do vậy $a$ không phải là số hữu tỉ
Nếu bạn muốn chứng minh lại định lý thì có thể đặt $x = \dfrac{p}q$ với $p, q$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau. Khi đó pt tương đương $$p^3 - 9pq^2 - 12q^3 = 0$$
Chuyển số hạng đầu qua có $q(-9pq - 12q^2) = -p^3$. Suy ra $p^3$ chia hết cho $q$ hay $q = 1$
Chuyển số hạng cuối qua có $p(p^2 - 9q^2) = 12q^3$. Suy ra $12q^3$ chia hết cho $p$ hay $12$ chia hết cho $p$...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
