Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất với điều kiện ràng buộc

nhatminh1472005 · 1 Tháng bảy 2019

Cho [tex]\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0\\ x+y\leq z \end{matrix}\right.[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức:
[tex]P=(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}).[/tex]

Trần Thùy Lunh · 1 Tháng bảy 2019

nhatminh1472005 said:
Cho [tex]\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0\\ x+y\leq z \end{matrix}\right.[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức:
[tex]P=(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}).[/tex]

Giúp mình · 1 Tháng bảy 2019

Trần Thùy Lunh said:
View attachment 119501

Bạn giải thích rõ hơn chỗ áp dụng định lí đc ko??
Cho 3 số dương thì căn bậc 3 mà x mũ 4 thì khai căn kiểu j

nhatminh1472005 · 1 Tháng bảy 2019

Trần Thùy Lunh said:
View attachment 119501

Tại sao lại thế bạn, ví dụ x=y=z=1 thì x+y>z mà???

Giúp mình · 1 Tháng bảy 2019

nhatminh1472005 said:
Tại sao lại thế bạn, ví dụ x=y=z=1 thì x+y>z mà???

Ta có [tex]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex]
Áp dụng cho [tex]x^{4}, y^{4},z^{4}[/tex] thì sẽ là [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq 3\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z^{4}}[/tex] đúng không

nhatminh1472005 · 1 Tháng bảy 2019

Giúp mình said:
Ta có [tex]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex]
Áp dụng cho [tex]x^{4}, y^{4},z^{4}[/tex] thì sẽ là [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq 3\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z^{4}}[/tex] đúng không

nhưng dấu bằng xảy ra khi x=y=z thì x+y > z khác với điều kiện đề bài là x+y<=z mà???

Giúp mình · 1 Tháng bảy 2019

nhatminh1472005 said:
nhưng dấu bằng xảy ra khi x=y=z thì x+y > z khác với điều kiện đề bài là x+y<=z mà???

thế bạn áp dụng định lí cauchy kiểu j

Tungtom · 1 Tháng bảy 2019

Bạn ấy viết chưa đúng câu ấp dụng định lí . Bạn Trần Thùy Lunh ấp dụng định lí Cauchy cho bộ hai số: [tex]\frac{x^{4}}{y^{4}} và \frac{y^{4}}{x^{4}}[/tex] đó chứ. Khi đó ta sẽ có:[tex]\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}[/tex] [tex]\geq[/tex] 2[tex]\sqrt{\frac{x^{4}}{y^{4}}.\frac{y^{4}}{x^{4}}}[/tex]=2.1=2.
Tương tự như vậy với những cái còn lại

Giúp mình said:
Bạn giải thích rõ hơn chỗ áp dụng định lí đc ko??
Cho 3 số dương thì căn bậc 3 mà x mũ 4 thì khai căn kiểu j

Bạn ấy nhấn phá tung ra, rồi phân tích thành nhân tử thì được như vậy, bạn ấy sử dụng Cauchy cho 2 số dương chứ không phải 3 số dương

Giúp mình · 1 Tháng bảy 2019

Tungtom said:
Bạn ấy viết chưa đúng câu ấp dụng định lí . Bạn Trần Thùy Lunh ấp dụng định lí Cauchy cho bộ hai số: [tex]\frac{x^{4}}{y^{4}} và \frac{y^{4}}{x^{4}}[/tex] đó chứ. Khi đó ta sẽ có:[tex]\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}[/tex] [tex]\geq[/tex] 2[tex]\sqrt{\frac{x^{4}}{y^{4}}.\frac{y^{4}}{x^{4}}}[/tex]=2.1=2.
Tương tự như vậy với những cái còn lại

đấy làm sao áp dụng 3 số đc nếu ko thì căn 3 của x^4 là nghỉ luôn khỏi làm

nhatminh1472005 · 1 Tháng bảy 2019

Các bạn ko hiểu à, áp dụng như thế thì dấu bằng khi x=y=z không thỏa mãn giả thiết là x+y<=z mà???

Tungtom · 1 Tháng bảy 2019

Giúp mình said:
đấy làm sao áp dụng 3 số đc nếu ko thì căn 3 của x^4 là nghỉ luôn khỏi làm

đây bạn : Áp dụng bất đắng thức Cauchy cho ba số dương a^4, b^4,c^4:
[tex]a^{4}+b^4+c^4\geq 3\sqrt[3]{x^4.y^4.z^4}[/tex] (1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương [tex]\frac{1}{x^4},\frac{1}{y^4},\frac{1}{z^4}[/tex]:
[tex]\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\geq3\sqrt[3]{\frac{1}{x^4}.\frac{1}{y^4}.\frac{1}{z^4}}.(2) Nhân theo từng vế của (1) và (2): P\geq[/tex] [tex]3.3\sqrt[3]{x^4.y^4.z^4.\frac{1}{x^4}.\frac{1}{y^4}.\frac{1}{z^4}}=9[/tex].
Dấu bằng xả ra khi x=y=z=1.
Theo mình nghĩ thì cái điều kiện x+y[tex]\leq z là thừa, hoặc nếu đề đúng thì mình chưa nghĩ ra cách làm[/tex][/tex]

Giúp mình · 1 Tháng bảy 2019

nhatminh1472005 said:
Các bạn ko hiểu à, áp dụng như thế thì dấu bằng khi x=y=z không thỏa mãn giả thiết là x+y<=z mà???

Thực ra dấu = xảy ra khi
[tex]\frac{x^{4}}{y^{4}}=\frac{y^{4}}{x^{4}}[/tex]
[tex]\frac{y^{4}}{z^{4}}=\frac{z^{4}}{y^{4}}[/tex]
[tex]\frac{z^{4}}{x^{4}}=\frac{x^{4}}{z^{4}}[/tex]

Tungtom · 1 Tháng bảy 2019

Giúp mình said:
Thực ra dấu = xảy ra khi
[tex]\frac{x^{4}}{y^{4}}=\frac{y^{4}}{x^{4}}[/tex]
[tex]\frac{y^{4}}{z^{4}}=\frac{z^{4}}{y^{4}}[/tex]
[tex]\frac{z^{4}}{x^{4}}=\frac{x^{4}}{z^{4}}[/tex]

Như vậy cũng giống như x=y=z=1

Giúp mình said:
Thực ra dấu = xảy ra khi
[tex]\frac{x^{4}}{y^{4}}=\frac{y^{4}}{x^{4}}[/tex]
[tex]\frac{y^{4}}{z^{4}}=\frac{z^{4}}{y^{4}}[/tex]
[tex]\frac{z^{4}}{x^{4}}=\frac{x^{4}}{z^{4}}[/tex]

Khác gì x=y=z đâu

Hoàng Vũ Nghị · 1 Tháng bảy 2019

Nên tìm điểm rơi trước khi làm bài
[tex](\sum x^4)(\sum \frac{1}{x^4})=3+\sum (\frac{x^4}{y^4}+\frac{x^4}{z^4})\\=3+(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4})+(\frac{x^4}{z^4}+\frac{z^4}{(4x)^4})+(\frac{y^4}{z^4}+\frac{z^4}{(4y)^4})+255z^4(\frac{1}{256y^4}+\frac{1}{256x^4})\\\geq 3+2+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+255z^4.\frac{2}{256x^2y^2}[/tex]
Lại có
[tex]z^2\geq (x+y)^2\geq 4xy\\\Leftrightarrow xy\leq \frac{z^2}{4}\\\Leftrightarrow x^2y^2\leq \frac{z^4}{16}[/tex]
[tex]\Rightarrow 255z^4\frac{2}{256x^2y^2}\geq 255z^4\frac{32}{256z^4}=\frac{255}{8} [/tex]
Suy ra
[tex]A\geq 3+2+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{255}{8}=\frac{297}{8}[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=z/2

7 1 2 5 · 1 Tháng bảy 2019

nhatminh1472005 said:
Cho [tex]\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0\\ x+y\leq z \end{matrix}\right.[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức:
[tex]P=(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}).[/tex]

Đối với các dạng bài tìm GTNN hay GTLN thì bạn nên tìm điểm rơi trước khi làm rồi mơi suy nghĩ cách làm đúng hướng được.

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất với điều kiện ràng buộc

nhatminh1472005

Banned

Trần Thùy Lunh

Học sinh

Giúp mình

Banned

nhatminh1472005

Banned

Giúp mình

Banned

nhatminh1472005

Banned

Giúp mình

Banned

Tungtom

King of Mathematics

Giúp mình

Banned

nhatminh1472005

Banned

Tungtom

King of Mathematics

Giúp mình

Banned

Tungtom

King of Mathematics

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động

7 1 2 5

Cựu TMod Toán